親歷建構(gòu)過(guò)程　凸顯概念本質(zhì)

黃惠娟

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容之一。教師要為學(xué)生提供與其生活背景和已有知識(shí)相關(guān)的素材，創(chuàng)設(shè)動(dòng)手操作、觀察比較、抽象推理、建立模型等學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中思考、質(zhì)疑、探究，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程;要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)的建構(gòu)，大膽創(chuàng)新、主動(dòng)發(fā)展，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)。

一、創(chuàng)設(shè)有效情境，感知概念背景

概念的教學(xué)不僅要求學(xué)生理解概念本身，還要通過(guò)情境再現(xiàn)去親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程。心理學(xué)家布魯納認(rèn)為學(xué)習(xí)是主動(dòng)的過(guò)程，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)因的最好激發(fā)是激起學(xué)生對(duì)所學(xué)材料的興趣，即主要來(lái)自學(xué)習(xí)活動(dòng)本身的內(nèi)在動(dòng)機(jī)，這是直接推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的心理動(dòng)機(jī)。有效的情境能調(diào)動(dòng)學(xué)生的想象與情緒，打開學(xué)生的心靈之門，達(dá)到趣中生疑，疑中生思，從而激發(fā)其內(nèi)驅(qū)力，使其更加專注地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探究。因此，在教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)的情境要圍繞概念產(chǎn)生的生活背景，在新知的生長(zhǎng)點(diǎn)上創(chuàng)設(shè)難易適中，既能引起學(xué)生共鳴又有助于形成認(rèn)知沖突，具有趣味性、挑戰(zhàn)性、開放性的問(wèn)題情境，從而加深學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解與認(rèn)知，激發(fā)學(xué)生的探索欲望。

在課初引入環(huán)節(jié)，我創(chuàng)設(shè)了這樣的情境：課件播放“熊爸爸分餅”的動(dòng)畫故事。

第一天，熊爸爸做了4塊餅，想分給兩只小熊，要使每只小熊分得同樣多，每只小熊分得幾塊？（2塊）

第二天，熊爸爸做了2塊餅，想分給兩只小熊，要使每只小熊分得同樣多，每只小熊分得幾塊？（1塊）

第三天，熊爸爸做了1塊餅，想分給兩只小熊，要使每只小熊分得同樣多，每只小熊分得幾塊？（學(xué)生認(rèn)為是半塊）

這半塊餅怎樣表示？你能用什么方式表示這半塊餅?zāi)?？（我讓學(xué)生暢所欲言，充分展示不同的表示方法，并說(shuō)說(shuō)為什么這樣表示，從而引出課題——認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。）

上述片段，以熊爸爸分餅的動(dòng)畫故事導(dǎo)入新課，從每份是整數(shù)過(guò)渡到每份不是整數(shù)，進(jìn)而自然引出了分?jǐn)?shù)。1塊餅平均分給兩只小熊，每只小熊分得半塊餅，這“半塊”不能用整數(shù)表示，那應(yīng)該如何表示呢？我沒(méi)有直接把“分?jǐn)?shù)”的概念呈現(xiàn)給學(xué)生，而是拋出問(wèn)題，讓學(xué)生產(chǎn)生困惑，引起認(rèn)知沖突，經(jīng)歷心靈碰撞，最終激發(fā)了探索的欲望。這樣，將抽象的數(shù)學(xué)概念變成可觀察、可操作的學(xué)習(xí)材料，學(xué)生帶著探求新知的欲望和疑問(wèn)在教師的引領(lǐng)下積極思考，其主動(dòng)探索，主體意識(shí)也能得到提升。

