分類討論思想在數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問題中的應(yīng)用

廣東省佛山市順德區(qū)桂鳳初級中學(xué)(528315) 曾 彬

數(shù)軸是學(xué)生進(jìn)入初中學(xué)習(xí)到的有關(guān)于有理數(shù)在直線中表示的方法,數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題是在學(xué)習(xí)了絕對值、數(shù)軸后學(xué)習(xí)到的一類綜合性題目,它可以很好地考察學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想,學(xué)習(xí)好它可以為今后學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合、分類討論打好基礎(chǔ),因此常常受到出題者的青睞,而數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)行程問題又是一類最典型問題,它綜合了行程問題、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想,對這類問題進(jìn)行分類有利于學(xué)生更好的掌握知識和方法,做到分類不遺不漏,有依有據(jù).

1 主要涉及的知識和概念

數(shù)軸: 規(guī)定原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫數(shù)軸.

路程、速度、時(shí)間的關(guān)系: 路程=速度×?xí)r間.

數(shù)軸上點(diǎn)的用字母表示的方法: 因?yàn)槲覀円?guī)定數(shù)軸上原點(diǎn)的右邊為正方向,向左為負(fù)方向,所以一個(gè)點(diǎn)向右移動(dòng)只需要在原來這個(gè)數(shù)加上運(yùn)動(dòng)距離,一個(gè)點(diǎn)向左移動(dòng)只需要在原來這個(gè)數(shù)減去運(yùn)動(dòng)距離, 即可以得到移動(dòng)后所表示的數(shù).如: 數(shù)軸上有一點(diǎn)A,對應(yīng)的數(shù)為a,若點(diǎn)A向右移動(dòng)m個(gè)單位長度到點(diǎn)B,則點(diǎn)B表示的數(shù)為a+m(如圖1);若點(diǎn)A向左移動(dòng)m個(gè)單位長度到點(diǎn)C,則點(diǎn)C表示的數(shù)為a ?m(如圖2).

圖1

圖2

數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離: 數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離就是數(shù)軸上這兩個(gè)點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值,但初一的學(xué)生剛學(xué)完絕對值,對絕對值的計(jì)算已經(jīng)感覺很困難掌握,所以本文所講的數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離指的數(shù)軸上右邊點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊點(diǎn)表示的數(shù),即: 數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)?左邊的點(diǎn)表示的數(shù).例如: 數(shù)軸上點(diǎn)A、B分別對應(yīng)的數(shù)為數(shù)a和數(shù)b,其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊,則點(diǎn)A和點(diǎn)B兩點(diǎn)的距離為a ?b(如圖3).

圖3

2 問題分類及解法

2.1 相遇問題

學(xué)生在小學(xué)就學(xué)過相遇問題也可以分為兩類,一類是相向相遇,這是學(xué)生最容易掌握,小學(xué)這類題應(yīng)用題做的很多,另一類是同向相遇,即我們所說的追趕問題.

2.1.1 相向相遇

例題1如圖4,已知A、B分別是數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn),A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為?6,B點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為4,其中A點(diǎn)以每秒3 個(gè)單位長度向右運(yùn)動(dòng),B點(diǎn)以每秒2 個(gè)單位長度向左運(yùn)動(dòng),若它們同時(shí)運(yùn)動(dòng),則經(jīng)過多少秒A、B兩點(diǎn)相遇?

圖4

方法一(幾何法): 小學(xué)時(shí)候?qū)W習(xí)過的相遇問題,點(diǎn)A和點(diǎn)B所走的路程之和就是AB的距離.假設(shè)A、B兩點(diǎn)在點(diǎn)P相遇(如圖5),則AP+BP=AB.設(shè)經(jīng)過t秒A、B兩點(diǎn)相遇,則AP= 3t,BP= 2t,根據(jù)題意得: 3t+2t= 10.解得t=2.

圖5

方法二(代數(shù)法):A、B兩點(diǎn)相遇就是這兩個(gè)點(diǎn)最好重合在一起變成一個(gè)點(diǎn),假設(shè)點(diǎn)A、B在點(diǎn)P相遇,即相遇的時(shí)候A、B點(diǎn)跟點(diǎn)P重合在一起(如圖5), 設(shè)經(jīng)過t秒A、B兩點(diǎn)相遇, 則點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的距離為3t, 點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的距離為2t, 根據(jù)本文前面提到的數(shù)軸上點(diǎn)運(yùn)動(dòng)前后的表示方法可知,點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)t秒后表示的數(shù)為?6+3t,點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)t秒后表示的數(shù)為4?2t,因?yàn)樗麄兿嘤隽?所以表示同一個(gè)數(shù),即?6+3t=4?2t.解得t=2.

從上面兩種解法可知, 幾何法注重線段之間數(shù)量關(guān)系,對于簡單的相遇問題學(xué)生還是很容易找到這種關(guān)系的,此時(shí)我們還看不出代數(shù)解法的優(yōu)越性,下面我們繼續(xù)看相遇問題的另一類型題追趕問題.

