動面問題中的重疊面積函數(shù)的教學設計

廣東省惠州市惠陽區(qū)華南師范大學附屬惠陽學校(516211) 鄭素萍

廣東省惠州市惠陽區(qū)教育局教研室(516211) 鐘文輝

1 內容解析

初中幾何中的動面問題是中考的熱點和難點,此類題綜合性強,滲透了分類討論、轉化、數(shù)形結合等數(shù)學思想.研究此類問題,對培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)有重要影響.

2 教學目標

2.1 知識目標通過本節(jié)課學習,學生熟練掌握幾何中圖形平移和三角形相似、等邊三角形性質、特殊三角函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識,通過例題的學習和變式訓練,體會到建立函數(shù)模型是描述動面問題的重要手段,是轉化為代數(shù)問題的關鍵橋梁.

2.2 技能目標

(1)掌握動面問題中求重疊面積函數(shù)的基本思路: 確定動面運動方向——尋找動面特殊位置——分類討論畫出各類圖形——尋找特殊的邊角關系——建立各類面積函數(shù)關系式;

(2)掌握表示面動函數(shù)的方法: 動中取靜,以靜制動,用點動表示線動,用線動表示面動.

3 教學疑難點分析

借助特殊三角函數(shù)求角度、用代數(shù)式表示動點運動過程中動線的邊長以及動面的面積,不重不漏地討論運動過程中的圖形的變化,及其對應的線段關系和面積關系.

4 教學支持條件分析

為了讓學生更直觀地分析動面的運動情況,確定特殊點,可用幾何畫板輔助觀察.

5 教學過程設計

5.1 教學流程圖如下

5.2 教學過程

5.2.1 創(chuàng)設情境,引入問題

問題1(自編輔例題)如圖, 在平面直角坐標系中,直角三角形ABC從O點出發(fā),以每秒一個單位長度的速度,沿x軸正方向運動;其中,∠C= 90°,AB= 4,BC=線段BC落在x軸上;設運動時間為t秒,ΔABC與第一象限重合部分面積為S(平方單位),求S與t的函數(shù)關系式.

【解題思路】 確定動面運動方向(沿x軸正方向運動) ——尋找動面特殊位置(分界線y軸) ——分類討論畫出各類圖形(如圖1-1、如圖1-2) ——尋找特殊的邊角關系(cos∠ABC=可得∠ABC= 30°)——建立各類面積函數(shù)關系式.

圖1-1

圖1-2

【設計意圖】問題1 設計直角三角形的平移問題引入,精選范例,構架函數(shù)模型,學生初步掌握分類討論的關鍵是通過動手操作畫圖,理清各種情況.同時掌握通過特殊三角函數(shù)值,發(fā)現(xiàn)特殊的邊角關系.

5.2.2 鋪設臺階,拓展問題

問題2(自編輔例題) 在問題1 的情境下, 增加條件:如圖,四邊形OEFG為矩形,設ΔABC運動過程中與矩形OEFG重疊部分面積為y,求y與t的函數(shù)關系式.

【解題思路】 確定動面運動方向(沿x軸正方向運動)——尋找動面特殊位置(分界線y軸、EF)——分類討論畫出各類圖形(如圖3、如圖4) ——尋找特殊的邊角關系可得∠ABC= 30°)——建立各類面積函數(shù)關系式.

圖2-1

圖2-2

①當點B在y軸右側、EF左側時, 如圖2-1;S=②當點B在EF右側時,如圖2-2;

【設計意圖】問題1 到問題2,由直角三角形與無邊界的第一象限的重疊面積,變式為求解直角三角形與有邊界矩形的重疊面積, 逐步變式設問, 提高難度, 激發(fā)學生的求知欲,突破難點“利用相似和銳角三角函數(shù)知識,用變量t表示線段的長”,探究一題多解提高學生的解決綜合問題的能力.

通過對問題1、問題2 的解決后進行反思,引導學生梳理“動面問題中求重疊面積函數(shù)”解題基本思路確定動面運動方向——尋找動面特殊位置——分類討論畫出各類圖形——尋找特殊的邊角關系——建立各類面積函數(shù)關系式.

5.2.3 自主思考,探究問題

問題3(第二屆廣東省中小學青年教師教學能力大賽初中數(shù)學決賽說題比賽題目)如圖,矩形ABCD的兩邊AB、BC的長為方程的兩個解(AB ＞BC),點E在CD上,且DE:EC= 2 : 1,AC交BE于點F.平行于AB的直線l從A點出發(fā),以每秒1 個單位長度的速度沿A →D方向平移,到點D時停止.直線l與線段AC,BE分別相交于M,N兩點,以MN為邊作等邊ΔMNF,點F在線段MN下方.設直線l的運動時間為t秒,MN的長度為y(單位長度),ΔMNF和ΔABC重疊部分的面積為S(平方單位).

(1)求BC、CE的長度;

(2)求y與t的函數(shù)關系式,求當t=2 時,y的值;

(3)求S與t的函數(shù)關系式.

【解題思路】

(1) 解方程, 得x1= 4,x2=

(2) 由ΔOAB∽ΔOCE, 可得三角形對應高之比等于相似比, 從而OH= 3,OI= 1; 確定動線運動方向(沿A →D方向平移) ——尋找動線特殊位置(分界點O點,t=3)——分類討論畫出各類圖形(如圖3-1、圖3-2)——尋找特殊的邊角關系——建立各類線段函數(shù)關系式(方法1: 借助三角形相似的性質;方法2: 借助銳角三角函數(shù)).

