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    基于連續(xù)三角模方冪的模糊蘊(yùn)涵關(guān)于三角模與三角余模的分配方程

    2021-04-26 08:20:24付伊嘉周紅軍
    關(guān)鍵詞:蘊(yùn)涵阿基米德三元組

    付伊嘉, 周紅軍

    (陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,西安 710119)

    0 引言

    模糊蘊(yùn)涵在包括模糊形態(tài)學(xué)、圖像處理、詞語(yǔ)計(jì)算、數(shù)據(jù)挖掘、粗糙集、模糊關(guān)系方程等在內(nèi)的諸多模糊數(shù)學(xué)分支中扮演著重要的角色[1–7]。因此,很多學(xué)者致力于模糊蘊(yùn)涵的研究,并且促進(jìn)了模糊蘊(yùn)涵的快速發(fā)展。根據(jù)構(gòu)造方法,模糊蘊(yùn)涵可分為(S,N)-蘊(yùn)涵、R-蘊(yùn)涵、QL-蘊(yùn)涵、Yager 蘊(yùn)涵以及序和蘊(yùn)涵[8–10]。最近,文獻(xiàn)[11–14]中基于連續(xù)三角模的冪提出了T-冪蘊(yùn)涵。文獻(xiàn)[15–17]對(duì)這類(lèi)蘊(yùn)涵的一些重要性質(zhì)做了深入研究,T-冪蘊(yùn)涵的重要性在于其可以滿足一些特殊的性質(zhì),這使得它在近似推理的應(yīng)用中是不可或缺的,本文也將說(shuō)明T- 冪蘊(yùn)涵不同于其他各類(lèi)模糊蘊(yùn)涵。

    各類(lèi)模糊蘊(yùn)涵關(guān)于三角模和三角余模的分配方程是重要的研究方向,主要包括如下四類(lèi)分配方程,它們分別是二值命題邏輯中相應(yīng)重言式的模糊化,在刻畫(huà)邏輯代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)和解決模糊系統(tǒng)中推理規(guī)則爆炸問(wèn)題中均起著重要作用[18–19]

    其中I是模糊蘊(yùn)涵,T、T1、T2是三角模,S、S1、S2是三角余模。目前主要研究成果有:

    1) 文獻(xiàn)[20]給出了當(dāng)I是(S,N)-蘊(yùn)涵、R-蘊(yùn)涵、QL-蘊(yùn)涵時(shí),分配方程(1)~(4)的解;

    2) 文獻(xiàn)[9]給出了序和蘊(yùn)涵關(guān)于三角模和三角余模的四類(lèi)分配方程的解;

    3) 文獻(xiàn)[21]研究了四類(lèi)分配方程在I取一些特殊的R-蘊(yùn)涵和S-蘊(yùn)涵時(shí),T與S的結(jié)構(gòu)刻畫(huà);

    4) 文獻(xiàn)[22]研究了當(dāng)I是由嚴(yán)格三角模生成的R-蘊(yùn)涵時(shí),分配方程I(x,S(y,z)) =S(I(x,y),I(x,z))的求解問(wèn)題;

    5) 文獻(xiàn)[23–24]分別將四類(lèi)分配方程中的三角模T和三角余模S推廣到可表示一致模的情形,當(dāng)T和S都是給定的可表示一致模時(shí),刻畫(huà)了模糊蘊(yùn)涵I滿足式(1)和式(2)時(shí)的結(jié)構(gòu);他們也刻畫(huà)了當(dāng)T1=T2都是嚴(yán)格三角模時(shí),分配方程(3)的求解問(wèn)題,并且研究了當(dāng)S1和S2都是冪零三角余?;蛘邍?yán)格三角余模時(shí),模糊蘊(yùn)涵I滿足(4)式時(shí)的結(jié)構(gòu)。

    此外,關(guān)于聚合算子的分配方程也得到大量的研究,文獻(xiàn)[25–26]研究了分配方程關(guān)于一致模和聚合算子的求解問(wèn)題,文獻(xiàn)[27]研究了分配性方程關(guān)于冪等一致模的求解問(wèn)題.