2.1.2 同向相遇

所謂同向相遇就是兩個(gè)點(diǎn)起點(diǎn)不同, 運(yùn)動(dòng)速度也不同,但運(yùn)動(dòng)方向相同,又被稱為追趕問題,通常后面這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度比較快,前面被追趕的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度較慢.

例題2如圖6,已知A、B分別是數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn),A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為?6,B點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為4,其中A點(diǎn)以每秒3 個(gè)單位長度向右運(yùn)動(dòng),B點(diǎn)以每秒2 個(gè)單位長度向右運(yùn)動(dòng),若它們同時(shí)運(yùn)動(dòng),則經(jīng)過多少秒A、B兩點(diǎn)相遇?

圖6

分析: 點(diǎn)A、B都是向右運(yùn)動(dòng), 屬于同向運(yùn)動(dòng)的追趕問題,因?yàn)樗麄兪峭瑫r(shí)運(yùn)動(dòng)的,所以最終也肯定在B點(diǎn)右側(cè)相遇,假設(shè)點(diǎn)A追上點(diǎn)B的的位置是點(diǎn)P(如圖7),即表示A、B、P三點(diǎn)重合.所以只要表示出運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)就可以了.

圖7

2.1.3 方向不定的相遇運(yùn)動(dòng)

方向不定即題目中沒有給出兩個(gè)點(diǎn)向什么方向運(yùn)動(dòng),對于這類題目就需要分類討論,兩個(gè)點(diǎn)是相向運(yùn)動(dòng),兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)向左或向右運(yùn)動(dòng),解答就要把上面兩個(gè)例題的答案都要寫出來.例如把上面例題2 改為:

例題3如圖6 已知A、B分別是數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn),A點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為?6,B點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為4,其中A點(diǎn)以每秒3 個(gè)單位長度運(yùn)動(dòng),B點(diǎn)以每秒2 個(gè)單位長度運(yùn)動(dòng),若它們同時(shí)運(yùn)動(dòng),則經(jīng)過多少秒A、B兩點(diǎn)相遇?

分析: 這道題跟前面兩道題對比卻別在于,這道題沒有明確說明這兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向,因此在解題的時(shí)候我們需要最它們進(jìn)行分情況,即A、B兩點(diǎn)反向運(yùn)動(dòng)和同向運(yùn)動(dòng).

從上面三道例題不難發(fā)現(xiàn),遇到相遇問題如果題目中沒有給出運(yùn)動(dòng)方向,那么我們就要分情況討論如例題3.從解法上也可以發(fā)現(xiàn)用傳統(tǒng)的幾何方法來解數(shù)軸問題往往需要畫出示意圖,在列出線段間的數(shù)量關(guān)系,但畫示意圖已經(jīng)難倒很多同學(xué),而用代數(shù)方法來解往往不需要畫示意圖,而且列等式也簡單,即表示同一個(gè)數(shù)就是相等的意思.

2.2 相距問題

相距問題就是兩者之間的距離問題,動(dòng)點(diǎn)問題的相距問題可以分為相向運(yùn)動(dòng)的相距問題和同向運(yùn)動(dòng)的相距問題.

2.2.1 相向運(yùn)動(dòng)相距問題

相向運(yùn)動(dòng)的相距問題又可以分為相遇前相距和相遇后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的相距問題.

例題4(2016 秋·鹽城月考)A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上,點(diǎn)A表示的數(shù)是?6,點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊且與點(diǎn)A相距15 個(gè)單位長度.若點(diǎn)A以2 個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)B以3 個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng),經(jīng)過多長的時(shí)間A、B兩點(diǎn)相距10 個(gè)單位長度?

分析: 這道題屬于反向運(yùn)動(dòng)中的相距問題,根據(jù)題意可以知道需要分類討論,在相遇前相距20 個(gè)單位長度,即運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)B表示的數(shù)?點(diǎn)A表示的數(shù)=10;第二種情況是相遇后動(dòng)點(diǎn)A表示的數(shù)?動(dòng)點(diǎn)B表示的數(shù)=10.

2.2.2 同向運(yùn)動(dòng)相距問題

同向運(yùn)動(dòng)的相距問題又也可以分為相遇前相距和相遇后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的相距問題

例題5(2018 秋·佛山禪城區(qū)期末) 如圖,已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為6,B是數(shù)軸上在A左側(cè)的一點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)間的距離為10.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒5 個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng).

(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t ＞0)秒,數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是____,點(diǎn)P表示的數(shù)是____(用含t的代數(shù)式表示);

(2)若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),求:

①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇?

②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí), 點(diǎn)P與點(diǎn)Q間的距離為8個(gè)單位長度?

