DC 型養(yǎng)老基金在多維相依風(fēng)險資產(chǎn)中的最優(yōu)配置

孫景云 郭精軍 趙 煜

(1. 蘭州財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，蘭州 730020;2. 蘭州財經(jīng)大學(xué)甘肅經(jīng)濟(jì)發(fā)展數(shù)量分析研究中心，蘭州 730020)

0 引言

企業(yè)養(yǎng)老金計劃是社會養(yǎng)老保障體系的重要構(gòu)成部分。根據(jù)繳費和收益的不同設(shè)置，目前世界上比較流行的基金積累制養(yǎng)老基金模式主要有繳費確定型(Defined Contribution, DC)和收益確定型(Defined Benefit, DB)兩種形式。在DB 型養(yǎng)老基金中，參與者退休后的給付是事先確定的，而退休前的繳費需要根據(jù)退休后的給付進(jìn)行不斷調(diào)整；而在DC 型養(yǎng)老基金模式中，參與者退休前的繳費是固定常數(shù)或者其收入的一定比例，而退休后的給付需要根據(jù)退休前繳費及養(yǎng)老基金賬戶的投資收益所決定。隨著全球人口結(jié)構(gòu)的改變及長壽風(fēng)險的增加，相比于DB 型養(yǎng)老基金，在DC 型養(yǎng)老基金中，參與者的長壽風(fēng)險以及養(yǎng)老基金賬戶在金融市場中的投資風(fēng)險都由參與者自身所承擔(dān)，因而該模式目前受到世界各國的普遍歡迎。有關(guān)DC 型養(yǎng)老基金的最優(yōu)配置問題已成為近年來投資組合管理領(lǐng)域的熱點問題。

自2000 年以來，已有大量的學(xué)者研究了DC 型養(yǎng)老基金的最優(yōu)投資組合問題。根據(jù)投資決策目標(biāo)的不同，現(xiàn)有文獻(xiàn)主要研究如下三個方面的最優(yōu)資產(chǎn)配置問題：

1) 以最大化終端時刻養(yǎng)老基金賬戶財富的期望效用為目標(biāo)構(gòu)建優(yōu)化問題。基于該目標(biāo)下最優(yōu)資產(chǎn)配置問題的處理方法相對較為成熟，在DC 型養(yǎng)老基金投資管理問題研究的早期階段，許多學(xué)者都采用該目標(biāo)構(gòu)建模型。譬如，文獻(xiàn)[1]在連續(xù)時間框架下，以最大化終端時刻財富的期望冪效用或指數(shù)效用為目標(biāo)，分別獲得了DC 型養(yǎng)老基金在參與者退休前和退休后兩個階段的最優(yōu)投資策略。在同樣的目標(biāo)下，文獻(xiàn)[2]將文獻(xiàn)[1]中的模型擴(kuò)展到隨機利率和隨機工資的情形。文獻(xiàn)[3]則在對數(shù)效用準(zhǔn)則下，利用Legendre 變換和對偶理論獲得了DC 型養(yǎng)老基金的最優(yōu)投資策略；

2) 在均值-方差目標(biāo)下研究DC 型養(yǎng)老基金的最優(yōu)資產(chǎn)配置問題。由于效用目標(biāo)只考慮終端時刻期望收益的最大化，而并沒有考慮投資的風(fēng)險。為了兼顧投資的收益和風(fēng)險，Markowitz[4]在1952 年提出了著名的均值-方差投資組合選擇模型。該模型由于同時考慮了投資的收益和風(fēng)險，已成為現(xiàn)代投資組合理論的基石，在業(yè)界和學(xué)術(shù)界也得到廣泛應(yīng)用。譬如，在養(yǎng)老基金最優(yōu)配置領(lǐng)域內(nèi)，文獻(xiàn)[5]在均值-方差準(zhǔn)則下，獲得了通貨膨脹環(huán)境下DC 型養(yǎng)老基金的有效投資策略及其有效前沿?？紤]到參與者退休前存在死亡風(fēng)險及相關(guān)的保費返還條款，文獻(xiàn)[6]在均值-方差目標(biāo)準(zhǔn)則下，獲得了DC 型養(yǎng)老基金在退休前的時間一致性均衡投資策略；

