探明究竟,大道至簡
——對2018年廣州市一道中考題的研究

廣東省廣州市天河中學(xué)(510630) 葉小瑩

廣東省廣州市教育研究院(510030) 陳鎮(zhèn)民

1 試題呈現(xiàn)

(2018 年廣州市中考第24 題) 已知拋物線y=x2+mx ?2m ?4(m ＞0).

(1)證明: 該拋物線與x軸總有兩個不同的交點;

(2)設(shè)該拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側(cè)),與y軸交于點C,A,B,C三點都在⊙P上.

①試判斷: 不論m取任何正數(shù),⊙P是否經(jīng)過y軸上某個定點? 若是,求出該定點的坐標(biāo);若不是,說明理由;

②若點C關(guān)于直線x=的對稱點為點E, 點D(0,1),連接BE,BD,DE,ΔBDE的周長記為l,⊙P的半徑記為r,求的值.

下面聚焦第(2)— ①問,研究過拋物線與坐標(biāo)軸的交點的動圓是否過定點的問題,其它兩問不作深入研究.

解如圖1, 不論m取任何正數(shù),⊙P經(jīng)過y軸上定點(0,1).理由如下: 令y= 0, 得x2+mx ?2m ?4 =0, ∵m ＞0, ∴Δ =m2?4(?2m ?4) = (m+4)2＞0, ∴x=∴x1==?m ?2.∵m ＞0, ∴?m ?2＜0.∴?m ?2＜2.∵點A在點B的右側(cè),∴B(?m ?2,0),A(2,0).∴AO=2,BO=m+2.

令x= 0, 得y=?2m ?4, ∵m ＞0, ∴?2m ?4＜0.∴C(0,?2m ?4) 在y軸的負(fù)半軸.∴OC= 2m+4.∵A,B,C三點都在⊙P上, ∴⊙P也與y軸的正半軸有交點,設(shè)這個交點為K(0,k), 即KO=k.∵A,B,C,K四點都在⊙P上,∴∠AKO= ∠ABC.∵∠AOK= ∠COB= 90°,∴ΔAOK∽ΔCOB.∴k=1.∴K(0,1).∴不論m取任何正數(shù),⊙P經(jīng)過y軸上定點(0,1).

圖1

圖2

2 問題探究

2.1 探究1已知拋物線y=x2+mx ?2m ?4.設(shè)該拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側(cè)),與y軸交于點C,A,B,C三點都在⊙P上.試判斷: 隨著m的變化,⊙P是否經(jīng)過y軸上某個定點? 若是,求出該定點的坐標(biāo);若不是,說明理由.

分析: 探究1 是在原試題的題干上去掉了“m ＞0”的條件,需要對參數(shù)m的取值范圍進行討論.

解(1)當(dāng)m ＞0 時,拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè).由原試題知,⊙P經(jīng)過y軸上定點(0,1).

(2) 當(dāng)m= 0 時, 拋物線為y=x2?4, 則A(2,0),B(?2,0),C(0,?4),拋物線的對稱軸是y軸.∴AO=BO=2,CO=4.設(shè)定點為D,坐標(biāo)為(0,d).

下面提供兩種思考方法.

法1(幾何法): 由拋物線和圓的對稱性,可得圓心點P在y軸上,如圖2,∵A,B,C三點都在⊙P上,⊙P經(jīng)過點D,∴A,B,C,D四點共圓.∴∠ADO= ∠CBO,∠AOD= ∠COB.∴ΔADO∽ΔCBO.∴∴DO=1.即D(0,1).

法2(坐標(biāo) 法) : 設(shè)P(0,p), ∵A,B,C,D四點 共 圓,∴AP=DP=解得d= 1, 即D(0,1).∴當(dāng)m= 0 時,⊙P經(jīng)過y軸上定點(0,1).

(3)當(dāng)m ＜0 時,拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè).

①當(dāng)m=?2 時, 拋物線為y=x2?2x, 如圖3, 則A(2,0),B(0,0),C(0,0).此時有無數(shù)個圓經(jīng)過A,B,C三點,這些圓恒過定點(0,0).