二、利用幾何直觀，觸摸概念內(nèi)涵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力，推理能力和模型思想。”借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，在許多情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來(lái)的，是在觀察和思考基礎(chǔ)上的靈感和頓悟，是思維過(guò)程的高度簡(jiǎn)化。借助幾何直觀理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，可以把抽象難懂的概念通過(guò)圖形生動(dòng)形象的描述，把本質(zhì)的東西顯現(xiàn)出來(lái)，直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，這樣有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的深刻理解，使數(shù)學(xué)概念的教與學(xué)變得形象生動(dòng)。因此，在教學(xué)中教師應(yīng)重視利用幾何直觀幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念。一是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)看圖，能夠用圖形描述概念特征、用圖形討論學(xué)習(xí)中的困惑，使學(xué)生從圖中去理解、思考，發(fā)現(xiàn)理解概念的突破口，從而理解其內(nèi)涵。二是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)題意畫圖，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，變抽象為具體。課堂上，教師不需要把現(xiàn)成的圖直接呈現(xiàn)給學(xué)生，也不需要告訴他們?cè)鯓赢?，而是需要讓學(xué)生在思考的過(guò)程中產(chǎn)生畫圖的需要，使其充分經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，并在畫圖的活動(dòng)中體會(huì)方法，觸摸概念內(nèi)涵。

在新知探索環(huán)節(jié)，從熊爸爸分餅的情境中，提出“怎樣表示半塊餅”這一問(wèn)題后，我引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)字或畫圖表示“一半”。這在課堂上引起了學(xué)生較大的興趣，學(xué)生通過(guò)思考、操作、交流，匯報(bào)了下面5種表示方法。（如圖1）

生：我把1個(gè)圓平均分成2份，其中的1份畫勾，表示半塊餅。

生：我把1個(gè)圓平均分成2個(gè)半圓，1個(gè)半圓就表示半塊餅。

生：我畫了1個(gè)長(zhǎng)方形，平均分成2份，左邊的一半表示半塊餅。

生：我在正方形中間畫一條線，平均分成2個(gè)長(zhǎng)方形，左邊的長(zhǎng)方形表示半塊餅。

生：我畫了1條線，平均分成2段，左邊的一半表示半塊餅。

生：我用2（1）表示半塊餅。

生：我用[1/2]表示半塊餅。

生：我用[2/2]表示半塊餅。

生：我用[2/1]表示半塊餅。

這時(shí)，我充分利用這些生成資源，讓學(xué)生上臺(tái)解釋為什么這樣表示，并對(duì)這些表示方法進(jìn)行篩選、優(yōu)化。這時(shí)，用[22]表示的學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的表述有問(wèn)題，站起來(lái)說(shuō)：“我寫的[2/2]，‘1份沒(méi)有表達(dá)清楚，應(yīng)該有個(gè)‘1才對(duì)?！庇肹2/1]表示的學(xué)生也提出了自己疑問(wèn)：“把半塊月餅表示成[21]，難道不行嗎？”經(jīng)過(guò)分析、比較、交流、反思，師生共同客觀評(píng)價(jià)了這些表示方法，圖1中的幾個(gè)圖都具有共同的特點(diǎn)：平均分;分2份;取1份。學(xué)生逐漸明確：表示“一半“的數(shù)學(xué)符號(hào)也必須包含這三層意思。經(jīng)過(guò)篩選，他們得出了約定的標(biāo)準(zhǔn)寫法，即[1/2]。這里，借助直觀形象的圖形，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了分母、分子、分?jǐn)?shù)線所隱含的意義，并在多種表示方法的對(duì)比中，體會(huì)了用[12]表示一半的簡(jiǎn)約性和科學(xué)性，初步理解了分?jǐn)?shù)的意義。

