巧用定義 數(shù)形結(jié)合
——絕對值的幾何意義在最值問題中的應(yīng)用

賴 倩

（重慶南開兩江中學(xué)數(shù)學(xué)組 重慶 401135）

當(dāng)出現(xiàn)多個絕對值的時候，利用絕對值的代數(shù)定義去掉絕對值的“零點分段法”是解決此類問題的主要方法.零點分段法分為找零點，分區(qū)間，定符號，去絕對值符號這幾個基本步驟，注意有n個絕對值的式子就有n個零點，就會把數(shù)軸分成n+1，題目就會分n+1種情況來討論.

例如：求出滿足|2x-4|+|3x+1|=5的x的值.

我們接著來看以下的這個例子：

請回答

（1）若|x-2|+|x+1|=3，則x 能取到的最小值是__________，最大值是___________；

（2）滿足|x-2|+|x+1|=2的x有_____個；

（3）滿足|x-2|+|x+1|=6的x有_____個，值為_____；

（4）當(dāng)|x-2|+|x+1|+|x+3|取最小值時，則x的值為__________；

（5）|x-1|+|x-2|+…|x-1 9 9 7|的最小值為____________________.

此題考察的含有絕對值的代數(shù)式的最值問題，當(dāng)然可以用我們前文提到的“零點分段法”來解答，這里就不再贅述.

數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，這既是絕對值的定義又是絕對值的幾何意義.數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點的距離記作|a-b|，例如|3-5|表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)5的點的距離，|3+5|=|3-（-5）|表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)-5的點的距離，|a-3|表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)3的點的距離.接下來，我們將緊緊抓住絕對值的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的思想，巧妙的解決這種最值問題.

如本題，當(dāng)兩個絕對值里面x的系數(shù)是±1或者說能同時調(diào)整為±1的時候，利用絕對值的幾何意義，單個絕對值|x-2|可以看做數(shù)軸上表示數(shù)x的點到2的距離，|x+1|可以看做數(shù)軸上表示數(shù)x的點到-1的距離，那么整個式子就可以翻譯為數(shù)軸上表示數(shù)x的點到2和到-1兩點的距離之和.

我們利用數(shù)軸把題目當(dāng)中涉及到的數(shù)表示出來，利用數(shù)形結(jié)合，可以看到當(dāng)點在-1和2之間（即點在圖中線段AB上，包含端點）的時候，到兩點的距離之和就是這兩個定點之間的距離即為AB=|-1-2|=3；當(dāng)點在線段AB之外（即在-1的左邊或者2的右邊）的時候，到兩點的距離之和就會大于這兩個定點之間的距離；并且離這兩個點的距離越遠(yuǎn)，這個值越大.用符號語言來描述上述的結(jié)論就是：|X-2|+|X+1|≥3（當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤2時等號成立）.

則此題（1）答案為：若|x-2|+|x+1|=3，則x能取到的最小值是 -1 ，最大值是 2 .

拓展可解決以下問題：滿足|x-2|+|x+1|=2的x有_______個；

從前面的分析可以知道，數(shù)軸上的點到這兩個定點之和的最小值就是這兩個定點之間的距離，而本題兩個定點之間的距離為3，現(xiàn)在2＜3，∴在數(shù)軸上是找不到任何點使得該式子成立的，故答案為0個.

（3）滿足|x-2|+|x+1|=6的 有_______個，值為_______；

同前分析，∵6＞3∴在數(shù)軸上是找得到這樣的點使得該式子成立的.那么這樣的點有幾個呢？易得，這樣的點一定在線段AB之外，我們不妨先來看看當(dāng)點在-1的左側(cè)的時候，如下圖1

圖1

圖2

∵2m+3=6 ∴m=1.5 ∴x=-1-1.5=-2.5

而且通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，如圖2，當(dāng)在線段之外與這兩個定點的距離相同的點呈現(xiàn)出對稱性的性質(zhì)，即CA=BD時，C、D兩點對應(yīng)的數(shù)帶入這個式子，到兩個定點的距離之和是相等的.∴x=2+1.5=3.5

由此，滿足|x-2|+|x+1|=6的x有 2 個，值為 x=-2.5或x=3.5 .

本題的（4）問當(dāng)|x-2|+|x+1|+|x+3|取最小值時，則x的值為__________；

絕對值增加到了3個，根據(jù)前面的分析是數(shù)軸上表示x的點到-3，-1，2這三個定點的距離之和.