圖3

圖4

②當(dāng)m=?4 時,拋物線為y=x2?4x+4,如圖4,則A(2,0),B(2,0),C(0,4).此時有無數(shù)個圓經(jīng)過A,B,C三點.這些圓恒過定點(0,4).

③當(dāng)?2＜m ＜0 時,如圖5,令y= 0,解得:x1= 2,x2=?m ?2.∵?2＜m ＜0,∴?2＜?m ?2＜0.∵點A在點B的右側(cè), ∴A(2,0),B(?m ?2,0),C(0,?2m ?4).∴B點在x軸負(fù)半軸,C點在y軸負(fù)半軸.∴OA= 2,OB=m+2,OC= 2(m+2).易證ΔAOD∽ΔCOB.∴OD=1,即D(0,1).

圖5

圖6

圖7

④當(dāng)?4＜ m ＜ ?2 時, 如圖6, 令y= 0, 解得:x1= 2,x2=?m ?2.∵?4＜ m ＜ ?2, ∴0＜?m ?2＜2, 0＜?2m ?4＜2.∵點A在點B的右側(cè),∴A(2,0),B(?m ?2,0),C(0,?2m ?4).∴B點在x軸正半軸,C點在y軸正半軸.∴OA= 2,OB=?(m+2),OC=?2(m+2).∵∠AOD= ∠COB,∠OAD= ∠OCB,∴ΔAOD∽ΔCOB.∴OD=1,即D(0,1).

⑤當(dāng)m ＜?4 時,如圖7,令y=0,解得:x1=2,x2=?m?2.∵m ＜?4,∴?m?2＞2,?2m?4＞4.∵點A在點B的右側(cè),∴A(?m ?2,0),B(2,0),C(0,?2m ?4).∴B點在x軸正半軸,C點在y軸正半軸.∴OA=?(m+2),OB=2,OC=?2(m+2).∵∠AOD= ∠COB,∠OAD= ∠OCB,∴ΔAOD∽ΔCOB.∴OD=1,即D(0,1).

綜上所述,當(dāng)m=?2 時,⊙P恒過原點;當(dāng)m=?4 時,⊙P恒過(0,4);當(dāng)m/=?2 且m/=?4 時,⊙P恒過D(0,1).

2.2 探究2拋物線解析式改為y=x2+bx+c.設(shè)該拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側(cè)),與y軸交于點C,A,B,C三點都在⊙P上.問⊙P是否經(jīng)過y軸上某個定點? 若是,求定點的坐標(biāo);若不是,說明理由.

分析: 探究2 是把拋物線解析式從一個參數(shù)“m”拓展到兩個參數(shù)“b”和“c”,進一步研究過拋物線與坐標(biāo)軸的交點的圓是否能過定點的問題.

解∵拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側(cè)),與y軸交于點C,∴Δ=(?b)2?4c=b2?4c ＞0,C(0,c).設(shè)A(x1,0),B(x2,0),x1＞ x2, ∴x1· x2=c,x1+x2=?b.∵A,B,C三點都在⊙P上,

(1) 當(dāng)c ＞0 時, 點C在y軸正半軸, 即OC=c.∴x1·x2＞0,即x1,x2同號.

圖8

圖9

①當(dāng)x1＜0,x2＜0 時,如圖8,則⊙P還經(jīng)過y軸上一點D,即A,B,C,D四點共圓.∴A,B兩點都在x軸負(fù)半軸, ∴AO=?x1,BO=?x2, 點D在y軸正半軸.∵A,B,C,D四點共圓, ∴∠DBO= ∠ACO.∵∠DOB= ∠AOC,∴ΔDOB∽ ΔAOC.∴DO==1,即D(0,1).

②當(dāng)x1＞0,x2＞0 時, 如圖9, 則⊙P還經(jīng)過y軸上一點D, ∴A,B兩點都在x軸正半軸.∴AO=x1,BO=x2, 點D在y軸正半軸.∵A,B,C,D四點共圓, ∴∠DAO= ∠BCO.∵∠DOA= ∠BOC, ∴ΔDOA∽ΔBOC.∴即D(0,1).∴當(dāng)c ＞0 時,⊙P恒過定點(0,1).