上述片段中，學(xué)生在探索半塊餅的表示方法時(shí)，經(jīng)歷了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出分?jǐn)?shù)的過(guò)程，學(xué)生在具體、形象的圖形中通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、推理等活動(dòng)加深了對(duì)分?jǐn)?shù)內(nèi)涵的理解。這樣，巧用幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用畫圖解釋所學(xué)的知識(shí)，利用數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形的描述，依托鮮活的“形”去思考凝練的“數(shù)”，既豐富了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，又促使學(xué)生主動(dòng)探索，有效地培養(yǎng)了直覺思維、猜測(cè)、轉(zhuǎn)換、構(gòu)造等能力，進(jìn)而提高了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、借助操作活動(dòng)，感悟概念本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是抽象的，學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念，一般都要有相應(yīng)的感性經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，經(jīng)歷“直觀感知—建立表象—揭示本質(zhì)屬性”三個(gè)階段。小學(xué)生的思維主要是以形象思維為主，要使學(xué)生真正獲得概念，教師應(yīng)站在學(xué)生思維的角度，關(guān)注概念的體驗(yàn)過(guò)程，將抽象的概念轉(zhuǎn)化為可操作的直觀化、簡(jiǎn)單化的具體內(nèi)容;為學(xué)生提供觀察和操作的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生多種感官參與學(xué)習(xí)，在感知體驗(yàn)中建立正確、清晰、深刻的表象，透徹理解數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵。因此，在教學(xué)中教師要為學(xué)生提供典型的、熟悉的感性材料，把概念的建構(gòu)過(guò)程設(shè)計(jì)成看得見、摸得著、悟得到的活動(dòng)過(guò)程。保證學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間去觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理和驗(yàn)證，在動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦中去學(xué)習(xí)、思考和發(fā)現(xiàn)。要讓學(xué)生在觀察、操作、交流、實(shí)踐等活動(dòng)中接觸有關(guān)情境和實(shí)例，在現(xiàn)實(shí)背景中去體會(huì)概念的產(chǎn)生、形成與發(fā)展過(guò)程，進(jìn)而理解和感悟概念的本質(zhì)。

在引導(dǎo)學(xué)生“進(jìn)一步體會(huì)分?jǐn)?shù)的意義”這個(gè)環(huán)節(jié)，為了讓學(xué)生充分經(jīng)歷分?jǐn)?shù)的形成過(guò)程，創(chuàng)造更多的分?jǐn)?shù)，我為學(xué)生設(shè)計(jì)了下面三個(gè)操作活動(dòng)。

【活動(dòng)一】折一折、畫一畫。先從三角形、長(zhǎng)方形、正方形、圓形紙片中任選一張，然后把小熊分到半塊餅的過(guò)程折出來(lái)（如圖2），把“一半”涂上顏色，表示該圖形的[1/2];最后在小組內(nèi)交流折法和畫法，并在全班進(jìn)行展示匯報(bào)。

【活動(dòng)二】折一折，涂一涂。將學(xué)具袋中的正方形紙片平均折成4份，并將自己想要的分?jǐn)?shù)涂上顏色，然后交流、展示，說(shuō)說(shuō)自己是怎樣創(chuàng)造出這個(gè)分?jǐn)?shù)的。（如圖3）

【活動(dòng)三】折紙找分?jǐn)?shù)。選擇一張自己喜歡的紙（學(xué)具袋里為學(xué)生準(zhǔn)備不同形狀的紙，如圖4），先想出一個(gè)分?jǐn)?shù)，想想怎樣折，然后涂上顏色表示出這個(gè)分?jǐn)?shù)。最后同桌交流、展示，說(shuō)說(shuō)自己創(chuàng)造的是幾分之幾，是怎樣創(chuàng)造出來(lái)的。

以上三個(gè)活動(dòng)中，我為學(xué)生提供了豐富的動(dòng)手實(shí)踐機(jī)會(huì)。通過(guò)折一折、涂一涂、議一議等活動(dòng)，學(xué)生經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)的建構(gòu)過(guò)程，他們?cè)趧?dòng)手中思考，在思考中動(dòng)手。這些豐富而真實(shí)的感性材料把原本抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀、簡(jiǎn)單，學(xué)生通過(guò)操作、感知、分析、比較、歸納等活動(dòng)實(shí)現(xiàn)了由形象思維向抽象思維的過(guò)渡，進(jìn)一步直觀理解了分?jǐn)?shù)的意義——分?jǐn)?shù)是表示圖形的涂色部分與整個(gè)圖形之間的關(guān)系。這樣，學(xué)生經(jīng)過(guò)多元的體驗(yàn)感知，加深了對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)和理解，感悟了概念的本質(zhì)，開拓了思維的廣度。