分析: 這里的第(2)中的第②問就是同向相距問題, 需要分兩種情況討論,當(dāng)P不超過Q時(shí),點(diǎn)P表示的數(shù)?點(diǎn)Q表示的數(shù)= 8;當(dāng)點(diǎn)P超過點(diǎn)Q時(shí),點(diǎn)Q表示的數(shù)?點(diǎn)P表示的數(shù)=8.

2.2.3 方向不定的相距問題

方向不定就是題目沒有告訴我們點(diǎn)是往哪個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的,這時(shí)候我們就要分4 中情況討論.相向運(yùn)動(dòng)中的兩種情況和同向運(yùn)動(dòng)中的兩種情況.

例題6(2018 秋·佛山南海區(qū)期末) 如圖,在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)a、點(diǎn)B表示數(shù)b,a、b滿足|a?6|+(b+12)2=0.點(diǎn)O是數(shù)軸原點(diǎn).

(1)求線段AB的長;

(2)點(diǎn)A以每秒1 個(gè)單位的速度在數(shù)軸上勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B以每秒2 個(gè)單位的速度在數(shù)軸上勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,若點(diǎn)A、B能夠重合,求出這時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間;

(3)在(2)的條件下,直接寫出經(jīng)過多少秒后,點(diǎn)A、B兩點(diǎn)間的距離為20 個(gè)單位.

分析: 第(3)問就是典型的沒有運(yùn)動(dòng)方向的相距問題,所以答案有4 個(gè).

2.3 反向運(yùn)動(dòng)的相遇或相距

雖然也是相距或相遇問題,但這類問題遠(yuǎn)比前面兩類問題要難,因?yàn)樗倪\(yùn)動(dòng)起點(diǎn)往往不能看成原來的起點(diǎn),而是要把返回點(diǎn)看成起點(diǎn),并且最近幾年這類題屬于創(chuàng)新題,考的比較多,所以有必要分開來研究.前面兩類題我們能明顯地感覺到代數(shù)解法的簡便性,易理解易掌握.對于這類問題其實(shí)也可以用代數(shù)的方法來解.

例題7(2019 秋· 順德區(qū)期末) 如圖O為數(shù)軸的原點(diǎn), 點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a、b, 且滿足(a ?20)2+|b+10|=0.

(1)寫出a、b的值;

(2)P是A右側(cè)數(shù)軸上的一點(diǎn),M是AP的中點(diǎn).設(shè)P表示的數(shù)為x,求點(diǎn)M、B之間的距離;

(3)若點(diǎn)C從原點(diǎn)出發(fā)以3 個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)D從原點(diǎn)出發(fā)以2 個(gè)單位/秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),當(dāng)?shù)竭_(dá)A點(diǎn)或B點(diǎn)后立即以原來的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng),直到C點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)或D點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止,求幾秒后C、D兩點(diǎn)相距5 個(gè)單位長度?

分析: 第(3)問是這道題的難點(diǎn),順德區(qū)七年級期末連續(xù)兩年都考了類似的返回類型的題目, 明顯需要分情況討論,當(dāng)C、D還沒到達(dá)A、B點(diǎn)時(shí)距離等于5,當(dāng)D到達(dá)點(diǎn)B,點(diǎn)C沒到達(dá)點(diǎn)A前明顯距離不可能等于5,當(dāng)C、D到達(dá)A、B后返回運(yùn)動(dòng)過程中相遇前相距5 和相遇后相距5,返回的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于C、D兩點(diǎn)看成從A、B出發(fā).

從上面的題目討論中可知,用代數(shù)法大大減小了思維容量,找線段之間的關(guān)系對學(xué)生來說本來就是一個(gè)難點(diǎn),通過代數(shù)的方法可以讓更多的學(xué)生掌握,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的意識和創(chuàng)新意識.

3 解題方法提煉

從上面例題分析中我們可以知道用代數(shù)法解動(dòng)點(diǎn)問題是有步驟可尋的:

第一步: 找到動(dòng)點(diǎn)起點(diǎn)所表示的數(shù);

第二步: 用代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離;

第三步: 用代數(shù)式表示出運(yùn)動(dòng)后這個(gè)動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù):

第四步: 根據(jù)題意,若是相遇問題就是運(yùn)動(dòng)后兩點(diǎn)所表示的數(shù)相等;若是相距問題就要分類討論相遇前相距和相遇后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的相距問題,用右邊點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊點(diǎn)表示的數(shù)等于相距的距離.

只要掌握這四個(gè)步驟,行程問題中的動(dòng)點(diǎn)問題也就變?yōu)榧埨匣?再也不是優(yōu)生的專利,中等生、甚至中等偏下的學(xué)生一樣可拿滿分.

動(dòng)點(diǎn)問題是培養(yǎng)學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合思想一個(gè)強(qiáng)有力的工具,對于動(dòng)點(diǎn)問題中的多種方法的解答有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力,代數(shù)法的解答大大降低思維難度,做到化難為簡,對初一學(xué)生建立學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的信心大有幫助,同時(shí)對學(xué)生以后學(xué)習(xí)立體幾何具有深刻的影響.