(2)當(dāng)c=0 時,∴x1·x2=0,即x1=0 或x2=0.

①當(dāng)x1= 0 時,如圖10.∴A,C,O三點重合.∴有無數(shù)個圓經(jīng)過A,B,C三點,這些圓恒過定點(0,0).

②當(dāng)x2= 0 時,如圖11.∴B,C,O三點重合.∴有無數(shù)個圓經(jīng)過A,B,C三點,這些圓恒過定點(0,0).∴當(dāng)c=0時,⊙P恒過定點(0,0).

圖10

圖11

(3) 當(dāng)c ＜0 時, 點C在y軸負(fù)半軸, 即OC=?c.∴x1·x2＜0,即x1,x2異號.∵x1＞x2,∴x1＞0,x2＜0.

①當(dāng)拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)時, 如圖12, 則⊙P還經(jīng)過y軸上一點D,且點D在y軸正半軸.∴A點在x軸正半軸,B點在x軸負(fù)半軸.∴AO=x1,BO=?x2,∵A,B,C,D四點共圓, ∴∠DBO= ∠ACO.∵∠DOB= ∠AOC,∴ΔDOB∽ ΔAOC.即D(0,1).

圖12

圖13

圖14

②當(dāng)拋物線的對稱軸在y軸上時,如圖13,則⊙P還經(jīng)過y軸上一點D, 且點D在y軸正半軸.∴A點在x軸正半軸,B點在x軸負(fù)半軸.∴AO=x1,BO=?x2,點D在y軸正半軸.∵A,B,C,D四點共圓,∴∠DAO= ∠BCO.∵∠DOA= ∠BOC,∴ΔDOA∽ΔBOC.即=1,即D(0,1).

③當(dāng)拋物線的對稱軸在y軸右側(cè),如圖14,則⊙P還經(jīng)過y軸上一點D,且點D在y軸正半軸.∴A點在x軸正半軸,B點在x軸負(fù)半軸.∴AO=x1,BO=?x2.∵A,B,C,D四點共圓, ∴∠DAO= ∠BCO.∵∠DOA= ∠BOC,∴ΔDOA∽ ΔBOC.= 1, 即D(0,1).∴當(dāng)c ＜0時,⊙P恒過定點(0,1).

綜上所述,在b2?4c ＞0 的前提下,當(dāng)c=0 時,⊙P恒過定點(0,0);當(dāng)c/=0 時,⊙P恒過定點(0,1).

2.3 探究3拋物線解析式改為y=ax2+bx+c(a/=0).設(shè)該拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側(cè)),與y軸交于點C,A,B,C三點都在⊙P上.問⊙P是否經(jīng)過y軸上某個定點? 若是,求定點的坐標(biāo);若不是,說明理由.

分析: 本題進一步增加參數(shù)個數(shù),把拋物線解析式變?yōu)橐话闶?研究結(jié)論是否具有一般性.

解∵拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側(cè)),與y軸交于點C,∴Δ=(?b)2?4ac=b2?4ac ＞0,C(0,c).設(shè)A(x1,0),B(x2,0),x1＞x2, ∴x1· x2=∵A,B,C三點都在⊙P上,類比探究1 和探究2,可知⊙P還經(jīng)過點D,且點D在y軸上.即A,B,C,D四點共圓.

(1)當(dāng)a ＞0,c ＞0 時,拋物線開口向上,點C在y軸的正半軸,即OC=c.

①當(dāng)x1＜0,x2＜0 時, 如圖15.則A,B兩點都在x軸負(fù)半軸上.∴AO=?x1,BO=?x2, 點D在y軸正半軸.∵A,B,C,D四點共圓, ∴∠DBO= ∠ACO.

∵∠DOB= ∠AOC,∴ΔDOB∽ΔAOC.∴即即

圖15

圖16

②當(dāng)x1＞0,x2＞0 時, 如圖16.則A,B兩點都在x軸正半軸上.∴AO=x1,BO=x2, 點D在y軸正半軸.∵A,B,C,D四點共圓, ∴∠DAO= ∠BCO.∵∠DOA= ∠BOC,∴ΔDOA∽ΔBOC.即即

(2)當(dāng)a ＜0,c ＜0 時,拋物線開口向下,點C在y軸的負(fù)半軸,即OC=?c.

