基于自適應(yīng)Morlet小波參數(shù)字典設(shè)計(jì)的微弱故障檢測方法研究

鄧飛躍， 強(qiáng)亞文， 郝如江， 馬懷祥， 高 飛

(1.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050043；2. 石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043)

齒輪箱被廣泛應(yīng)用于各種旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備中，是機(jī)械系統(tǒng)中傳遞動(dòng)力的重要組成部件。但惡劣的工況往往造成齒輪產(chǎn)生多種故障，甚至引起重大的人員與經(jīng)濟(jì)損失。及時(shí)、準(zhǔn)確地檢測出齒輪故障，在工程實(shí)際中具有非常積極的意義。

基于信號(hào)處理的齒輪故障診斷方法，近年來不斷涌現(xiàn)并得到了得到廣泛應(yīng)用。古瑩奎等[1]提出一種結(jié)合完整集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，信號(hào)質(zhì)量指數(shù)與奇異值分解的齒輪故障最優(yōu)特征提取方法；Zhang等[2]應(yīng)用一種新的自適應(yīng)局部振蕩特征分解方法，可有效識(shí)別齒輪瞬時(shí)故障特征頻率；佘博等[3]將一種新的增量式監(jiān)督局部切空間排列算法與支持向量機(jī)相結(jié)合，用于齒輪箱多故障狀態(tài)識(shí)別。其中，稀疏表示法作為一種新的工具也得到了快速發(fā)展。它基于過完備字典，可以將故障信號(hào)表示為若干個(gè)原子的線性組合，在尋找最優(yōu)稀疏系數(shù)的基礎(chǔ)上，可準(zhǔn)確提取信號(hào)固有的特征結(jié)構(gòu)[4]。但是，如何設(shè)計(jì)一個(gè)有效的稀疏表示字典，一直是一個(gè)廣泛研究的熱點(diǎn)問題。

目前，學(xué)習(xí)字典與參數(shù)字典是原子字典設(shè)計(jì)的兩種主要方法[5]。學(xué)習(xí)字典通過學(xué)習(xí)目標(biāo)信號(hào)的特征信息能夠自適應(yīng)地更新字典，主要方法有：K奇異值分解法(K-sigular value decomposition, K-SVD)[6]、最優(yōu)方向法(method of optimal directions, MOD)[7]、位移不變稀疏編碼算法(shift invariant sparse coding algorithm, SISCA)[8]。但學(xué)習(xí)字典在應(yīng)用中主要存在兩個(gè)不足：①只有學(xué)習(xí)大量樣本信號(hào)，學(xué)習(xí)字典才能有效揭示信號(hào)中內(nèi)在固有特征；②由于信號(hào)中故障特征微弱，學(xué)習(xí)得到的字典原子中更多的是強(qiáng)背景噪聲干擾成分。參數(shù)字典基于固定小波基函數(shù)，可充分利用小波波形與沖擊波形相似的特點(diǎn)，有效提取信號(hào)中微弱的故障沖擊特征[9]。Fan等[10]基于Morlet小波，采用相關(guān)濾波算法(correlation filtering algorithm，CFA)構(gòu)造了用于齒輪故障診斷參數(shù)字典；Sun等[11]結(jié)合Laplace小波與CFA，提出了用于軸承故障診斷的參數(shù)脈沖小波字典；He等[12]利用CFA設(shè)計(jì)了一個(gè)包含穩(wěn)態(tài)調(diào)制與沖擊調(diào)制成分的參數(shù)字典，用于齒輪箱復(fù)合故障診斷。雖然小波基函數(shù)類型的選取多種多樣，但均通過CFA來確定小波參數(shù)值。不可忽視的是，傳統(tǒng)CFA方法在實(shí)際應(yīng)用存在著抗噪性差、計(jì)算量大等缺陷，限制了參數(shù)字典在稀疏表示中的應(yīng)用。

鑒于上述問題，本文提出了一種新的基于Morlet小波自適應(yīng)參數(shù)字典設(shè)計(jì)方法。該方法基于局部分割和全局分析思想，采用相關(guān)系數(shù)與峭度指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)小波函數(shù)與目標(biāo)信號(hào)的局部匹配度與全局匹配度，利用鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm，WOA)自適應(yīng)確定小波字典參數(shù)。最后，結(jié)合正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit， OMP)算法對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，通過包絡(luò)譜分析提取齒輪微弱的故障特征。