3) 以最小化期望平方損失為目標(biāo)構(gòu)建最優(yōu)投資組合問題。由于養(yǎng)老基金自身特殊的用途，其在金融市場的投資過程中應(yīng)避免養(yǎng)老基金賬戶財富出現(xiàn)過大的損失，因此基于最小化平方損失目標(biāo)的投資策略近年來也受到關(guān)注。譬如，文獻(xiàn)[7]在離散時間多期框架下，以最小化期望平方損失函數(shù)為目標(biāo)，研究了DC 型養(yǎng)老基金的最優(yōu)投資問題。文獻(xiàn)[8]進(jìn)一步對文獻(xiàn)[7]中的損失函數(shù)進(jìn)行了修正，并在多維資產(chǎn)環(huán)境中，基于不同的風(fēng)險測度考慮了DC 型養(yǎng)老基金的最優(yōu)配置問題。文獻(xiàn)[9]考慮到參與者收入的不確定性，結(jié)合動態(tài)的投資目標(biāo)，同樣在最小化平方損失目標(biāo)下，獲得了DC 型養(yǎng)老基金在累積階段的最優(yōu)投資策略。更多有關(guān)DC 型養(yǎng)老基金最優(yōu)配置問題的最新研究可參見文獻(xiàn)[10–12]。

在上述文獻(xiàn)中，大多數(shù)學(xué)者用幾何布朗運動來刻畫風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程。考慮到風(fēng)險資產(chǎn)價格波動率的時變特征，也有一些學(xué)者用常數(shù)彈性方差(Constant Elastic Variance,CEV)模型或者Heston 隨機波動率模型來描述資產(chǎn)的價格過程。然而，當(dāng)市場中的利率、匯率及宏觀政策等發(fā)生突然變化，或者金融危機、戰(zhàn)爭等突發(fā)事件發(fā)生時，經(jīng)常會導(dǎo)致股票價格發(fā)生劇烈的波動從而出現(xiàn)大幅上漲或下跌的跳躍現(xiàn)象。因此，一些文獻(xiàn)用跳擴(kuò)散模型來刻畫股價過程[13–14]。事實上，當(dāng)金融市場中存在多個可供交易的風(fēng)險資產(chǎn)時，上述系統(tǒng)性風(fēng)險會對市場中幾乎所有的股價產(chǎn)生沖擊。譬如，2008 年國際金融危機的爆發(fā)，使得全球的股市出現(xiàn)劇烈動蕩。2015 年的中國股票市場也曾多次出現(xiàn)過千股漲停、千股跌停局面?；诖?，文獻(xiàn)[15]將股價的跳躍性和受共同沖擊而產(chǎn)生的相依性同時考慮進(jìn)來，利用相依跳擴(kuò)散模型來刻畫金融市場中n個風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程，并在均值-方差目標(biāo)準(zhǔn)則下獲得了時間一致性均衡投資策略的解析形式。

受文獻(xiàn)[15]的啟發(fā)，本文考慮了當(dāng)金融市場中n個風(fēng)險資產(chǎn)的價格滿足相依跳擴(kuò)散模型時，DC 型養(yǎng)老基金在退休前累積階段的最優(yōu)投資問題?？紤]到養(yǎng)老基金參與者在退休之前，當(dāng)發(fā)生跳槽、職位變動、晉升或失業(yè)等情況時，其工資收入也會發(fā)生突然的跳躍。因此，我們將參與者的收入過程也用一個跳擴(kuò)散過程來刻畫。在DC 型養(yǎng)老基金參與者退休之前，對其基金賬戶財富進(jìn)行金融市場投資的目的是使得其退休時刻基金賬戶中的財富越多越好，從而可以保證其退休之后的正常給付。因此，根據(jù)對參與者退休后的預(yù)期給付，本文假定養(yǎng)老基金管理者設(shè)置了一個預(yù)期的投資目標(biāo)，根據(jù)該投資目標(biāo)與退休時刻養(yǎng)老基金賬戶額度之間的差額定義損失函數(shù)，以最小化期望平方損失函數(shù)為目標(biāo)構(gòu)建了最優(yōu)資產(chǎn)配置問題。我們利用隨機動態(tài)規(guī)劃方法獲得了最優(yōu)投資策略及值函數(shù)的解析形式。在數(shù)值算例部分，利用精算原理給出測算預(yù)期投資目標(biāo)的方法，并分析了最優(yōu)投資策略及值函數(shù)(根據(jù)值函數(shù)的定義，文中也稱其為最小期望損失函數(shù))相對于相關(guān)參數(shù)的敏感性。本文的創(chuàng)新點在于：

