黏彈性復合材料阻尼板的振動特性

翟彥春， 梁 森， 馬 軍， 任玉艷， 王紹清

(1. 濰坊科技學院 機械工程學院，山東 壽光 262700； 2. 青島理工大學 機械與汽車工程學院，山東 青島 266520)

復合材料是由兩種或以上材料組成，且其比強度、比模量等性能都優(yōu)于其組成材料，因此已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到軌道交通、航天及船舶工程等各工業(yè)領(lǐng)域[1-2]。鑒于此，學者們一方面通過試驗研究對其振動特性進行分析[3-5]；另一方面，提出許多數(shù)值理論，例如經(jīng)典板理論、一階剪切理論以及高階剪切變形理論等，對結(jié)構(gòu)進行研究[6-8]。

由于經(jīng)典板殼理論未考慮剪切變形的影響，導致對中厚板的計算精度不高，Timoshenko[9]對梁結(jié)構(gòu)進行振動研究，考慮了橫向剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響。之后，Mindlin[10]和Reissner[11]分別將Timoshenko的剪切理論應(yīng)用到中厚板的分析中，分別發(fā)展了以位移和應(yīng)力為基礎(chǔ)的一階剪切變形理論，并得到廣泛應(yīng)用。Touratier[12]在一階剪切理論基礎(chǔ)上，提出了一種可以滿足自由邊界條件和表面零剪力條件的位移理論：該函數(shù)采用正弦函數(shù)與特定點處應(yīng)變相乘的形式。Thai等[13]在經(jīng)典的五變量一階剪切理論的基礎(chǔ)上，提出一種類似經(jīng)典板殼理論的四變量位移模型。假設(shè)法向位移分別由彎曲變形和剪切變形引起，并且面內(nèi)轉(zhuǎn)角分別與彎曲變形和剪切變形有關(guān)，且互不影響。在此基礎(chǔ)上，對功能梯度板結(jié)構(gòu)的自由振動等進行了研究。Park等[14]基于改進的一階剪切變形理論對各項同性復合材料層合板的彎曲、屈曲和自由振動進行研究。

在之前研究的基礎(chǔ)上，本文基于一階剪切變形理論，推導了復合材料夾芯板結(jié)構(gòu)復數(shù)形式的振動微分方程；采用納維法得到滿足位移邊界條件的理論解，通過有限元建模仿真對理論解進行驗證，從理論上探索振動特性隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律，為大阻尼高剛度結(jié)構(gòu)設(shè)計提供理論指導。

1 控制方程的推導

1.1 本構(gòu)關(guān)系

取總厚度為h的三層黏彈性復合材料阻尼板進行分析。為了得到振動方程，作出如下假設(shè)：層間結(jié)合良好；忽略沿厚度方向的正應(yīng)變。

理論推導時，將板結(jié)構(gòu)作為二維結(jié)構(gòu)，根據(jù)一階剪切位移理論和分段位移模型，提出各層板的位移模型為

(1)

式中,i取1，2和3，分別為約束層、阻尼層以及基層。

基于式(1)，可得到第i層板的應(yīng)變公式，如式(2)所示。

(2)

進而得到沿坐標軸方向的第i層板本構(gòu)關(guān)系

(3)

式中，i取1，2和3。

由于黏彈性材料層的彈性模量和剪切模量為復模量，采用常復數(shù)模型，其表達式為

(4)

1.2 控制方程

基于哈密爾頓原理得到變分形式的控制方程

(5)

式中,T和U分別為結(jié)構(gòu)動能和應(yīng)變能。

將式(2)～式(4)代入式(5)，進行整理，結(jié)合層間位移連續(xù)性關(guān)系，可推導出結(jié)構(gòu)控制方程為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

通過計算四邊簡支黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和損耗因子來檢驗所推導方程的有效性。為滿足位移邊界條件，采用納維法進行求解，位移表達式為

式中，a和b分別為結(jié)構(gòu)長度和寬度。

將位移表達式(17)代入運動方程式(6)～式(14)中，將運動方程改寫成一般特征值方程的形式

([K]-(ω*)2[M]){X}=0

(18)