1 自適應(yīng)Morlet小波參數(shù)字典設(shè)計(jì)

1.1 稀疏模型及正交匹配追蹤

傳感器拾取的故障振動(dòng)信號(hào)y表示為

y=h+e

(1)

式中:h為故障特征信號(hào);e為背景噪聲。假定原子字典為D，根據(jù)信號(hào)稀疏模型，y進(jìn)一步表示為

y=Dx+e

(2)

式中，x={x(1),x(2),…,x(m)}T為稀疏系數(shù)集合。信號(hào)最稀疏表示即x中大部分系數(shù)為零或者接近零，即求解‖x‖0最小l0范數(shù)

(3)

針對(duì)這個(gè)NP-hard問題，我們選擇匹配追蹤(matching pursuit, MP)等貪婪算法，將求解最小l0范數(shù)轉(zhuǎn)化為求解最小l1范數(shù)問題：

(4)

OMP是MP的改進(jìn)算法，通過迭代計(jì)算殘余信號(hào)與字典D原子間的內(nèi)積，不斷對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏分解。假定此時(shí)D={dγ}γ∈Γ(Γ={γi,i=1,2,…})是Hilbert空間中一個(gè)過完備字典，則故障特征信號(hào)h可以分解為

h=〈R0h,dγ0〉dγ0+R1h

(5)

式中:R0h為初始故障特征信號(hào)h;R1h為首次迭代計(jì)算后的殘余信號(hào);dγ0為首次迭代中選擇的字典原子?！碦0h,dγ0〉為R0h與dγ0的內(nèi)積，dγ0和R1h彼此正交。為使R1h盡可能小，需選用與信號(hào)內(nèi)積最大的原子作為最佳匹配原子。M次迭代后，h分解為

(6)

OMP算法中，當(dāng)前原子需要與之前獲取的原子進(jìn)行施密特正交化處理，正交化過程為

(7)

式中，u0=dγ0。最終信號(hào)OMP分解為所選字典原子與相應(yīng)系數(shù)的乘積

(8)

1.2 相關(guān)濾波法

原子小波波形與信號(hào)中故障沖擊成分波形越相似，字典原子越能匹配信號(hào)中的沖擊故障特征。Morlet小波是一個(gè)雙邊對(duì)稱小波，其波形與齒輪故障產(chǎn)生的瞬態(tài)沖擊成分較為相似，因此本文選用Morlet小波構(gòu)造原子參數(shù)字典。Morlet小波表達(dá)式為

(9)

式中:γ={f,ζ,τ}為Morlet小波參數(shù)集合;f∈R+為頻率;ζ∈[0,1)?R+為黏滯阻尼比;τ為時(shí)移參數(shù)。小波參數(shù)直接決定了小波的波形特征，是決定原子小波與信號(hào)故障沖擊特征匹配的重要因素。假設(shè)離散參數(shù)f,ζ,τ分別屬于集合F，Z，T

(10)

遍歷所有的參數(shù)集合即可得到全部的Morlet小波集

Ψ={ψγ(t):γ∈F×Z×T}={ψ(f∈F,ζ∈Z,τ∈T)}

(11)

相關(guān)系數(shù)cγ能夠定量表征Morlet小波Ψγ(t)與所分析信號(hào)y(t)之間的相似程度[13]

(12)

通過上述分析可知，CFA方法需要在三個(gè)參數(shù)集合范圍內(nèi)進(jìn)行遍歷迭代運(yùn)算，計(jì)算量大且非常耗時(shí)。而且當(dāng)信號(hào)中包含大量背景噪聲時(shí)，相關(guān)函數(shù)的計(jì)算會(huì)受到噪聲成分的影響，往往不能準(zhǔn)確表征小波與信號(hào)故障沖擊特征的匹配程度，因此CFA的抗噪性較差。

1.3 自適應(yīng)優(yōu)化的參數(shù)字典設(shè)計(jì)

在CFA中，所選小波支撐區(qū)間往往與所分析信號(hào)長度相等[14]。然而，Morlet小波中主要沖擊成分只占全部波長的一小部分。因此，本文根據(jù)小波能量正態(tài)分布3δ準(zhǔn)則重新確定Morlet小波支撐區(qū)間為