四、巧用教學(xué)資源，建構(gòu)概念模型

思維是數(shù)學(xué)認(rèn)知的核心內(nèi)容之一，要開啟學(xué)生的思維，需要把教材的知識(shí)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生內(nèi)在的認(rèn)知。其中，最直接的辦法就是采用有效的教學(xué)手段幫助學(xué)生建構(gòu)“數(shù)學(xué)模型”。對(duì)于概念教學(xué)而言，建模的過(guò)程實(shí)際上就是讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、歸類、抽象與總結(jié)的“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”過(guò)程，最終形成他們對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。要讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)事物表象到其本質(zhì)特征，再到數(shù)學(xué)概念的定義和名稱的創(chuàng)造過(guò)程，進(jìn)而領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)概念的意義、內(nèi)涵和外延。這樣，學(xué)生不僅能認(rèn)識(shí)到概念是怎樣的，而且能明白概念為什么是這樣的。在教學(xué)過(guò)程中，我們要盡可能為學(xué)生提供豐富的教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生去思考、討論、自由表達(dá)。可以借助舉例、比喻、聯(lián)想等方法，尋求某種具體形象化的支撐，將抽象的數(shù)學(xué)概念具體化，形象化。要通過(guò)有效引導(dǎo)，使學(xué)生經(jīng)歷抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、分析與比較的思維過(guò)程，把那些反映概念本質(zhì)屬性的形態(tài)、量及其關(guān)系抽象出來(lái)用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，使他們親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的創(chuàng)建過(guò)程，從中認(rèn)識(shí)新問(wèn)題，同化新知識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

在引導(dǎo)學(xué)生“建構(gòu)分?jǐn)?shù)模型”這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生通過(guò)操作，明白把1塊餅平均分成2份，每份是這塊餅的[12]后，我讓學(xué)生從學(xué)具袋中拿出一張正方形紙進(jìn)行對(duì)折，用自己喜歡的顏色涂出它的[1/2]，并在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)：把（）平均分成了（）份，每份是（）的（）。學(xué)生匯報(bào)時(shí)，出現(xiàn)將正方形紙對(duì)角折、上下對(duì)折、左右對(duì)折三種情況，并把它的[1/2]涂上了顏色。（如圖5）

師：剛才同學(xué)們折正方形紙方法不同，但涂色部分都是表示這張正方形紙的[1/2]，這是為什么呢？

生：我們都是把這張正方形紙對(duì)折，變成2份，涂色部分是其中的1份。

師：是的，對(duì)折是為了什么？也就是剛才我們強(qiáng)調(diào)的一個(gè)概念。

生：平均分。

師：對(duì)，不管你是怎樣對(duì)折，都是把這張正方形紙平均分成2份，每一份就是它的[1/2]。下面，老師出一道題考考大家，看看同學(xué)們對(duì)是不是真正理解了。

練一練：用[1/2]表示下列圖形中的涂色部分，對(duì)嗎？說(shuō)明理由。（如圖6）

生：第1個(gè)圖和第5個(gè)圖的涂色部分不能用[1/2]表示，因?yàn)闆](méi)有把圖形平均分。

生：第4個(gè)圖的涂色部分也不能用[1/2]表示，應(yīng)該用[1/4]表示。

師：你能從剛才[1/2]的學(xué)習(xí)中聯(lián)想到一個(gè)新的分?jǐn)?shù)，真聰明。想一想，利用這張正方紙片你還能折出哪些分?jǐn)?shù)？你能說(shuō)出這些分?jǐn)?shù)表示的意義嗎？

生：我能創(chuàng)造出[3/4]，就是把這張正方形紙上下對(duì)折，左右對(duì)折，平均分成4份，其中的3份就是這張正方形紙的[3/4]。

生：我能創(chuàng)造出[5/6]，我把這張紙片平均分成6份，其中的5份是這張正方形紙的[5/6]。

生：我能創(chuàng)造出[3/8]，我將這張紙平均分成8份，其中的3份是這張紙的[38]。

通過(guò)組織學(xué)生動(dòng)手操作、合作交流，在觀察、操作、推理、想象等活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生抓住本質(zhì)，將其思維引向深入。學(xué)生通過(guò)遷移、聯(lián)想到[3/4]、[5/6]、[3/8]、……擴(kuò)充了獲取信息的渠道。在討論、交流中引導(dǎo)學(xué)生提煉出數(shù)學(xué)模型，適度抽象概括出了“把一個(gè)物體或一個(gè)圖形平均分成若干份，其中的1份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示”這一分?jǐn)?shù)的概念。此外，還讓學(xué)生親身經(jīng)歷了將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，享受到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，從而形成了自覺的建模意識(shí)和思想。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）