1) 將金融市場中多維風(fēng)險資產(chǎn)價格的相依跳擴(kuò)散過程和DC 型養(yǎng)老基金參與者退休前的跳擴(kuò)散收入過程同時納入優(yōu)化模型，研究了養(yǎng)老基金在該市場中的最優(yōu)配置問題；

2) 通過引入盈余偏好參數(shù)對平方損失函數(shù)進(jìn)行修正和擴(kuò)展，根據(jù)盈余偏好的不同取值，將養(yǎng)老基金管理者分為保守型和盈余偏好型，并以最小化該修正的平方損失函數(shù)為目標(biāo)構(gòu)建優(yōu)化問題。

本文結(jié)構(gòu)如下：第1 節(jié)介紹金融市場和財富過程；第2 節(jié)建立基于最小化平方損失目標(biāo)下DC 型養(yǎng)老基金在退休前累積階段的最優(yōu)投資問題，并得到最優(yōu)化問題的最優(yōu)投資策略及值函數(shù)的解析形式；第3 節(jié)通過數(shù)值算例驗證本文理論結(jié)果并分析了最優(yōu)投資策略對相關(guān)參數(shù)的敏感性；第4 節(jié)對本文進(jìn)行了總結(jié)。

1 金融市場及財富過程

我們首先用T代表養(yǎng)老基金參與者從進(jìn)入養(yǎng)老計劃直到退休所持續(xù)的時間水平。記號“?”表示矩陣或向量的轉(zhuǎn)置。另外，我們假定金融市場中的交易可以連續(xù)發(fā)生，且不存在交易成本和稅收費用。

1.1 金融市場

假定金融市場由一個無風(fēng)險資產(chǎn)(銀行賬戶)和n(≥2)個風(fēng)險資產(chǎn)(股票)所構(gòu)成，其中無風(fēng)險資產(chǎn)S0(t)的價格過程滿足

這里r(t)表示市場利率，假定其為時間的確定性函數(shù)。

現(xiàn)假定市場中存在n個可供交易的風(fēng)險資產(chǎn)。由于在現(xiàn)實的金融市場中，每家公司股票價格的漲跌既受到來自公司自身非系統(tǒng)性風(fēng)險的影響，也會遭受市場系統(tǒng)性風(fēng)險的沖擊，譬如，利率、匯率的調(diào)整，經(jīng)濟(jì)政策的改變，突發(fā)性國際政治事件甚至金融危機的發(fā)生，都會對金融市場中幾乎所有的股票價格產(chǎn)生不同程度的沖擊。因此，類似于文獻(xiàn)[15]的設(shè)置，我們假定n個風(fēng)險資產(chǎn)的價格Si(t), i= 1,2,··· ,n由于受到市場系統(tǒng)性風(fēng)險的共同沖擊，分別用如下的相依跳擴(kuò)散過程來刻畫

這里r(t)+ξi表示第i支股票的預(yù)期收益率，其中ξi ＞0 表示該支股票的風(fēng)險溢價。令σi= (σi1,σi2,··· ,σin)?表示該股價關(guān)于Brownian 運動的波動率向量且滿足σij ＞0, i,j= 1,2,··· ,n。定義σ= (σij)n×n，并假設(shè)σ滿足非退化條件σσ?≥δI，這里δ ＞0 為給定的常數(shù)，I是n階單位矩陣。γi ＞0 是該股價關(guān)于跳過程的波動率系數(shù)。另外，n維標(biāo)準(zhǔn)Brownian 運動

在該模型中，市場中n支股票的價格在[0,t]時間段內(nèi)均受到由計數(shù)過程M(t)所帶來的共同價格跳躍沖擊，因而n支股票的價格之間呈現(xiàn)出一定的相依性。

在DC 型養(yǎng)老計劃中，參與者從進(jìn)入養(yǎng)老計劃開始，需要定期地向養(yǎng)老基金賬戶繳納養(yǎng)老基金?，F(xiàn)有文獻(xiàn)通常將參與者的繳費水平設(shè)定為固定的常數(shù)[5–6]，或其收入的一定比例。當(dāng)參與者的收入過程用隨機的擴(kuò)散過程來刻畫時，許多文獻(xiàn)將其繳費過程也假設(shè)為類似于幾何布朗運動的擴(kuò)散過程[9,10,16]。本文假定DC 型養(yǎng)老基金參與者在其退休之前會有持續(xù)的收入。但不同于以往文獻(xiàn)，本文假定收入過程L(t)滿足一個跳擴(kuò)散過程。這是因為在現(xiàn)實中，參與者的工資水平會由于工作單位的變更、職位的晉升、崗位的調(diào)整或者其他的原因等，突然出現(xiàn)較大幅度的跳躍。譬如，養(yǎng)老基金參與者職位的晉升會使得其收入水平出現(xiàn)較大幅度的增長；而下崗、失業(yè)等又將會導(dǎo)致參與者未來的收入突然大幅縮水?；诖?，本文假設(shè)DC 型養(yǎng)老基金參與者在退休前的收入過程滿足如下的跳擴(kuò)散過程