    本文研究T-冪蘊(yùn)涵關(guān)于一般三角模和三角余模的四類(lèi)分配方程成立的充要條件。論文內(nèi)容安排如下:第1 節(jié)回顧本文需要的預(yù)備知識(shí),包括三角模、三角余模、模糊蘊(yùn)涵、T-冪蘊(yùn)涵、模糊否定等。第2 節(jié)給出T-冪蘊(yùn)涵關(guān)于一般三角模和三角余模的四類(lèi)分配方程成立的充要條件。第3 節(jié)討論T-冪蘊(yùn)涵與其他已知模糊蘊(yùn)涵的關(guān)系。第4 節(jié)對(duì)本文作以簡(jiǎn)要總結(jié)并且對(duì)未來(lái)工作進(jìn)行展望。

    1 預(yù)備知識(shí)

    為便于閱讀,下面回顧本文中用到的一些基本概念和性質(zhì)。

    定義1[28]稱二元函數(shù)T: [0,1]2→[0,1]是三角模,若T滿足交換律與結(jié)合律,關(guān)于兩個(gè)變?cè)獑握{(diào)不減,并且以1 為單位。

    表1 給出了幾種常用的三角模。

    表1 常用的三角模

    若三角模T滿足,對(duì)任意的x ∈[0,1], T(x,x)=x,則T=TM。

    定義2[28]稱二元函數(shù)S:[0,1]2→[0,1]是三角余模,若S滿足交換律與結(jié)合律,關(guān)于兩個(gè)變?cè)獑握{(diào)不減,并且以0 為單位。

    表2 給出了幾個(gè)常用的三角余模。

    表2 常用的三角余模

    若三角余模S滿足,對(duì)任意的x ∈[0,1], S(x,x)=x,則S=SM。

    定義3[29]稱二元函數(shù)I:[0,1]2→[0,1]是模糊蘊(yùn)涵,若對(duì)于任意x,y,z ∈[0,1],I滿足以下條件:

    (I1) 當(dāng)x ≤y時(shí),I(y,z)≤I(x,z);

    (I2) 當(dāng)y ≤z時(shí),I(x,y)≤I(x,z);

    (I3)I(0,0)=1;

    (I4)I(1,1)=1;

    (I5)I(1,0)=0。

    全體模糊蘊(yùn)涵之集記為FI。從以上定義知,任一模糊蘊(yùn)涵I滿足以下兩條性質(zhì),分別稱為左邊界條件和右邊界條件:

    (LB)I(0,y)=1, y ∈[0,1];

    (RB)I(x,1)=1, x ∈[0,1]。

    定義4[28]稱一元函數(shù)N: [0,1]→[0,1]是模糊否定,若N(0) = 1, N(1) = 0,并且N是單調(diào)不增的。

    1) 稱模糊否定N是標(biāo)準(zhǔn)模糊否定,若對(duì)于任意x ∈[0,1], N(x) = 1-x,記為N=NC。

    2) 令

    則N?是模糊否定,且N?是最大的模糊否定。

    定義5[30]設(shè)I是模糊蘊(yùn)涵,T是三角模,N是模糊否定,稱I滿足:

    1) 單位元性質(zhì)(NP),若對(duì)于任意y ∈[0,1],有I(1,y)=y;

    2) 置換性質(zhì)(EP),若對(duì)于任意x,y,z ∈[0,1],有I(x,I(y,z))=I(y,I(x,z));

    3) 恒等性質(zhì)(IP),若對(duì)于任意x ∈[0,1],有I(x,x)=1;

    4) 序性質(zhì)(OP),若對(duì)于任意x,y ∈[0,1], I(x,y)=1 當(dāng)且僅當(dāng)x ≤y;

    5) 關(guān)于N的逆否性質(zhì)(CP(N)),若對(duì)任意x,y ∈[0,1],有I(x,y)=I(N(y),N(x));

    6)T的輸入原則(LIT),若對(duì)于任意x,y,z ∈[0,1],有I(T(x,y),z)=I(x,I(y,z));

    7)T傳遞性,若對(duì)于任意x,y,z ∈[0,1],有T(I(x,y),I(y,z))≤I(x,z)。

    設(shè)T是連續(xù)三角模,根據(jù)T的連續(xù)性和結(jié)合性,可以用通常的遞歸方式定義元素x ∈[0,1]基于三角模T的整數(shù)冪

    定理1[29]設(shè)T:[0,1]2→[0,1]是二元函數(shù),則以下兩條等價(jià):

    (i)T是連續(xù)的阿基米德三角模;