(13)

式中:ψfiζi(t)為小波參數(shù)fi,ζi構(gòu)成的Morlet小波;L為分析信號(hào)長度;W為重新確定的小波支撐區(qū)間。根據(jù)新的小波支撐區(qū)間，對(duì)信號(hào)進(jìn)行分割，構(gòu)造空間矩陣為

(14)

式中,Y1,Y2,…,YL-W+1為各個(gè)子信號(hào)。計(jì)算ψfiζi(t)與每個(gè)子信號(hào)的相關(guān)函數(shù)得到Ci=[ci,1,ci,2,…,ci,L-W+1]，計(jì)算該序列的峭度為

(15)

式中：E(·)為數(shù)學(xué)期望；μ和σ分別為Ci的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。遍歷參數(shù)集合f?F,ζ?Z，得到F×Z個(gè)峭度，最大峭度值為

Kbest=max(K1,K2,…,KF×Z)

(16)

選取Kbest對(duì)應(yīng)的小波參數(shù)f′,ζ′為最優(yōu)小波基參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，取小波支撐區(qū)間等于所分析信號(hào)長度構(gòu)建Morlet小波，通過逐點(diǎn)時(shí)移構(gòu)成最優(yōu)原子參數(shù)字典。cγ描述了單個(gè)小波與信號(hào)的局部匹配，而由cγ構(gòu)成的序列Ci=[ci,1,ci,2,…,ci,L-W+1]描述了單個(gè)小波在逐點(diǎn)時(shí)移下與信號(hào)的整體匹配。該序列故障沖擊特征越明顯，所選小波與所分析信號(hào)的局部匹配與整體匹配程度越好。

WOA是一種新的自然啟發(fā)式優(yōu)化算法，它通過模擬鯨魚“螺旋氣泡網(wǎng)”狩獵行為實(shí)現(xiàn)參數(shù)過程自適應(yīng)優(yōu)化[15]，主要包括：尋找獵物、圍捕獵物、泡網(wǎng)捕食等階段，具體實(shí)現(xiàn)過程請(qǐng)參見文獻(xiàn)[16]。本文所提的基于WOA的自適應(yīng)參數(shù)字典設(shè)計(jì)方法具體步驟如下:

步驟1設(shè)置Morlet小波尋優(yōu)參數(shù)范圍，黏滯阻尼比范圍為ζ∈[0,1)，頻率范圍為f∈(0,fs/2]，fs為所分析信號(hào)的采樣頻率；

步驟2參考文獻(xiàn)[17]，初始化WOA中各項(xiàng)參數(shù)，其中鯨群數(shù)量A=50，最大迭代次數(shù)M=20，優(yōu)化參數(shù)個(gè)數(shù)為2；

步驟3隨機(jī)選取小波參數(shù)構(gòu)建Morlet小波，根據(jù)本文所提方法，得到對(duì)應(yīng)小波參數(shù)下的峭度值，并以此作為WOA的適應(yīng)度函數(shù)；

步驟4執(zhí)行WOA算法，不斷迭代更新鯨魚狩獵位置，進(jìn)行bubble-net捕食操作；

步驟5通過多次迭代，判斷滿足收斂準(zhǔn)則后，輸出最優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)對(duì)應(yīng)的小波參數(shù)；

步驟6基于最優(yōu)小波參數(shù)構(gòu)建Morlet小波，逐點(diǎn)時(shí)移構(gòu)成原子參數(shù)字典；

步驟7使用OMP方法對(duì)所分析信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，對(duì)分解后信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)分析，提取故障特征。

流程圖如圖1所示。

2 仿真分析

本節(jié)通過仿真齒輪微弱故障信號(hào)，驗(yàn)證所提方法的有效性。傳統(tǒng)故障信號(hào)模擬中，往往添加白噪聲作為背景噪聲，然而實(shí)際工程中白噪聲并不存在，因此本文在仿真信號(hào)加入白噪聲和有色噪聲來更接近實(shí)際情況。仿真信號(hào)表達(dá)式為

(17)