這里μl+ξlr(t)表示參與者收入的增長率，其中μl, ξl ＞0 表明該增長率與市場利率有關(guān)。該增長率的第一項μl反映了對參與者的通脹補償或其福利水平的提高，第二項ξlr(t)則反映了宏觀經(jīng)濟(jì)形勢對收入增長率的影響。表示在經(jīng)濟(jì)繁榮時期(高利率)參與者收入的增長率要比經(jīng)濟(jì)衰退時期(低利率)收入的增長率要高[17]。σl=(σl1,σl2,··· ,σln)?表示收入的波動率系數(shù)向量，其中Nl(t)是強度參數(shù)為λl的Poisson 過程。Zi表示參與者的收入發(fā)生第i次跳躍時的高度，他們之間為獨立同分布的隨機變量，且對于任意的i=1,2,···，有E(Zi) =μz,E(Z2i) =νz。本文假定在DC 型養(yǎng)老計劃中，參與者從進(jìn)入養(yǎng)老計劃開始，將其收入按一定的比例連續(xù)地繳納于養(yǎng)老基金賬戶。若記0＜q ＜1 為養(yǎng)老基金的繳費比率，則該養(yǎng)老基金的繳費率水平為qL(t)。

1.2 財富過程

這里ξ=(ξ1,ξ2,··· ,ξn)?。

注1 本文所有的隨機過程和隨機變量均定義在賦流的概率空間(Ω,F,P)上，這里F={Ft}t∈[0,T]，F(xiàn)t表示截止到t時刻由跳過程{Ni(t), i= 1,2,··· ,n}，{Nl(t)}和布朗運動{W(t)}所生成的自然域流，且F滿足通常條件，即{Ft}t∈[0,T]是右連續(xù)和P-完備的。P 表示現(xiàn)實的概率測度。另外，令L2F(0,T;Rn)表示所有在Rn上取值的、可測的、{Ft}t∈[0,T]適應(yīng)的且滿足

的隨機過程h(t)所構(gòu)成的集合。

下面給出可容許策略的定義。

定義1 我們稱投資策略π(·)={π(t);t ≥0}是可容許的，如果π(·)∈L2F(0,T;Rn)且(π(·),Xπ(·))滿足財富過程(??)，并記Π 為所有可容許策略的集合。

2 最小化平方損失目標(biāo)下的最優(yōu)投資問題

在本節(jié)中，我們假定養(yǎng)老基金管理者以最小化參與者養(yǎng)老基金賬戶在退休時刻的財富水平與預(yù)期投資目標(biāo)之間的期望偏離程度為目標(biāo)進(jìn)行投資決策。通常用期望平方損失函數(shù)來刻畫二者之間的偏離程度。類似于文獻(xiàn)[9,18]，我們首先給出如下定義。

定義2 稱函數(shù)

為損失函數(shù)，這里G(t)表示在t時刻基金管理者預(yù)先設(shè)定的投資目標(biāo)額度，假定其為時間的確定性函數(shù)。G(t)-Xπ(t)反映了在t時刻預(yù)期投資目標(biāo)與實際的財富水平之間的偏差，其數(shù)值大小反映了養(yǎng)老基金賬戶在t時刻相對于投資目標(biāo)的損失或赤字。η(≥0)稱為損失修正因子。

注2 函數(shù)R(t,Xπ(t))中的第二項與基金管理者對風(fēng)險的偏好程度有關(guān)。

1) 當(dāng)η=0 時，R(t,Xπ(t))=[G(t)-Xπ(t)]2。此時，基金管理者將參與者基金賬戶中的財富水平超出預(yù)期投資目標(biāo)的部分也被視為損失，說明管理者僅僅希望基金賬戶財富水平到達(dá)預(yù)先確定的目標(biāo)即可，而并不追求更多額外的財富。因此，本文將具有該風(fēng)險屬性的管理者稱為保守型管理者。在文獻(xiàn)[7]中就采用該損失函數(shù)來構(gòu)建優(yōu)化問題。