    (ii)T有連續(xù)的加法生成子t,即存在一個(gè)滿足t(1) = 0 的連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)遞減的函數(shù)t: [0,1]→[0,∞],使得對(duì)于任意x,y ∈[0,1],有T(x,y) =t-1(min((t(x)+t(y)),t(0))。三角模的加法生成子在相差正常數(shù)倍的意義下是唯一的。

    定理2[29]設(shè)T是連續(xù)的阿基米德三角模,t:[0,1]→[0,∞]是T的加法生成子,則:

    1)T是嚴(yán)格三角模,當(dāng)且僅當(dāng)t(0)=∞;

    2)T是冪零三角模,當(dāng)且僅當(dāng)t(0)<∞。

    引理1[17]設(shè)T是連續(xù)三角模,IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵。

    1) 若T=TM,則

    其中0<a <1。

    4) 若T=TL,則

    為便于第3 節(jié)說(shuō)明T-冪蘊(yùn)涵不同于其他已有各類(lèi)模糊蘊(yùn)涵,這里再回憶其他各類(lèi)模糊蘊(yùn)涵的定義。

    定義9[28]稱二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是(S,N)-蘊(yùn)涵,若存在三角余模S和模糊否定N,使得對(duì)于任意x,y ∈[0,1], I(x,y) =S(N(x),y)。為明確起見(jiàn),將上述I記為IS,N。如果N是強(qiáng)模糊否定,那么稱I為強(qiáng)模糊蘊(yùn)涵或者S-蘊(yùn)涵。

    定義10[28]稱二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是QL-蘊(yùn)涵,若存在三角模模T,三角余模S和模糊否定N,使得對(duì)于任意x,y ∈[0,1], I(x,y) =S(N(x),T(x,y))。為明確起見(jiàn),將上述I記為IT,S,N。

    定義11[28]稱二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是R-蘊(yùn)涵,若存在三角模T,使得對(duì)于任意x,y ∈[0,1], I(x,y)=sup{t ∈[0,1]|T(x,t)≤y}。為明確起見(jiàn),將上述I記為IT。

    2 T-冪蘊(yùn)涵的分配方程

    由文獻(xiàn)[29]中7.2 節(jié)可知,若模糊蘊(yùn)涵I滿足(NP),那么I滿足分配方程(1)~(4)的充要條件分別是對(duì)應(yīng)分配方程中的T=TM, S=SM。f-蘊(yùn)涵,g-蘊(yùn)涵,(S,N)-蘊(yùn)涵,QL-蘊(yùn)涵以及R-蘊(yùn)涵都滿足(NP),然而T-冪蘊(yùn)涵不滿足(NP),因此,T-冪蘊(yùn)涵與其他已知模糊蘊(yùn)涵四類(lèi)分配方程成立的充要條件的證明方法是不同的。文獻(xiàn)[29]僅僅給出了f-蘊(yùn)涵、g-蘊(yùn)涵、(S,N)-蘊(yùn)涵、QL-蘊(yùn)涵以及R-蘊(yùn)涵關(guān)于三角模和三角余模的四類(lèi)分配方程成立的充要條件,本節(jié)將完善文獻(xiàn)[29]的7.2 節(jié)關(guān)于模糊蘊(yùn)涵分配方程的內(nèi)容,給出T-冪蘊(yùn)涵關(guān)于一般三角模和三角余模的四類(lèi)分配方程成立的充要條件。

    2.1 分配方程(1)

    定理3 設(shè)T是三角模,S是三角余模,ITM是由TM生成的T-冪蘊(yùn)涵,則(T,S,ITM)滿足(1)式,當(dāng)且僅當(dāng)S=SM。

    證明 =?設(shè)(T,S,ITM)滿足(1)式,x ∈[0,1],則由(1)式,可得

    所以S(x,x)≤x。由于S是三角余模,可知S(x,x)≥x,因此,S(x,x) =x,那么S=SM。

    綜上,證得(T,SM,ITM)滿足(1)式。

    定理4 設(shè)T*是三角模,S是三角余模,T是連續(xù)阿基米德三角模,IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵,則(T*,S,IT)滿足(1)式,當(dāng)且僅當(dāng)T*=TM, S=SM。

    證明 =?設(shè)t是T的加法生成子,(T*,S,IT)滿足(1)式,x ∈[0,1],則由(1)式,可得

    綜上證得(TM,SM,IT)滿足(1)式。

    例1 設(shè)T是三角模,S是三角余模,ITP是由TP生成的T-冪蘊(yùn)涵,ITL是由TL生成的T-冪蘊(yùn)涵。由于TP, TL是連續(xù)的阿基米德三角模,所以由定理4 可知:

    (i) (T,S,ITP)滿足(1)式,當(dāng)且僅當(dāng)T=TM, S=SM;(ii) (T,S,ITL)滿足(1)式,當(dāng)且僅當(dāng)T=TM, S=SM。

    定理5 設(shè)T= (〈aα,bα,Tα〉)α∈A是連續(xù)的序和三角模,其中Tα是連續(xù)的阿基米德三角模,α ∈A。設(shè)IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵,T*是三角模,S是三角余模,則(T*,S,IT)滿足(1)式,當(dāng)且僅當(dāng)T*=TM, S=SM。

    證明 =?假設(shè)(T*,S,IT)滿足(1)式,對(duì)于任意α ∈A, tα是Tα的加法生成子。任取x ∈[0,1],由(1)式,可得

    因此IT(SM(x,y),z)=1,且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(1,1)=1;否則

    從而IT(SM(x,y),z)=1,且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(1,1)=1;

    ② 若x ≤ z且y > z,則SM(x,y) = max(x,y) =y > z,并且IT(x,z) =1, IT(y,z)=0。因此IT(SM(x,y),z)=0,且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(1,0)=0;

    ③ 若y ≤z且x >z,則與上述情況類(lèi)似;

    ④ 若x >z且y >z,則SM(x,y) = max(x,y)>z,并且IT(x,z) =IT(y,z) =0。因此IT(SM(x,y),z)=0,且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(0,0)=0;

    2) 存在α0∈A,使得z ∈[aα0,bα0],根據(jù)x, y與區(qū)間[aα0,bα0]之間的大小關(guān)系,再討論以下五種情況:

    ① 若x,y/∈∪α0∈A[aα0,bα0],則根據(jù)x, y, aα0, bα0之間的大小關(guān)系,再討論以下四種子情況:

    (a) 若x ≤aα0,并且y ≤aα0,則SM(x,y)≤aα0≤z,從而IT(x,z)=IT(y,z)=1,因此IT(SM(x,y),z)=1,并且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(1,1)=1;

    (b) 若x >bα0,并且y >bα0,則SM(x,y)>bα0≥z,從而IT(SM(x,y),z)=0,并且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(0,0)=0;

    (c) 若y ≤aα0,并且x >bα0,則IT(SM(x,y),z)=0,并且TM(IT(x,z),IT(y,z))=TM(0,1)=0;

    (d) 若x ≤ aα0,并且y > bα0,則與上述子情況類(lèi)似,仍有(TM,SM,IT)滿足(1)式;

    ②x ∈[aα0,bα0]且y/∈[aα0,bα0],再討論以下兩種子情況:

    2.2 分配方程(2)

    命題1[29]設(shè)二元函數(shù)I:[0,1]2→[0,1],則以下兩條等價(jià):

    (i)I關(guān)于第一變?cè)獑握{(diào)不增,即I滿足(I1);

    (ii)I滿足分配方程I(min(x,y),z)=max(I(x,z),I(y,z))。

    注1 由命題1 可知,當(dāng)T=TM, S=SM時(shí),對(duì)于任意模糊蘊(yùn)涵I,三元組(TM,SM,I)都滿足(2)式,從而(TM,SM,IT)也滿足(2)式。

    接下來(lái)刻畫(huà)當(dāng)T*和IT都是固定的,三元組(T*,S,IT)滿足(2)式時(shí)三角余模S的結(jié)構(gòu)。下面的命題是自明的。

    命題2 設(shè)T*=TM是三角模,S是三角余模,則:

    (i) 若ITM是由TM生成的T-冪蘊(yùn)涵,則三元組(T*,S,ITM)都滿足(2)式;

    (ii) 設(shè)T是連續(xù)阿基米德三角模,IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵,則(T*,S,IT)滿足(2)式,當(dāng)且僅當(dāng)S=SM;

    (iii) 設(shè)T= (〈aα,bα,Tα〉)α∈A是連續(xù)的序和三角模,IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵,則(T*,S,IT)滿足(2)式,當(dāng)且僅當(dāng)S=SM。

    定理6 設(shè)S是三角余模,T是連續(xù)阿基米德三角模,IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵,則(T,S,IT)滿足(2)式,當(dāng)且僅當(dāng)S=SL。