式中:h(t)為齒輪故障信號(hào);n(t)為添加信噪比為-5 dB的高斯白噪聲;r(t)為有色噪聲，均值為0標(biāo)準(zhǔn)差為1的高斯白噪聲通過濾波后加入。仿真信號(hào)中頻率f=20 Hz，阻尼比ζ=0.008，齒輪故障沖擊周期T=0.25 s，沖擊起始時(shí)刻τ0=2 s，信號(hào)采樣頻率fs=600 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為8 192。

原始故障信號(hào)及添加背景噪聲后的信號(hào),如圖2所示。添加背景噪聲后，信號(hào)中故障沖擊成分被淹沒，無法準(zhǔn)確識(shí)別。采用本文所提方法，基于Morlet小波自適應(yīng)識(shí)別小波參數(shù)，WOA輸出的最大峭度值為6.165 2，對(duì)應(yīng)結(jié)果見表1。構(gòu)建小波參數(shù)字典，通過OMP信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，結(jié)果如圖3(a)所示。信號(hào)波形中清晰的顯示出周期性故障沖擊成分，與原始仿真信號(hào)一致。然后，采用傳統(tǒng)CFA進(jìn)行分析對(duì)比，鑒于CFA方法運(yùn)算非常耗時(shí)，小波參數(shù)搜尋范圍及步長并沒有設(shè)置很細(xì)致，分別為：f∈[0.1∶10∶fs/2]Hz，ζ∈[0.001∶0.000 5∶0.01]，t∈[0∶1/fs∶end]。結(jié)果如圖4所示。最大相關(guān)系數(shù)為0.110 9，對(duì)應(yīng)小波參數(shù)位置用虛線標(biāo)出，具體結(jié)果見表1。從表1可知，本文所提方法得到的Morlet小波參數(shù)與初始設(shè)置非常接近，而CFA得到的參數(shù)結(jié)果與設(shè)置值相差較大。同時(shí)，由于所提方法參數(shù)遍歷運(yùn)算更為簡潔，運(yùn)算時(shí)間更少。CFA識(shí)別小波參數(shù)后，構(gòu)建原子參數(shù)字典，OMP處理結(jié)果如圖3(b)所示。圖中并未提取出準(zhǔn)確的周期性故障沖成分。相比傳統(tǒng)CFA方法，所提方法識(shí)別原子小波參數(shù)更為準(zhǔn)確，抗噪性更好，運(yùn)算效率更高。

圖2 齒輪故障仿真信號(hào)

圖3 仿真信號(hào)分析結(jié)果

圖4 仿真信號(hào)CFA識(shí)別小波參數(shù)結(jié)果

表1 仿真信號(hào)分析結(jié)果

3 試驗(yàn)分析

3.1 試驗(yàn)介紹

齒輪故障是在QPZZ-II旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障實(shí)驗(yàn)臺(tái)上完成的。齒輪箱從動(dòng)大齒輪出現(xiàn)斷齒故障，主動(dòng)輪與從動(dòng)輪齒數(shù)分別為55和75，齒輪故障實(shí)驗(yàn)臺(tái)結(jié)構(gòu)及故障齒輪,如圖5、圖6所示。試驗(yàn)中，大齒輪與小齒輪的齒數(shù)比為75∶55，輸入軸轉(zhuǎn)速為870 r/min，采樣頻率為fs=5 120 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為8 192點(diǎn)。通過計(jì)算可知，齒輪嚙合頻率為fm=797.5 Hz，故障齒輪的故障特征頻率為fg=10.63 Hz。

圖5 齒輪故障實(shí)驗(yàn)臺(tái)

圖6 齒輪斷齒

3.2 實(shí)例介紹

齒輪故障信號(hào)如圖7所示。時(shí)域波形中背景噪聲較多，故障沖擊成分并不規(guī)律，頻譜中也只能提取出并不明顯的一階嚙合頻率。首先，采用常用的Hilbert包絡(luò)解調(diào)對(duì)原信號(hào)進(jìn)行分析，具體實(shí)現(xiàn)過程參考文獻(xiàn)[18]，得到原信號(hào)Hilbert幅值為

(18)

圖7 齒輪故障信號(hào)