2) 當(dāng)η ＞0 時，對基金賬戶中超出預(yù)期投資目標(biāo)的盈余部分減輕了懲罰，而對低于預(yù)期投資目標(biāo)的損失部分則加重了懲罰，彌補了η= 0 情形下盈余部分也被視為損失的缺陷。η越大，意味著該損失函數(shù)對損失的懲罰力度越大，對超出目標(biāo)的盈余部分懲罰力度就越小。從而隨著η的增大，該損失函數(shù)對損失的修正力度就越大。我們將采用該損失函數(shù)的基金管理者稱之為具有盈余偏好的投資者。

2.1 問題形成

養(yǎng)老基金管理者希望通過投資組合管理，使得參與者在退休時刻的養(yǎng)老基金賬戶水平相對于預(yù)期投資目標(biāo)的赤字達(dá)到最小。因此基金管理者以最小化期望平方損失為目標(biāo)，面對如下的投資組合選擇問題

這里Aπ表示受策略π(t)控制時過程的微分算子，滿足(下文為簡潔起見，省略π(t)和r(t)中的變量t)

其中Vt、Vx、Vl、Vxx、Vll、Vxl分別表示值函數(shù)V關(guān)于對應(yīng)下標(biāo)變量的偏導(dǎo)數(shù)。

證明 首先定義Tt,T為取值在[t,T]上的停時所構(gòu)成的集合。根據(jù)文獻(xiàn)[19]中的定理3.3.1，對于任意的停時τ ∈Tt,T，有

2.2 問題求解

根據(jù)值函數(shù)V(t,x,l)所滿足的邊界條件(??)，可假設(shè)HJB 方程(??)的解有如下形式

為保證滿足HJB 方程(??)的解H(t,x,l)即為值函數(shù)V(t,x,l)，給出如下驗證定理。

定理2(驗證定理) 已知函數(shù)H(t,x,l)滿足表達(dá)式(??)，且

若H(t,x,l)是HJB 方程(??)的解，則：

(a) 對任意可容許策略π(·)∈Π(t,T)和初始條件(t,x,l), H(t,x,l)≤J(t,x,l;π)；

(b) 如果存在π*(t)滿足

而A1(t)＞0(見式(??))，這表明盈余偏好參數(shù)η對風(fēng)險資產(chǎn)最優(yōu)投資比例的正負(fù)性影響由向量Σ-1Λ 中元素的正負(fù)性所決定。

注4(無工資流入情形) 當(dāng)不考慮養(yǎng)老基金參與者的工資流入過程時，投資決策過程是一個自融資的資產(chǎn)配置過程。此時養(yǎng)老基金的繳費比率為q= 0。從而最優(yōu)投資策略可簡化為

此時，投資者盈余偏好及終端時刻的投資目標(biāo)依然是決定最優(yōu)投資策略的重要因素，它們對最優(yōu)投資比例的正負(fù)性影響仍然由向量Σ-1Λ 中元素的正負(fù)性所決定。

注5 風(fēng)險資產(chǎn)價格過程中的跳躍參數(shù)λ, λi, i= 1,2,··· ,n及參與者收入過程中的跳躍參數(shù)λl均會對最優(yōu)投資策略產(chǎn)生影響。

3 數(shù)值算例

本節(jié)通過數(shù)值算例來進(jìn)一步討論本文的理論結(jié)果。由于在平方損失目標(biāo)下，投資者需事先設(shè)定好預(yù)期的投資目標(biāo)。本文假定DC 型養(yǎng)老基金參與者在w0歲進(jìn)入養(yǎng)老計劃，在w0+T歲退休，本文模型不考慮參與者在退休前的死亡風(fēng)險。假設(shè)生命表中的最大死亡年齡為w0+Td。對處于退休時刻的養(yǎng)老基金參與者而言，希望自己將來能持續(xù)領(lǐng)取養(yǎng)老基金直到死亡，即希望其退休后獲得一定額度的生命年金給付。為了保證參與者退休后不同時刻所領(lǐng)取的年金額度保持相同的購買力水平，這里對年金給付額度進(jìn)行了通貨膨脹調(diào)整。因而基于通貨膨脹調(diào)整意義下具有單位給付生命年金的給付現(xiàn)值為

