數(shù)學(xué)概念形成中的弱抽象和強(qiáng)抽象及其教學(xué)

摘要：在數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程中，抽象的形式主要可以分為弱抽象與強(qiáng)抽象兩種。正確認(rèn)識(shí)這兩種抽象形式，厘清它們的關(guān)系，才能在教學(xué)中根據(jù)抽象的規(guī)律設(shè)計(jì)合理的教學(xué)流程，組織有效的教學(xué)活動(dòng)。以初中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?yàn)槔?，分析?shù)學(xué)概念形成中的弱抽象和強(qiáng)抽象及其關(guān)系。教學(xué)中，要通過(guò)弱抽象和強(qiáng)抽象的相互補(bǔ)充來(lái)加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

關(guān)鍵詞：弱抽象;強(qiáng)抽象;數(shù)學(xué)概念教學(xué);數(shù)與代數(shù)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程。一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程是一個(gè)抽象的過(guò)程。但是，不同概念的形成過(guò)程中，抽象的形式不盡相同，主要可以分為弱抽象與強(qiáng)抽象兩種。正確認(rèn)識(shí)這兩種抽象，厘清它們的關(guān)系，才能在教學(xué)中根據(jù)抽象的規(guī)律設(shè)計(jì)合理的教學(xué)流程，組織有效的教學(xué)活動(dòng)。這是學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的需要，更是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的需要。

本文以初中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域?yàn)槔?，分析?shù)學(xué)概念形成中的弱抽象和強(qiáng)抽象及其關(guān)系，談?wù)勏嚓P(guān)的教學(xué)建議。

一、數(shù)學(xué)概念形成中的弱抽象及其教學(xué)

徐利治先生認(rèn)為，弱抽象也可以叫作“擴(kuò)張式抽象”，是指由原型中選取某一特征或側(cè)面加以抽象，從而形成比原型更為普遍、更為一般的概念或理論，并使前者成為后者的特例。由于弱抽象是從原型中分離特性，所以只有結(jié)構(gòu)內(nèi)容較為豐富的對(duì)象才能成為弱抽象的原型。

一些數(shù)學(xué)概念源于生活事物或數(shù)學(xué)現(xiàn)象，它們的形成通常需要經(jīng)歷弱抽象的過(guò)程。比如，對(duì)于函數(shù)的概念，蘇科版初中數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)如下實(shí)例：（1）某水庫(kù)水位的高低與相應(yīng)的蓄水量如下頁(yè)表1;（2）如下頁(yè)圖1，火柴棒的根數(shù)S與“小魚”的條數(shù)之間的關(guān)系為S=8+6（n-1）;（3）水滴激起的波紋看成是一個(gè)不斷向外擴(kuò)展的圓，它的面積隨著半徑的變化而變化……從中概括得到共同屬性“兩個(gè)變量”“一個(gè)變量變化，另一個(gè)變量隨之變化”“一個(gè)變量確定，另一個(gè)變量隨之確定”等，舍棄非本質(zhì)屬性“水庫(kù)”“水位”“蓄水量”“火柴棒”“小魚”“波紋”“面積”“半徑”等，最后將兩個(gè)變量分別用兩個(gè)字母來(lái)表示，得到函數(shù)的概念?？梢?，函數(shù)概念的形成是典型的弱抽象過(guò)程。

又如，對(duì)于代數(shù)式的概念，蘇科版初中數(shù)學(xué)教材類比生活中用圖標(biāo)表示某種意義的現(xiàn)象，引出數(shù)學(xué)中用字母表示具體的數(shù);再結(jié)合大量的實(shí)例，體現(xiàn)用字母表示數(shù)的價(jià)值;最后經(jīng)歷弱抽象，從a-1、a+6、a+7、40-m+n、0.015m（n-20）、st和2a2等式子中，提煉數(shù)與字母做加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算的共同屬性，舍棄其他非本質(zhì)屬性，形成代數(shù)式的概念。

弱抽象過(guò)程的關(guān)鍵是概括提煉。所以，在教學(xué)中，首先應(yīng)該提供大量典型的實(shí)例，作為學(xué)生概括提煉共同屬性的基礎(chǔ)。比如函數(shù)概念的教學(xué)，還可以呈現(xiàn)汽車加油的動(dòng)態(tài)視頻和我國(guó)某海港某一天的實(shí)時(shí)潮位圖（如圖2），讓學(xué)生感受加油量與總價(jià)的變化關(guān)系、時(shí)間與潮位的變化關(guān)系，豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。其次，對(duì)于有些概念應(yīng)該引進(jìn)對(duì)比、干擾的實(shí)例，幫助學(xué)生準(zhǔn)確而有效地概括提煉本質(zhì)特征。比如一元二次方程概念的教學(xué)，在x2=2、x（19-2x）=24、5（1+x）2=9.8等典型實(shí)例的基礎(chǔ)上，還可以增加一元一次、二元一次等不同形式方程的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比中排除干擾，概括提煉一元二次方程的本質(zhì)特征。最后應(yīng)該給予學(xué)生充分的時(shí)間觀察、分析、比較、交流，再概括提煉概念的共同屬性，不要“一步到位”。

二、數(shù)學(xué)概念形成中的強(qiáng)抽象及其教學(xué)

