對Auslander類和Bass類的進一步研究*

王善策， 張 珍

(齊魯師范學院數(shù)學學院，250200，山東省濟南市)

0 引 言

交換諾特環(huán)上的半對偶化模最初是由 Foxby[3]、Golod[4]和 Vasconcelos[5]分別以秩為 1 的PG-模、suitable 模和 spherical模三個不同的名字引入并研究的.半對偶化模(復形)在模論、環(huán)論、表示論中扮演了重要的角色.設C是一個半對偶化模，很多情況下，半對偶化?？梢源姝h(huán)自身的正則模，從而可以推廣很多經(jīng)典同調(diào)代數(shù)中的結論.并且，半對偶化模C誘導了一些有趣的模類，像C-投射模類，C-內(nèi)射模類，C-平坦模類.最近，Holm 和 White[7]在一般結合環(huán)上定義了半對偶化雙模，以及 Auslander 和 Bass 類，并用C-投射模，C-內(nèi)射?？坍嬃薃uslander 和 Bass 類.由半對偶化模C誘導的相對同調(diào)代數(shù)引起了國內(nèi)外大量專家學者的關注，并且大家把目光聚焦在關于Auslander 和 Bass 類的研究上.值得注意的是，在非交換、非諾特環(huán)上，Holm 和 White[7]引入了 Foxby 等價的內(nèi)容，即，所有的C-內(nèi)射R-模都包含于 Auslander 類Ac(R)中，所有的C-投射(平坦)S-模都包含于 Bass 類Bc(S)中.

本文的第一個結果，即通過引入偏 Auslander 類 (Bass 類)，推廣了傳統(tǒng)的 Foxby 等價,即定理 2.1.

當R是一交換環(huán)，C是R上的一個半對偶化雙模時，Takahashi and White[9,Corollary 2.4]證明出Auslander類Ac(R)中的所有模都有正和的properC-內(nèi)射分解，Bass類Bc(R)中的所有模都有正和的 properC-投射分解.

本文的第二個結果證明出上述結論的逆也是成立的，即，具有properC-內(nèi)射分解(C-投射分解)的模一定在Auslander類Ac(R)(Bass類Bc(R))中.因此，本文部分推廣了Takahashi 和 White[9,Corollary 2.4]的結果即注2.2.

1 預備知識

本文假設R是含有單位元的結合環(huán).首先，引入一些概念，這些概念被Avramov,Martsinkovsky[1],Holm[5]以及 SatheR-Wagstaff,Sharif 和 White[8-10]所使用.

定義1.1 設χ是一右R-模類，M是一右R-模.M的一個χ-分解是指M含有如下的一個正合序列：…→X1→X0→M→0，其中Xi∈χ，i≥0. 如果對于任意的X∈χ，序列…→HomR(X,X1)→HomR(X,X0)→HomR(X,M)→0仍然是正和的，則…→X1→X0→M→0稱為M的一個properχ-分解.對于M的χ-余分解和properχ-余分解可以類似的定義.

定義1.2[7]一個 (S,R)-雙模sCR稱為半對偶化的，如果它滿足下面5條：

(1)sC有一個S-投射分解，并且分解式中的每一項都是有限生成的左S-投射模;

(2)CR有一個R-投射分解，并且分解式中的每一項都是有限生成的右R-投射模;

(3) 自然的同倫映射sSs→ HomR(C,C)是一個同構；

(4) 自然的同倫映射RRR→ Homs(C,C)是一個同構；

定義1.3[7]設sCR是一半對偶化雙模. 由C誘導的AusLander類Ac(R)是由滿足下列條件的左R-模M構成的集合：

(3)自然的賦值同態(tài)映射μM:M→ Homs(C,C?RM) 是一個同構.

由半對偶化模C誘導的 Bass 類Bc(S)是由滿足下列條件的左S-模N構成的集合：

(3)自然的賦值同態(tài)映射μN:C?RHoms(C,N)→N是一個同構.

設sCR是環(huán)S和R上的半對偶化雙模.本文中，為了方便書寫，我們用符號Hc代替函子Homs(C,-);用Tc代替函子C?R-.

對于任意的左R-模X和左S-模Y，符號μX:X→HCTC(X)和υY:TCHC(Y)→Y代表兩個自然的賦值同態(tài)映射.

2 主要結果

首先，給出偏Auslander類和偏Bass類的概念.

(2) 自然的賦值同態(tài)映射μM:M→ Homs(C,C?RM) 是一個同構.

(2)自然的賦值同態(tài)映射υN:C?RHoms(C,N) →N是一個同構.

命題2.1 設0 →L→M→N→ 0 是一左R-模正和序列，并且在函子Tc下仍保持正和.

證明只證(1)，(2)的證明和(1)類似.

由假設知，存在一個正和序列：0→TC(L)→TC(M)→TC(N)→0.對該正合序列應用左正合函子HC，得到如下交換圖：

首先證明下列范疇間的等價，該等價補充了經(jīng)典的Foxby等價，是文獻[7,Proposition 4.1]的一個推廣.

(2)的證明與(1)類似.

由定義知，AC(R)?CT∩Fix(μC)，BC(S)?C⊥∩Fix(υC).因此通過命題2.2有定理2.1.

定理2.1 下述表格推廣了Foxby等價.

設Ic(R)代表C-內(nèi)射R-模類，coresIc(R)代表具有一個properC-內(nèi)射余分解的左R-模構成的集合,Pc(S)代表C-投射模類，resPc(S)代表具有一個properC-投射分解的左S-模構成的集合，見定義1.1.

命題2.3 對于任意的左R-模M和左S-模N，有

證明只證明(1)，因為(2)的證明和(1)類似.

由文獻 [7,Proposition 5.3(b)(c)]知，Ic(R) 在任意結合環(huán)R上都是一個包絡類.

由定義1.1知M∈coresIc(R) ?M有一個properC-內(nèi)射余分解Δ，即Δ=0→M→HC(I0)→HC(I1)→…→HC(Ii)→…，對于任意的i≥0，Ii都是內(nèi)射左S-模.且該C-內(nèi)射余分解Δ在函子HomR(-,HC(E))(E是任意內(nèi)射R-模)下是正合的.由Hom-tensor的伴隨性同構知，該C-內(nèi)射分解Δ在函子TC下是正合的，即序列TC(Δ)=0→TC(M)→TCHC(I0)→TCHC(I1)→…→TCHC(Ii)→…是正合的.因為Ii是內(nèi)射的，所以TCHC(Ii)?Ii.因此有

(1)HCTC(Δ)?Δ?HCTC(M)?M；

定理2.2 設sCR是一個半對偶化雙模.

(3)的證明方法對偶于(1),故省去證明.

注2.2 由命題2.3和定理2.2知，當CR的平坦維數(shù)有限(sC的投射維數(shù)有限)時，具有properC-內(nèi)射余分解(properC-投射分解)的左R-模(左S-模)一定在Auslander類Ac(R)(Bass類Bc(S))中，即Takahashi和White的結論[9]的逆命題是成立的.