假設(shè)參與者在退休之后從養(yǎng)老基金賬戶中領(lǐng)取的養(yǎng)老金水平為k(＞0)，則養(yǎng)老基金管理者可根據(jù)參與者退休后未來的期望給付將預(yù)期投資目標(biāo)設(shè)置為G(T)=ka(T)。

在本節(jié)的數(shù)值算例中，我們假定金融市場中只存在兩種(n= 2)風(fēng)險資產(chǎn)，第一種是市值總額較大的大盤股，第二種是市值總額較小的小盤股。結(jié)合市場現(xiàn)實表現(xiàn)，我們假設(shè)市場中這兩支股票價格發(fā)生跳躍的強度和幅度呈現(xiàn)如下特征：

(i) 大盤股股價S1(t)發(fā)生跳躍時，跳躍幅度Y1的波動性相對較小且具有相對較低的到達(dá)強度；

(ii) 小盤股的股價S2(t)發(fā)生跳躍的幅度Y2有較大的波動性且到達(dá)強度也較高。

參考文獻(xiàn)[22]的設(shè)置，我們令Yi= eVi-1, i= 1,2，其中Vi服從非對稱的雙指數(shù)分布，對應(yīng)的密度函數(shù)為

表1 基本參數(shù)表

另外，假設(shè)兩支股票的波動率矩陣為

由(??)式可知，兩風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)投資比例與t時刻的財富水平Xπ(t)及工資水平L(t)均有關(guān)。為了分析方便，下面只考慮t= 0 時刻時最優(yōu)投資策略對相關(guān)參數(shù)的敏感性，并假定初始財富和收入水平分別為x0=1.5, l0=0.5。

圖1 展示了在t= 0 時刻養(yǎng)老基金賬戶初始財富水平x0的變化對最優(yōu)投資策略的影響?；诒舅憷械膮?shù)設(shè)置，我們發(fā)現(xiàn)兩種風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)投資比例均會隨著初始財富的增加而不斷降低。一種可能的解釋是，隨著財富的增加，基金管理者的預(yù)期投資目標(biāo)就越容易實現(xiàn)，因而管理者投資更少的風(fēng)險資產(chǎn)以減少其風(fēng)險暴露。圖2 展示了本文模型中的損失修正因子η對最優(yōu)投資策略的影響。由于在本算例的參數(shù)設(shè)置下，∑-1Λ 中的元素均為正，由(??)可知，損失修正因子η與投資比例之間呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系。從圖2 可以看出，隨著損失修正因子的增加，投資于兩支股票的比例均不斷提高，甚至出現(xiàn)了通過借貸買股票的情況。根據(jù)定義2 中對參數(shù)η的分析，η取值越大，在平方損失目標(biāo)下，意味著模型對參與者退休時刻財富水平超出預(yù)設(shè)目標(biāo)部分的懲罰力度就越小。從而隨著η值的增大，意味著管理者對額外盈余部分具有更大的偏好，因而采取的投資策略就更加激進(jìn)。

圖1 初始財富x0 對最優(yōu)投資策略的影響

圖2 損失修正因子η 對最優(yōu)投資策略的影響

當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)價格受到市場系統(tǒng)性風(fēng)險的共同沖擊時，圖3 顯示了跳躍參數(shù)λ對最優(yōu)投資比例的影響。從該圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著跳躍參數(shù)λ的增大，投資于兩種股票的比例均隨之下降。這說明市場受到系統(tǒng)性風(fēng)險沖擊的次數(shù)越多，股票價格在大幅波動下面臨的不確定性會增加。因此，為了降低風(fēng)險暴露，管理者投資于風(fēng)險資產(chǎn)的比例會相應(yīng)降低。在圖4 中，我們發(fā)現(xiàn)參與者收入過程中產(chǎn)生的跳躍強度λl與最優(yōu)投資比例之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系，這是因為在本算例中，參與者收入發(fā)生跳躍時，隨機跳躍幅度的期望值為正，即說明參與者的收入發(fā)生跳躍時，收入提高的概率更大(在本文算例對收入過程跳躍幅度的雙指數(shù)分布假設(shè)中，假設(shè)了收入向上跳躍的概率為0.88)，因而收入發(fā)生跳躍的強度越大，參與者收入增加的可能性就越大，養(yǎng)老基金賬戶財富與預(yù)期投資目標(biāo)之間的距離就越接近。因此，基金管理者將配置更少的風(fēng)險資產(chǎn)來減少風(fēng)險暴露。