    顯然成立。綜上證得三元組(T,SL,IT)滿足(2)式。

    例2 設(shè)S是三角余模,IT是由連續(xù)三角模T生成的T-冪蘊(yùn)涵。由于TP、TL是連續(xù)的阿基米德三角模,所以由定理6 可知:

    (i) 若T=TP,則(T,S,IT)滿足(2)式,當(dāng)且僅當(dāng)S=SL;

    若x,y,z=bα,顯然

    若x,y,z/∈∪α∈A[aα,bα],易證(T,SL,IT)滿足(2)式。綜上證得(T,SL,IT)滿足(2)式。

    推論1 設(shè)S是三角余模,T*是三角模,IT是由連續(xù)的三角模T生成的T-冪蘊(yùn)涵,則有:

    (i) 若T*=TP, T=TL或T*=TL, T=TP,則不存在S,使得三元組(T*,S,IT)滿足(2)式;

    (ii) 若T*是連續(xù)的阿基米德三角模,T是連續(xù)的非平凡序和三角模,則不存在S,使得三元組(T*,S,IT)滿足(2)式;

    (iii) 若T*是連續(xù)的非平凡序和三角模,T是連續(xù)的阿基米德三角模,則不存在S,使得三元組(T*,S,IT)滿足(2)式。

    證明 (i) 若T*=TP, T=TL,假設(shè)存在S,使得三元組(TP,S,ITL)滿足(2)式。若x >z, y >z且TP(x,y)>z,則

    2.3 分配方程(3)

    所以T2(λ,λ)=λ;若x,y=bα,顯然T2(1,1)=1;若x,y/∈∪α∈A[aα,bα],顯然T2(0,0)=0。綜上證得T2=TM。

    ?= 下證(TM,TM,IT)滿足(3)式。根據(jù)元素x與區(qū)間[aα,bα]的關(guān)系,分為兩種情況:x/∈[aα,bα]和x ∈[aα,bα]。

    1) 若對(duì)于任意α ∈A, x/∈[aα,bα],根據(jù)x, y, z之間的大小關(guān)系,再討論以下四種情況:

    ① 若x ≤y且x ≤z,如果存在α0∈A,使得y,z ∈[aα0,bα0],可知TM(y,z)≥aα0>x,因此IT(x,TM(y,z)) = 1,且TM(IT(x,y),IT(x,z)) =TM(1,1) = 1;否則TM(y,z) = min(y,z)≥x,因此IT(x,TM(y,z)) = 1,且TM(IT(x,y),IT(x,z)) =TM(1,1)=1;

    ② 若x ≤z且x >y,則TM(y,z) = min(y,z) =y <x,因此IT(x,TM(y,z)) =0,且TM(IT(x,y),IT(x,z))=TM(0,1)=0;

    ③ 若x ≤y且x >z,則與上述情況類(lèi)似;

    ④ 若x >y且x >z,則TM(y,z) = min(y,z)<x,因此IT(x,TM(y,z)) = 0,且TM(IT(x,y),IT(x,z))=TM(0,0)=0。

    2.4 分配方程(4)

    定理11 設(shè)I是滿足(OP)的模糊蘊(yùn)涵,S是三角余模,并且I滿足I(x,S(y,z)) =S(I(x,y),I(x,z)),那么三角余模S是冪等的,或不是正的。證明 若S是冪等的,則S=SM,任何模糊蘊(yùn)涵滿足

    另一方面,令S/=SM,那么存在y ∈(0,1),使得S(y,y)>y,因?yàn)閷?duì)于任意x ∈(y,S(y,y)),I滿足I(x,S(y,z)) =S(I(x,y),I(x,z)),通過(guò)(OP)可得I(x,y) =y0<1,并且

    因此,三角余模S不是正的。

    分配方程(3)式和(4)式中,由于三角余模T和三角模S是對(duì)偶的,因此,由定理8 和定理9 可得以下兩條定理。

    定理12 設(shè)S1, S2是連續(xù)的三角余模,ITM是由TM生成的T-冪蘊(yùn)涵,則(S1,S2,ITM)滿足(4)式,當(dāng)且僅當(dāng)S1=SM。

    定理13 設(shè)S1, S2是連續(xù)的三角余模,T是冪零三角模,IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵,則(S1,S2,IT)滿足(4)式,當(dāng)且僅當(dāng)S1=S2=SM。