式中：向量{X}為位移常數(shù)項;矩陣[K]和[M]為9×9矩陣。

求解程序框圖，如圖1所示。

圖1 程序框圖

2 算例分析

本算例為各向異性黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)，其長度和寬度為0.348 m×0.304 m，約束層和基層的材料參數(shù)為：彈性模量E1=57.1 GPa，E2=60.3 GPa，剪切模量G13=G23=4.47 GPa，G12=5.32 GPa，泊松比υ12為0.038，密度為1 600 kg/m3，約束層和基層厚度為1.1 mm；黏彈性材料的彈性模量為15.5 MPa，泊松比為0.498，密度為985 kg/m3，損耗因子為0.5，阻尼膜厚度為0.1 mm。

ANSYS模型以及部分模態(tài)振型,如圖2所示。在ANSYS有限元仿真模型中，使用的是8節(jié)點SOLID185單元，仿真過程中劃分單元情況為：長度方向90個單元，寬度方向78個單元及厚度方向3個單元。

本文自編程序的理論解與有限元仿真結(jié)果的對比情況，如表1所示。由表1可知，本文計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果具有較高的一致性，說明本文所作假設(shè)及推導的理論公式是有效的，下面將采用驗證過的模型從理論上對黏彈性復合材料阻尼板的振動特性進行深入研究。

圖2 板結(jié)構(gòu)的ANSYS模型及模態(tài)振型圖

表1 模態(tài)頻率和損耗因子的理論解和有限元結(jié)果

3 復合材料阻尼板振動特性分析

3.1 阻尼膜位置對振動特性的影響

圖3和圖4給出了黏彈性復合材料阻尼板在保持結(jié)構(gòu)總厚度不變的條件下，一階模態(tài)頻率和損耗因子在不同阻尼膜厚度下，隨約阻尼膜位置的變化情況。

圖3 b/h=70時約束層和基層厚度比對一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響

由圖3和圖4可知，隨著阻尼膜位置的變化，黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢，其值在小幅范圍內(nèi)變動；而損耗因子表現(xiàn)出與模態(tài)頻率完全相反的變化趨勢，呈下凹拋物線狀分布；損耗因子極大值和振動頻率極小值都出現(xiàn)在阻尼膜處于結(jié)構(gòu)中間位置時。同時，增大阻尼層厚度，黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)對稱布置時，在一階模態(tài)頻率相對較小的變化幅度下，一階模態(tài)損耗因子成倍的增大。

因此，當阻尼膜處于結(jié)構(gòu)中間位置時，黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)可獲得較為理想的振動特性。后續(xù)分析中，都以對稱布置的黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)為研究對象。

圖4 b/h=80時約束層和基層厚度比對一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響

3.2 邊長比對板結(jié)構(gòu)振動特性的影響

在給定的寬度與總厚度比下，邊長比對黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響，如圖5和圖6所示。

3.創(chuàng)優(yōu)現(xiàn)代化的和美環(huán)境。建立健全科學決策形成機制、社情民意調(diào)查制度和利益平等協(xié)商機制，統(tǒng)籌協(xié)調(diào)各方利益關(guān)系。深化“法治諸暨”建設(shè)，廣泛開展政務(wù)、社會、企業(yè)誠信和司法公信建設(shè)，建設(shè)服務(wù)型、法治型、誠信型、陽光型政府。完善社會矛盾調(diào)解體系，更好地將維護公平正義、協(xié)調(diào)各方利益和應(yīng)對新情況新問題三方面有機統(tǒng)籌起來。依法逐步建立“權(quán)利公平、機會公平、規(guī)則公平、分配公平”為主要內(nèi)容的社會公平保障體系。不斷創(chuàng)優(yōu)生態(tài)環(huán)境，精心打造宜居宜業(yè)的生態(tài)城市，讓市民望得見山，看得見水，記得住鄉(xiāng)愁。

從圖5和圖6可知，黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率和損耗因子在不同阻尼膜厚度下的變化趨勢基本不發(fā)生變化；在給定邊長比下，增大阻尼膜厚度，黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率逐漸減小，一階模態(tài)損耗因子逐漸增大。

