初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接研究
——從一道高一期末考試二次函數(shù)壓軸題談起

尚洪壩 張 俊

（重慶市酉陽(yáng)第一中學(xué)校 重慶酉陽(yáng) 409800）

如何銜接好初高中數(shù)學(xué)教學(xué)，是提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量一個(gè)十分緊迫的問(wèn)題。二次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的簡(jiǎn)單的函數(shù)類型，也是初高中數(shù)學(xué)教材中聯(lián)系最為密切的內(nèi)容之一。怎樣以初中所學(xué)知識(shí)為切入點(diǎn)，做好初高中銜接就成了一線教師亟待解決的問(wèn)題，本文以一道高一期末考試二次函數(shù)壓軸題為例，談?wù)勗鯓影l(fā)揮二次函數(shù)的潛在價(jià)值，讓初高中數(shù)學(xué)銜接更自然有效。

重慶市高2022屆高一上期期末考試第21題：

（1）當(dāng)a＜0 時(shí)，求f(x)的值域；

（2）若存在x0∈R使得f(x0)＜0成立，求a的取值范圍。

=2t2-8at-a=2(t-a)2-8a2-a，由a＜0，

∴f(x) =g(t)=2(t-a)2-8a2-a

在t∈［0，+∞）上單調(diào)遞增，∴f(x)的值域?yàn)椋?a，+∞）。

對(duì)稱軸方程t=2a，

本題的實(shí)質(zhì)是考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。要求學(xué)生具備抓住二次函數(shù)開(kāi)口方向、對(duì)稱軸與二次函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及將存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題的能力，另外，還應(yīng)具備換元及分類討論的思想方法。這個(gè)題目作為期末考試壓軸題，對(duì)于絕大多數(shù)高一學(xué)生來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是很艱難的。它首先需要利用換元、整體代換的思想方法將這個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的含參的二次函數(shù)表達(dá)式。因此，在求函數(shù)的最值問(wèn)題上不是簡(jiǎn)單的看函數(shù)的單調(diào)性，還需考慮新函數(shù)的定義域，也需討論函數(shù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系。這道題基本涵蓋了我們處理二次函數(shù)問(wèn)題所涉及的所有知識(shí)，綜合性較強(qiáng)。

在初中我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念、圖象及一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)。對(duì)一些題型如用待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式，用配方法或者對(duì)稱軸求解二次函數(shù)在R上的最值也掌握得不錯(cuò)。而進(jìn)入高中的學(xué)習(xí)之后，二次函數(shù)的內(nèi)容穿插在各章節(jié)之中。主要考查定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、最值、函數(shù)在某一區(qū)間根的分布情況、二次函數(shù)與一元二次方程，以及一元二次不等式之間的關(guān)系等。對(duì)不含參數(shù)的二次函數(shù)在局部區(qū)間上求函數(shù)的單調(diào)性、最值也多有涉及。但像本題一樣借助換元法、分類討論及數(shù)形結(jié)合思想對(duì)函數(shù)本身進(jìn)行轉(zhuǎn)化為通過(guò)動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間的最值討論求字母參數(shù)的題目的確少有研究。因此，在整個(gè)討論過(guò)程中學(xué)生是很痛苦的。這必須要求學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)具備更為深刻的理解，而非停留在簡(jiǎn)單的記憶和套用上。存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行探討，具有一定的隱密性和復(fù)雜性的特征。當(dāng)然這對(duì)學(xué)生知識(shí)遷移跟應(yīng)用能力要求較高，對(duì)于一般的學(xué)生來(lái)說(shuō)難以及時(shí)掌握。這就勢(shì)必造成了初中教學(xué)與高中教學(xué)的脫節(jié)。許多學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生抵觸乃至厭學(xué)心理，導(dǎo)致高中數(shù)學(xué)成績(jī)直線下降。因此，做好初高中教學(xué)銜接是非常有必要的。

從本題而言，二次函數(shù)教學(xué)上應(yīng)做好三點(diǎn)銜接。一是知識(shí)方面的銜接。相當(dāng)部分高一學(xué)生已會(huì)配方法，也會(huì)討論定值定區(qū)間的最值了，但對(duì)動(dòng)軸定區(qū)間、定軸動(dòng)區(qū)間、動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間問(wèn)題的討論還很陌生。應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)熟練做草圖，運(yùn)用動(dòng)態(tài)的眼光觀察指定區(qū)間上的最值。二是思想方法上的銜接，本題從宏觀上講，首先要有整體代換的換元思想，其次要有區(qū)間與對(duì)稱軸位置的分類討論思想，還要有將存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成單變量最值問(wèn)題的等價(jià)思想，也要有“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想。應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這其中的變與不變的根本和關(guān)系。這將是對(duì)學(xué)生充分應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力的培養(yǎng)。學(xué)生在這個(gè)過(guò)程的接受能力也許有限，教師不要急于求成，要在平常的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)訓(xùn)練，多刺激學(xué)生深刻透徹的理解二次函數(shù)，掌握基本題型的求解方法。學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中能力得到了提升，視野得到了開(kāi)拓，這必將有效的促進(jìn)初高中教學(xué)銜接。三是心理上的銜接。在初中階段，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)二次函數(shù)，容易產(chǎn)生輕視感與疲勞感，認(rèn)為二次函數(shù)簡(jiǎn)單，只需復(fù)習(xí)鞏固就可考高分。很顯然，這是一種僥幸心理，導(dǎo)致的后果必然是一聽(tīng)就懂，一做就錯(cuò)。因此，在教學(xué)中，應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)高中二次函數(shù)學(xué)生的重要性與艱巨性，認(rèn)清初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)函數(shù)內(nèi)容跟高中的本質(zhì)區(qū)別，為學(xué)生指明高中學(xué)習(xí)的方向與目標(biāo)。

總之，為了學(xué)生更好地適應(yīng)新課改下的數(shù)學(xué)教學(xué)要求，教師必須立足于當(dāng)下學(xué)生所掌握的內(nèi)容，樹(shù)立初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接的重要意識(shí)，做好初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接。