    注2 若定理13 中的T是嚴(yán)格三角模且有連續(xù)的加法生成子t,則T是正的。由定理11 可知,S2是T的對(duì)偶三角余模,因此,不存在三角余模S1,使得三元組(S1,S2,IT)滿足(4)式。

    例4 設(shè)S1, S2是連續(xù)的三角余模,ITL是由TL生成的T-冪蘊(yùn)涵,由于TL是冪零三角模,由定理13 可知(S1,S2,ITL)滿足(4)式,當(dāng)且僅當(dāng)S1=S2=SM。

    定理14 設(shè)T= (〈aα,bα,Tα〉)α∈A是連續(xù)的序和三角模,IT是由T生成的T-冪蘊(yùn)涵,S1, S2是三角余模,則(S1,S2,IT)滿足(4)式,當(dāng)且僅當(dāng)S1=S2=SM。

    證明 證明過(guò)程和定理10 類(lèi)似。

    稱等式(p ∧q)→r ≡(p →(q →r))為輸入定律,它是經(jīng)典邏輯中的重言式。如上重言式的模糊化由下式給出

    其中I是模糊蘊(yùn)涵,T是三角模[20]。

    注3[20]如果模糊蘊(yùn)涵I關(guān)于任何三角模T滿足(6),通過(guò)T的可交換性,那么I滿足(EP)。因?yàn)門(mén)-冪蘊(yùn)涵不滿足(EP),那么它一定不滿足(6)。

    3 T-冪蘊(yùn)涵與幾類(lèi)模糊蘊(yùn)涵的關(guān)系

    下面,我們研究T-冪蘊(yùn)涵與f-蘊(yùn)涵、g-蘊(yùn)涵、(S,N)-蘊(yùn)涵、QL-蘊(yùn)涵,以及R-蘊(yùn)涵的關(guān)系。

    命題3 設(shè)f是f-生成子,且f(0)=∞,If是f-生成子生成的f-蘊(yùn)涵,則If一定不是T-冪蘊(yùn)涵。

    證明 假設(shè)存在連續(xù)三角模T滿足If(x,y)=IT(x,y),則對(duì)于任意x,y ∈[0,1],有

    由于f(0) =∞,當(dāng)x=y= 0 時(shí),有f-1(0·f(0)) =f-1(∞) = 0。然而IT(x,y) =IT(0,0)=1,矛盾!所以If一定不是T-冪蘊(yùn)涵。

    命題4 設(shè)g是g-生成子,Ig是g-生成子生成的g-蘊(yùn)涵,則Ig一定不是T-冪蘊(yùn)涵。證明 假設(shè)存在連續(xù)三角模T,使得Ig(x,y) =IT(x,y),則對(duì)于任意的x,y ∈[0,1],有

    矛盾!因此,Ig一定不是T-冪蘊(yùn)涵。

    命題5 設(shè)S是三角余模,N是模糊否定,I是由S和N生成的(S,N)-蘊(yùn)涵,則I一定不是T-冪蘊(yùn)涵。

    證明 設(shè)存在三角模S和模糊蘊(yùn)涵N,使得IS,N=IT,則對(duì)于任意x,y ∈[0,1],有

    取x= 1, y ∈(0,1),則由文獻(xiàn)[15]中的命題8 知,IS,N(1,y) =y/= 0 =IT(1,y)。因此,(S,N)-蘊(yùn)涵一定不是T-冪蘊(yùn)涵。

    命題6 設(shè)T是三角模,S是三角余模,N是模糊否定,I是由T、S、N構(gòu)成的QL-蘊(yùn)涵,則I一定不是T-冪蘊(yùn)涵。

    證明 由文獻(xiàn)[28]中例2.6.4 給出下表3,在以下七種情況下,T、S以及N構(gòu)成的QL-蘊(yùn)涵都不是T-冪蘊(yùn)涵。

    表3 常用QL-蘊(yùn)涵中的T, S 與N

    4 結(jié)束語(yǔ)

    本文較系統(tǒng)研究了T-冪蘊(yùn)涵關(guān)于一般三角模和三角余模的四類(lèi)分配方程成立的充分必要條件,并說(shuō)明了T-冪蘊(yùn)涵是新的一類(lèi)模糊蘊(yùn)涵。今后,將關(guān)注由一致模等其他聚合算子如何利用方冪生成模糊蘊(yùn)涵,并研究相應(yīng)模糊蘊(yùn)涵關(guān)于一致模的分配性方程等。

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