圖8 本文所提方法分析結(jié)果

表2 齒輪故障信號(hào)信號(hào)分析結(jié)果

在CFA方法中，參考Zi等的研究，為保證在低阻尼比時(shí)有較高分辨率，小波參數(shù)劃分不均勻。小波參數(shù)搜尋范圍及步長分別為：f∈[0.1∶20∶fs/2]，ζ∈{[10-6∶10-6∶0.001]∪[0.001∶0.001∶0.02]}，t∈[0∶1/fs∶end]。小波參數(shù)識(shí)別結(jié)果如圖9所示。表2中是具體數(shù)值。通過對(duì)比兩種方法結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)CFA與本文所提方法參數(shù)識(shí)別結(jié)果相差較大，運(yùn)算時(shí)間也大幅增加。構(gòu)建字典，經(jīng)過OMP處理后的結(jié)果如圖10所示。包絡(luò)譜中雖然出現(xiàn)了齒輪故障頻率，但在噪聲頻率干擾下非常微弱，無法準(zhǔn)確識(shí)別。通過上述分析可知，小波參數(shù)選取對(duì)參數(shù)字典的設(shè)計(jì)至關(guān)重要，所提方法可以有效彌補(bǔ)傳統(tǒng)CFA方法的不足。

圖9 齒輪故障信號(hào)CFA識(shí)別小波參數(shù)結(jié)果

圖10 基于CFA方法的分析結(jié)果

3.3 對(duì)比分析

首先采用文獻(xiàn)[19]中小波降噪方法分析齒輪故障信號(hào)進(jìn)行對(duì)比。小波函數(shù)選取“db4”小波，采用固定史坦無偏估計(jì)(rigrsure)準(zhǔn)則確定閾值，小波硬閾值和軟閾值降噪后的故障信號(hào)波形和頻譜,如圖11和圖12所示。我們采用Hilbert包絡(luò)解調(diào)方法對(duì)兩結(jié)果分別進(jìn)行分析，包絡(luò)譜見圖11(c)和圖12(c)。相比齒輪故障原始故障信號(hào)波形，小波降噪后時(shí)域信號(hào)中噪聲成分有所減少，頻譜中部分頻率成分也受到抑制，但包絡(luò)譜中依然無法提取出與故障特征頻率相關(guān)的頻率成分。面對(duì)信號(hào)中強(qiáng)背景噪聲的干擾，小波閾值降噪方法效果有限，無法檢測出齒輪微弱的故障特征信息。

圖11 齒輪故障信號(hào)小波硬閾值降噪結(jié)果

圖12 齒輪故障信號(hào)小波軟軟值降噪結(jié)果

采用文獻(xiàn)[20]所提K-SVD學(xué)習(xí)字典，與本文所提方法進(jìn)行對(duì)比。K-SVD方法中相關(guān)參數(shù)設(shè)置為：字典原子長度和數(shù)量為n=100，N=4 065，線性組合原子數(shù)為L=10，迭代次數(shù)I=10。學(xué)習(xí)字典中前10個(gè)典型原子波形，如圖13所示。從圖13可知，各個(gè)原子波形中并未發(fā)現(xiàn)明顯的瞬時(shí)故障沖擊成分。同樣，基于OMP方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，得到的分析結(jié)果如圖14所示。從圖14可知，時(shí)域波形中故障沖擊成分微弱且雜亂無章，包絡(luò)譜中也沒有提取出明顯的齒輪故障特征頻率及倍頻成分。面對(duì)強(qiáng)背景噪聲干擾下齒輪微弱故障特征提取，所提方法要優(yōu)于K-SVD學(xué)習(xí)字典方法。

圖13 K-SVD學(xué)習(xí)字典中10個(gè)原子波形

圖14 基于K-SVD方法的分析結(jié)果

4 結(jié) 論

(1)提出了一種基于WOA優(yōu)化的自適應(yīng)小波參數(shù)字典設(shè)計(jì)方法，該方法通過對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行空間矩陣構(gòu)建，基于相關(guān)系數(shù)和峭度兩種指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)了Morlet小波與齒輪故障信號(hào)的局部匹配與整體匹配程度，利用WOA算法能夠自適應(yīng)識(shí)別出Morlet小波參數(shù)。

(2)通過與傳統(tǒng)的CFA方法比較，所提方法在抗噪性及運(yùn)算效率方面均有顯著提升，相比小波降噪、K-SVD學(xué)習(xí)字典方法，所提方法可有效用于齒輪微弱故障診斷，準(zhǔn)確性更好，具有工程應(yīng)用價(jià)值。