圖5 b/h=100時邊長比對一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響

圖6 b/h=90時邊長比對一階頻率和損耗因子的影響

隨著邊長比增大，黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率和損耗因子都表現(xiàn)出逐漸減小的趨勢。當邊長比小于某一數(shù)值前，模態(tài)頻率減小速度較快；之后其減小趨勢較為平緩，對邊長比的變化不再敏感；而損耗因子的下降速率基本保持不變。邊長比在某一數(shù)值附近取值時，黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)可獲得較理想的結(jié)構(gòu)剛度和阻尼性能。

3.3 寬度與總厚度比對板結(jié)構(gòu)振動特性的影響

圖7給出了不同阻尼膜厚度下，寬度與總厚度比對黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響。

圖7 b/h對一階模態(tài)頻率和損耗因子影響

由圖7可知，隨著寬度與總厚度比的增大，黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率和損耗因子都表現(xiàn)出逐漸減小的趨勢，且不同阻尼膜厚度下，逐漸減小的趨勢基本不發(fā)生變化。在給定的寬度與總厚度比下，增大阻尼膜厚度，可顯著提高一階模態(tài)損耗因子，同時一階模態(tài)頻率有相對較小幅度的減小。因此，為使黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)獲得較大的結(jié)構(gòu)剛度和較為合適的阻尼性能，應(yīng)盡量縮小寬度與總厚度比。

3.4 彈性模量比對板結(jié)構(gòu)振動特性的影響

在給定的幾何參數(shù)下，阻尼膜彈性模量與復合材料彈性模量的比值e對黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響，如圖8所示。為了增大彈性模量比的取值范圍，圖8中橫坐標采用對數(shù)刻度。

圖8 彈性模量比對一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響

從圖8可知，黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率和模態(tài)損耗因子呈現(xiàn)出完全相反的變化趨勢：隨著彈性模量比的增大，一階模態(tài)頻率開始時增加速度較快，之后對彈性模量比的變化不再敏感；一階模態(tài)損耗因子先快速減小，減小到某一數(shù)值后，其值基本保持不變；一階模態(tài)頻率和模態(tài)損耗因子的變化趨勢基本不變。彈性模量比過大，黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)損耗因子較??；反之，一階模態(tài)頻率較低。

3.5 約束層和基層厚度比對結(jié)構(gòu)振動特性的影響

圖9給出了基層保持不變時，結(jié)構(gòu)振動特性隨約束層和基層厚度比的變化情況。

從圖9可知，隨著復合材料層厚度比的增大，振動頻率逐漸增大，且阻尼膜厚度的增加；這是因為基層厚度不變，在一定的阻尼膜厚度下，增大約束層厚度，使得結(jié)構(gòu)剛度增大，導致頻率增大。同時，損耗因子隨著厚度比的增大，表現(xiàn)出先增大后減小的趨勢，存在一個最佳的厚度比，使結(jié)構(gòu)阻尼性能最佳。這是因為約束層厚度較薄時，增大其厚度使黏彈性材料在振動過程中，剪切變形越充分，表現(xiàn)出損耗因子增大；但是當約束層厚度達到一定值后，繼續(xù)增大約束層厚度使得結(jié)構(gòu)整體剛度過大，抑制了黏彈性材料的剪切變形，導致?lián)p耗因子越來減小。

圖9 復合材料層厚度比對一階模態(tài)頻率和損耗因子的影響

4 結(jié) 論

(1)將阻尼膜置于黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的中性層時，該結(jié)構(gòu)可獲得較大的一階模態(tài)損耗因子和相對較低的一階模態(tài)頻率。

(2)在給定寬度與總厚度比下，隨著邊長比的增大，黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率和損耗因子都呈現(xiàn)出逐漸減小趨勢。

(3)固定邊長比下，幾何結(jié)構(gòu)對稱的黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)一階模態(tài)頻率和損耗因子隨著寬度與總厚度比的增大都表現(xiàn)出逐漸減小的發(fā)展趨勢。

(4)在給定的幾何參數(shù)下，隨著阻尼膜彈性模量與復合材料彈性模量比值的增大，黏彈性復合材料阻尼板結(jié)構(gòu)的一階模態(tài)頻率先逐漸增大再保持基本穩(wěn)定；一階損耗因子先逐漸減小后基本保持不變。

(5)基層厚度保持不變，增大約束層厚度，一階振動頻率逐漸增大，一階模態(tài)損耗因子先增大后減小，存在最佳的厚度比使得結(jié)構(gòu)阻尼性能最佳。