圖3 跳躍強度λ 對最優(yōu)投資策略的影響

圖4 跳躍強度λl 對最優(yōu)投資策略的影響

由(??)式可知，本文定義的值函數(shù)V(0,x0,l0)表示在投資期限[0,T]內(nèi)，基于最優(yōu)投資策略下的最小期望損失函數(shù)值。當(dāng)養(yǎng)老基金管理者為保守型投資者時，損失修正因子η= 0，此時V(0,x0,l0)≥0。當(dāng)V(0,x0,l0)越接近于0 時，表明退休時刻參與者養(yǎng)老基金賬戶財富接近預(yù)期目標(biāo)的可能性越大；當(dāng)管理者為激進(jìn)型投資者時，損失修正因子η ＞0，此時V(0,x0,l0)的值越小，表明退休時刻養(yǎng)老金賬戶財富達(dá)到甚至超過預(yù)期投資目標(biāo)的可能性就越大。下列表2 至表4 中，分別分析了養(yǎng)老基金管理者盈余偏好(即損失修正因子)、風(fēng)險資產(chǎn)的共同跳躍強度以及參與者退休后不同的養(yǎng)老金給付水平對最小期望損失的影響。

從表2 可以看出，隨著基金管理者的盈余偏好η不斷增加，最小期望損失值會越來越小。這是因為隨著η的增大，管理者投資于風(fēng)險資產(chǎn)的比例就越高，見圖2，因而在退休時刻，養(yǎng)老基金賬戶財富達(dá)到甚至超過預(yù)期投資目標(biāo)的可能性就越大。在表3 中，當(dāng)跳躍強度λ取值越大時，表明系統(tǒng)性風(fēng)險對風(fēng)險資產(chǎn)價格的共同沖擊作用變大，導(dǎo)致風(fēng)險資產(chǎn)收益的不確定性增大，因而最小期望損失值就越大。表4 給出了養(yǎng)老基金參與者退休后的給付水平k從0.6 增加到2 時，最小期望損失的變化規(guī)律。由于預(yù)期投資目標(biāo)G(T)=ka(T)，當(dāng)k從0.6 增加到2 時，利用本節(jié)基本參數(shù)可計算出G(T)從10.548 增加到35.16。這表明隨著預(yù)期投資目標(biāo)的增大，養(yǎng)老基金賬戶達(dá)到甚至超越預(yù)期投資目標(biāo)的不確定性增加，因而最小期望損失值會越來越大。

表2 不同盈余偏好η 下的最小期望損失

表3 不同跳躍強度λ 下的最小期望損失

表4 不同給付水平k 下的最小期望損失

4 小結(jié)

本文主要考慮了在多維相依跳擴(kuò)散市場環(huán)境下，DC 型養(yǎng)老基金在參與者退休前累積階段的最優(yōu)投資問題。我們利用跳擴(kuò)散過程刻畫參與者退休前的收入過程，以最小化期望平方損失為目標(biāo)，獲得了最優(yōu)投資策略及值函數(shù)的解析式并給出了數(shù)值算例。我們發(fā)現(xiàn)：

1) 當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)的價格因受系統(tǒng)性風(fēng)險的沖擊而發(fā)生共同跳躍時，以及參與者收入過程也存在跳躍時，它們的跳躍參數(shù)會對最優(yōu)投資策略產(chǎn)生重要影響。尤其是在金融市場中，當(dāng)風(fēng)險資產(chǎn)受到系統(tǒng)性風(fēng)險沖擊的次數(shù)越多時，養(yǎng)老基金管理者應(yīng)該采取更加保守的投資策略；

2) 養(yǎng)老基金管理者的盈余偏好參數(shù)會對最優(yōu)投資策略產(chǎn)生線性影響，影響的正負(fù)性由風(fēng)險資產(chǎn)中的具體參數(shù)來決定；

3) 養(yǎng)老基金管理者預(yù)期投資目標(biāo)的增大，會使得退休時刻基金賬戶的最小期望損失值變大。即隨著預(yù)期投資目標(biāo)的增大，養(yǎng)老基金賬戶達(dá)到甚至超越投資目標(biāo)的不確定性會增加。因此，在養(yǎng)老基金投資管理過程中，管理者應(yīng)設(shè)置合理的預(yù)期投資目標(biāo)。