徐利治先生認(rèn)為，強(qiáng)抽象也可以叫作“強(qiáng)化式抽象”，是指在原結(jié)構(gòu)（概念結(jié)構(gòu)的某種原型）中增添某一特性，從而獲得比原結(jié)構(gòu)內(nèi)容更豐富的結(jié)構(gòu)，并使后者成為前者的特例。強(qiáng)抽象過(guò)程中，新的數(shù)學(xué)概念或結(jié)構(gòu)是在原有數(shù)學(xué)概念或結(jié)構(gòu)中增添新的特性而獲得的，所以新概念比原有概念內(nèi)涵更豐富、外延更貧乏。

一些數(shù)學(xué)概念源于已有數(shù)學(xué)概念或理論，它們的形成通常需要經(jīng)歷強(qiáng)抽象的過(guò)程。比如，在數(shù)概念的基礎(chǔ)上增加不同的特性，得到相反數(shù)、倒數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)等概念;在代數(shù)式概念的基礎(chǔ)上增加不同的特性，得到單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等概念;在方程概念的基礎(chǔ)上增加不同的特性，得到一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等概念;在函數(shù)概念的基礎(chǔ)上增加不同的特性，得到一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等概念……

因?yàn)閺?qiáng)抽象過(guò)程中新概念是新增內(nèi)涵條件而得到的，所以，在教學(xué)中需要重點(diǎn)抓住新增的內(nèi)涵條件，從而抓住新概念與原有概念的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)概念的意義建構(gòu)，并發(fā)展學(xué)生的抽象思維。比如，同類二次根式的概念是在二次根式概念的基礎(chǔ)上增加“被開方數(shù)相同”這一條件而得到的，所以，教學(xué)同類二次根式的概念時(shí)，應(yīng)該抓住“被開方數(shù)相同”這一條件，幫助學(xué)生理解其內(nèi)涵與外延，把握其與最簡(jiǎn)二次根式、二次根式的關(guān)系。

三、弱抽象與強(qiáng)抽象的關(guān)系及其教學(xué)啟示

從思維的角度看，弱抽象是從特殊到一般的過(guò)程，屬于歸納思維;強(qiáng)抽象是從一般到特殊的過(guò)程，屬于演繹思維。從知識(shí)的角度看，弱抽象是由下位概念得到上位概念，強(qiáng)抽象是由上位概念得到下位概念。但是，特殊與一般、下位與上位在綜合思維、知識(shí)體系中都是相對(duì)的。而且，通常所說(shuō)的概念，總是不同于實(shí)例而具有一定的抽象性（一般性、上位性）的。因此，通常是先有弱抽象，后有強(qiáng)抽象的。由此，我們可以進(jìn)一步分析弱抽象與強(qiáng)抽象的關(guān)系。

首先，弱抽象形成的概念是強(qiáng)抽象形成其他概念的基礎(chǔ)。比如，通過(guò)弱抽象形成代數(shù)式概念，進(jìn)而以代數(shù)式概念為基礎(chǔ)，通過(guò)強(qiáng)抽象形成整式、分式、方程（等號(hào)連接的代數(shù)式）、不等式（不等號(hào)連接的代數(shù)式）等概念。又如，通過(guò)弱抽象形成函數(shù)概念，進(jìn)而以函數(shù)概念為基礎(chǔ)，通過(guò)強(qiáng)抽象形成一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等概念。這樣就建構(gòu)了相對(duì)完善的概念體系。

其次，強(qiáng)抽象形成的概念也是弱抽象的結(jié)果。比如，由數(shù)的概念強(qiáng)抽象得到的相反數(shù)概念，也可以由5與-5、2.5與-2.5、23與-23、π與-π等大量典型的實(shí)例弱抽象得到。所以，在教學(xué)中，除了抓住新增的內(nèi)涵條件，也要提供具體的例子，豐富學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生理解新概念。

綜上，在教學(xué)中，對(duì)于很多數(shù)學(xué)概念，教師還要引導(dǎo)學(xué)生從弱抽象和強(qiáng)抽象兩個(gè)視角來(lái)認(rèn)識(shí)，通過(guò)弱抽象和強(qiáng)抽象的相互補(bǔ)充來(lái)加深理解。比如，對(duì)于一次函數(shù)的概念，除了引導(dǎo)學(xué)生由函數(shù)的概念強(qiáng)抽象得到，更要引導(dǎo)學(xué)生由y=25x、y=25x+6、Q=40-x10、y=100t、g=h-105等典型的實(shí)例（可以研究具體的問題）弱抽象得到，還可引導(dǎo)學(xué)生由465-15t=420、465-15t=350等一元一次方程的實(shí)例（也可以研究具體的問題）弱抽象得到具體的一次函數(shù)y=465-15t。

最后值得一提的是，徐利治先生、喻平教授都提到了廣義抽象：在定義概念B時(shí)用到了概念A(yù)（或在證明命題B時(shí)用到了命題A），則稱B是A的廣義抽象。筆者認(rèn)為，從初中“數(shù)與代數(shù)”概念教學(xué)的角度來(lái)看，其價(jià)值并不明顯。比如，不等式的解是在不等式的基礎(chǔ)上定義的，從這一角度看，不等式的解是不等式的廣義抽象。但是，我們完全可以從弱抽象和強(qiáng)抽象的視角來(lái)認(rèn)識(shí)這一概念：由“x=3、x=3.5、x=4是不等式x≤4.2的解”等典型的實(shí)例弱抽象得到不等式的解的概念;由“未知數(shù)的值”這一概念強(qiáng)抽象（增加“能使不等式成立”的條件）得到不等式的解的概念。

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的實(shí)踐研究”（編號(hào)：D/2020/02/285）的階段性研究成果。

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