我們知道，x要放在定點的中間，這個距離之和的值就最小，但是此時還有與第三個定點的距離，那放到哪兩個定點的中間就需要思考和取舍了，經(jīng)分析，x要放在最外面的兩個定點的中間，即當(dāng)-3≤x≤2時，x到-3，2這兩個定點的距離之和就是這兩個定點的距離即為|-3-2|=5，此時還需要考慮|x+1|即與-1的距離，也要盡可能小才行，此時x恰好可以取到-1，使得|x+1|=0，而這個值恰好是絕對值的最小值，兩個部分都取到了最小值，而且最小值成立的條件是可以同時成立的，問題得到解決，即|x-2|+|x+1|+|x+3|≥5+0=5（當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立）.

可能有同學(xué)會思考，x為什么不能放在-3與-1之間或者-1與2之間呢？其實也是可以的，我們不妨以在-3與-1之間為例，當(dāng)-3≤x≤-1時，|x+1|+|x+3|≥2，那么剩下的第三個絕對值|x-2|在x=-1時，與2最近，|x-2|≥+-1-2+=3，∴|x-2|+|x+1|+|x+3|≥2+3＝5（當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時等號成立）.

兩種方法得到的答案和最小值成立的點都是相同的，但是當(dāng)絕對值的數(shù)量進(jìn)一步增大的時候，第一種思路會更加方便.

即當(dāng)|x-2|+|x+1|+|x+3|取最小值時，則x的值為 x=-1 ；

（5）|x-1|+|x-2|+…+|x-1 9 9 7|的最小值為____________________.

這一問的難度就非常大了，一下子拓展到了1997個絕對值的和，乍一看到，很多學(xué)生是會無從下手的，需要學(xué)生很強的綜合能力.但如果學(xué)生能充分理解絕對值的幾何意義，掌握好前面幾個小問的處理方法之后，這個題目也是可以變得相對簡單的.整個題目可以翻譯為數(shù)軸上表示x的點到1，2，…，1997這1997個距離之和.最根本的想法就是讓點越往中間走值越小，這1997個數(shù)字，有正中間的一個數(shù)999，那么當(dāng)x=999時，整個式子的值最小，最小值為2×（1+2+3+…+998）=997002.

即|x-1|+|x-2|+…+|x-1997|的最小值為 997002 .

這里可以給大家留下幾個思考題，參考以上的方法和思路可以得到極大的簡化.

補充1：若|b+2|+|a-5|=4-|a-3|-|b+1|，求ab的最大值.

補充2：求|x-2|+2|x+1|+3|x+3|的最小值.

補充3：一條直街上有5棟樓，按從左至右順序編號為1、2、3、4、5，第k號樓恰好有k（k＝1、2、3、4、5）個A廠的職工，相鄰兩樓之間的距離為50米.A廠打算在直街上建一車站，為使這5棟樓所有A廠職工去車站所走的路程之和最小，車站應(yīng)建在距1號樓____米處.

補充4：已知（|x+1|+|x-2|）（|y-2|+|y+1|）（|z-3|+|z+1|）=36，求x+2y+3z的最大值和最小值.

補充5：如圖，點O為數(shù)軸上的原點，點A、B分別為數(shù)軸上兩點，對應(yīng)的數(shù)分別為a、b，已知a＝10，AB＝3AO.

（1）若動點P從點O出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸正方向勻速運動，同時動點Q從點B出發(fā)以v個單位長度/秒的速度沿數(shù)軸負(fù)方向勻速運動，經(jīng)過8秒時，PQ＝16.求v的值；

當(dāng)然，我們利用絕對值的來表示距離的應(yīng)用，不僅可以處理距離之和的最值問題，也可以處理距離之差的最值問題，例如：當(dāng)|x-2|-|x+1|取最大值時，則x的取值范圍是____________.

到兩個定點的距離之差和到兩個定點的距離之和這兩種題型之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，大家可以利用上述思路去體會一下，同樣是可以巧用絕對值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，簡化難度，解決題目的.

上文所提到的幾個例子由淺入深，層層遞進(jìn)，讓我們可以通過這些例子充分體會到絕對值的幾何意義在此類最值問題中的重要運用，使用得當(dāng)可以極大的降低這些最值問題的難度，會讓這類學(xué)生看起來復(fù)雜且無從下手的絕對值相關(guān)的最值題目變得簡單，希望大家可以在日常教學(xué)中充分的講解絕對值的幾何意義，滲透這種數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生能夠突破難點，掌握此類問題的解題技巧，也能在此過程中體會到定義學(xué)習(xí)的重要性.