一類分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在唯一性

孫曉陽(yáng), 徐 潤(rùn)

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165,山東省曲阜市)

0 引 言

近兩個(gè)世紀(jì)以來(lái),分?jǐn)?shù)階微積分的研究主要集中在純數(shù)學(xué)上. 然而近幾十年來(lái),分?jǐn)?shù)階微分方程在光熱系統(tǒng),電化學(xué),控制,多孔介質(zhì),電磁等模型的研究中得到了越來(lái)越多的應(yīng)用. 分?jǐn)?shù)階微分方程的定性與定量理論已成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)之一.

在對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程定性性質(zhì)的研究中有很多重要問(wèn)題,其中一個(gè)主要問(wèn)題是解(或正解)的存在唯一性[1-13]. 目前,許多論文致力于研究分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的唯一性. 一些論文利用非線性分析方法研究了微分方程和微分方程組解的唯一性,如Banach壓縮原理,混合單調(diào)算子不動(dòng)點(diǎn)定理,極大值定理,u0-正算子和線性算子理論等；另一部分研究了分?jǐn)?shù)階非線性方程組和分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng). Zhenzhen Yue 和 Yumei Zou 研究了依賴于一階導(dǎo)數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程[14]

其中1<α≤2 且f∈C([0,1]×2,).

在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上,研究了如下分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)

(1)

其中3<α≤4 且f∈C([0,1]×3,,).定義為標(biāo)準(zhǔn)Riemann-Liouville積分的導(dǎo)數(shù)

其中n-1≤α

(H)f:[0,1]×3→是一個(gè)連續(xù)函數(shù)且存在常數(shù)A,B,C>0 使得下式成立

|f(t,u1,v1,w1)-f(t,u2,v2,w2)|≤A|u1-u2|+B|v1-v2|+C|w1-w2|,t∈[0,1].

1 準(zhǔn)備工作

定義1.1 函數(shù)f:[0,1]→的α>0 階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分由以下式子給出

且右側(cè)定義在(0,∞) 上.

定義1.2 本文定義以下3個(gè)函數(shù)

(2)

引理1.1[5]令G如(2)式所示,則有下式成立

為了證明以下定理,通過(guò)計(jì)算得到了下面兩個(gè)式子

tα-2[B(α-1,α-2)+2t2α-3B(α-1,α-1)]≤

tα-2[B(α-1,α-2)+2B(α-1,α-1)],

tα-2B(α-2,α-2)+2t2α-4B(α-2,α-1)≤

tα-2[B(α-2,α-2)+2B(α-2,α-1)],

則E1×E2×E3是范數(shù) ‖(u,v,w)‖E1×E2×E3,‖(u,v,w)‖E1×E2×E3的Banach空間且被定義為

‖(u,v,w)‖E1×E2×E3=max{‖u‖E1,‖v‖E2,‖w‖E3}.

令w=u″,v=u′,由系統(tǒng)(1)得

其中1<α-2≤2.

定義算子T如下所示

T(u,v,w)=(T1(u,v,w),T2(u,v,w),T3(u,v,w)),(u,v,w)∈E1×E2×E3.

T1,T2,T3分別定義為

(3)

對(duì)于 (u,v,w)∈E,由引理1和(H)條件,得出

對(duì)于一個(gè)常數(shù)θ>0. 這表明T1在E中有很好的定義. 也能證明T2和T3有很好的定義. 因此,邊值問(wèn)題解的存在性等價(jià)于T在不動(dòng)點(diǎn)的存在性. 接下來(lái),只考慮Banach空間E=E4×E2×E3的不動(dòng)點(diǎn).

引理4[14]令a,d∈[0,1),b,c∈[0,+∞),且滿足 (1-d)(1-a)>bc. 那么系統(tǒng)

有一個(gè)解 (λ,θ), 且λ∈(0,1),θ>0.

2 主要結(jié)果

首先給出以下記號(hào)

a21=A[B(α-1,α-2)+2B(α-1,α-1)],a22=B[B(α-2,α-2)+B(α-2,α-1)],

a23=C[B(α-3,α-2)+B(α-3,α-1)].

現(xiàn)在通過(guò)Banach壓縮映射原理來(lái)證明解的唯一性.

定理1 假設(shè)條件 (H) 成立,a11,a12,a13,a21,a22,a23, 滿足下列條件

a11<1,a22+a23<1,(1-a11)[1-(a22+a23)]>(a12+a13)a21，

則BVP (1) 有唯一解.

證明由引理4,存在λ∈(0,1) 和θ>0，使得以下系統(tǒng)成立

(4)

在E=E4×E2×E3上應(yīng)用壓縮映射原理. 設(shè)

由 (3),(4) 和條件 (H),有

由 ‖·‖E4的定義,有

類似的,有

上述結(jié)果是由不動(dòng)點(diǎn)定理給出的解的唯一性結(jié)果. 在上述過(guò)程中,我們遇到的困難是如何用引理4來(lái)處理高階微分方程. 本文將w化為常數(shù)M來(lái)處理這類依賴于二階導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程唯一解的問(wèn)題.