①當(dāng)x1＜0,x2＜0 時, 如圖17.則A,B兩點都在x軸負(fù)半軸上.∴AO=?x1,BO=?x2, 點D在y軸負(fù)半軸.∵A,B,C,D四點共圓, ∴∠DBO= ∠ACO.∵∠DOB= ∠AOC,∴ΔDOB∽ΔAOC.即

圖17

圖18

②當(dāng)x1＞0,x2＞0 時, 如圖18.則A,B兩點都在x軸正半軸.∴AO=x1,BO=x2, 點D在y軸負(fù)半軸.∵A,B,C,D四點共圓, ∴∠DAO= ∠BCO.

∵∠DOA= ∠BOC,∴ΔDOA∽ΔBOC.即即∴當(dāng)時,⊙P恒過定點

圖19

圖20

(1)當(dāng)x1=0 時,即A(0,0).故A,C,O三點重合.

①當(dāng)a ＞0 時,拋物線開口向上,如圖19.則有無數(shù)個圓經(jīng)過A,B,C三點,這些圓恒過定點(0,0).

②當(dāng)a ＜0 時,拋物線開口向下,如圖20.則有無數(shù)個圓經(jīng)過A,B,C三點,這些圓恒過定點(0,0).

圖21

圖22

(2)當(dāng)x2=0 時,即B(0,0).故B,C,O三點重合.

①當(dāng)a ＞0 時,拋物線開口向上,如圖21.則有無數(shù)個圓經(jīng)過A,B,C三點,這些圓恒過定點(0,0).

②當(dāng)a ＜0 時,拋物線開口向下,如圖22.則有無數(shù)個圓經(jīng)過A,B,C三點,這些圓恒過定點(0,0).∴當(dāng)=0 時,⊙P恒過定點(0,0).

(1) 當(dāng)a ＞0,c ＜0 時, 拋物線開口向上, 點C在y軸的負(fù)半軸, 即OC=?c.當(dāng)x1＞0,x2＜0 時,如圖23.則點A在x軸正半軸, 點B在x軸負(fù)半軸.∴AO=x1,BO=?x2, 點D在y軸正半軸.∵A,B,C,D四點共圓, ∴∠DBO= ∠ACO.∵∠DOB= ∠AOC,∴ΔDOB∽ ΔAOC.

圖23

圖24

(2)當(dāng)a ＜0,c ＞0 時,拋物線開口向下,點C在y軸的正半軸,即OC=c.當(dāng)x1＞0,x2＜0 時,如圖24.則點A在x軸正半軸,點B在x軸負(fù)半軸.∴AO=x1,BO=?x2,點D在y軸負(fù)半軸.∵A,B,C,D四點共圓,∴∠DAO= ∠BCO.∵∠DOA= ∠BOC,∴ΔDOA∽ΔBOC.∴,即即時,⊙P恒過定點

3 探究啟示

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說過: 問題是數(shù)學(xué)的心臟.如何通過數(shù)學(xué)問題的教學(xué)有效提升學(xué)生的解題能力,是數(shù)學(xué)的一項重要任務(wù).在我們?nèi)粘＝虒W(xué)中,既要講清某個數(shù)學(xué)問題是怎樣解答的,又要把握問題的本質(zhì)屬性,探明問題究竟,同時要進行適當(dāng)?shù)耐卣寡由?掌握問題的一般規(guī)律,使問題的解決達(dá)到“至簡至易”的境界.

著名學(xué)者南懷瑾先生在他所著述的《易經(jīng)雜說》一書中說道: 真懂了《易經(jīng)》,一點都不神秘,最高的道理,也是最平凡的道理.從以上探究過程來看,試題、探究1 和探究2,其實是探究3 中當(dāng)a=1 時的特例,弄明白了問題的來龍去脈,這個問題也就是很平凡的問題了.