圖3-1

圖3-2

(3)確定動面的運動方向(沿A →D方向平移)——尋找動面特殊位置(分界線1:F點在線段AB上(如圖3-3);分界線2:MN運動到過O點(如圖3-4))——分類討論畫出各類圖形(如圖3-5、圖3-6、圖3-7)——尋找特殊的邊角關系——建立各類線段函數(shù)關系式(方法1: 借助三角形相似的性質,方法2: 借助銳角三角函數(shù)如圖3-8,圖3-9、圖3-10、圖3-11、圖3-12).

圖3-3

圖3-4

圖3-5

圖3-6

圖3-7

圖3-8

圖3-9

圖3-10

圖3-11

圖3-12

5.2.4 問題解決,歸納方法

【議一議】通過上述問題的處理,說說處理動點問題中面積計算(最值)問題分哪些步驟進行? 可以采取什么方法解決這個問題? 涉及到哪些數(shù)學思想方法?

(1)動面問題中求重疊面積函數(shù)的一般步驟:

(2)動中取靜,以靜制動: 圖形運動變化的過程中,蘊含著某些固定的邊角關系,通過相似三角形,三角函數(shù)可以表示出所需的邊角關系.

(3)將面動轉化為線動,線動轉化為點動: 利用點動軌跡表示出線段長度,用線段長表示出面積大小.

(4)尋找分界線的標準: 運動狀態(tài)發(fā)現(xiàn)變化的臨界線就是邊界,既要考慮運動圖形的最前端,又要考慮圖形的最末端;有多個多界的時候,每個邊界都要考慮.

5.2.5 變式訓練,運用新知

問題4(問題2 變式)在問題2(輔例題) 的情境下, 將矩形OEFG進一步特殊化, 改成正方形OEFG, 邊長為2,其他條件不變,求重疊面積y與t的函數(shù)關系式.

【解題思路】確定動面的運動方向(沿x軸正方向平移)——尋找動面特殊位置( ①點B與點E重合; ②點C與點O重合; ③點C與點E重合)——分類討論畫出各類圖形(如圖4-1、圖4-2、圖4-3)——尋找特殊的邊角關系——建立各類線段函數(shù)關系式(方法1: 借助三角形相似的性質,方法2: 借助銳角三角函數(shù)).

圖4-1

圖4-2

圖4-3

【設計意圖】熟練運用“動面問題中求重疊面積函數(shù)”的一般解題思路解決問題,內化學生的技能,突出中考的重點、突破難點,培養(yǎng)學生一題多解、通性通法和綜合能力,讓學生體會分類討論思想、數(shù)形結合思想、轉化思想以及建模思想.

5.2.6 引申鞏固,課后作業(yè)

問題5(《新課程學習輔導》九年級下冊學業(yè)水平考試模擬卷一,2019)如圖,在平面直角坐標系中, RtΔABC和正方形GDEF的其中一條邊都在x軸上,其中點G與原點O重合,∠C= 90°,AC= 4,點A、B的坐標分別為(?3,0),(5,0).若將RtΔABC沿x軸正方向以每秒1 個單位長度的速度平移,當頂點C落在線段DE上時停止移動.

(1)在沒有開始移動RtΔABC時,BC與FG交于點M,求∠MBE的度數(shù).

(2)在移動RtΔABC的過程中,求頂點C恰好落在四邊形GDEF的邊上所需要的的時間.

(3)在移動RtΔABC的過程中,設RtΔABC與正方形GDEF重疊部分面積為S,移動的時間為t(t ＞0)s,求S關于t的函數(shù)解析式.

【解題思路】分類討論畫出各類圖形:

圖5-1

圖5-2

圖5-3

【設計意圖】

問題5 是問題4 的進一步變式,將直角三角形直角邊與x軸重合,變式為斜邊與x軸,同時,將正方形的邊長放大,進一步讓學生理解分類討論思想(討論不同時刻重疊圖形的變化)、轉化思想(四邊形面積轉化為三角形面積)、數(shù)形結合思想和函數(shù)模型.

問題6(2019 年惠州市惠陽區(qū)青年教師解題比賽第25題)RtΔABC與RtΔDEF的位置如圖所示, 其中AC=∠D= 90,其中,RtΔDEF沿射線CB以每秒1 個單位長度的速度向右運動,射線DE、DF與射線AB分別交于點N、M兩點,運動時間為t,當點E運動到與點B重合時停止運動.

(1)當RtΔDEF在起始時,求∠AMF的度數(shù);

(2)設BC的中點為P,當ΔPBM為等腰三角形時,求t的值;

(3)若兩個三角形重疊部分面積為S,寫出S與t的函數(shù)關系式和相應自變量的取值范圍.

【解題思路】分類討論畫出各類圖形

(2)等腰ΔPBM的三種情況:

圖6-2-1

圖6-2-2

圖6-3-3

(3)重疊面積變化

圖6-3-1

圖6-3-2

圖6-3-3

【設計意圖】

問題6 是問題3 和問題4 的變式引申,將問題4 中固定不動的矩形變?yōu)橹苯侨切?將問題3 中的動等邊三角形變?yōu)橹苯侨切?運用“動面問題中求重疊面積函數(shù)”解題基本思路解決問題,進一步內化為學生解題的技能,培養(yǎng)學生解決問題的綜合能力.

問題7(自編)如圖, ΔABC是邊長為4 的等邊三角形,點D是BC邊上的中點,連接AD.點E是射線AC上的一個動點,沿A →C方向,以每秒1 個單位長度的速度運動,設點E運動時間為t秒.

圖7-1

圖7-2

(1)過點E作EF//AB,交BC于點F,以EF為邊長,構造如圖所示的等邊ΔEFG;ΔEFG與ΔABD重疊部分面積為y,求y與t的函數(shù)關系式.

(2)過點E作EF ⊥AB,交AB于點F,設ΔAEG與ΔABD重疊部分面積為S,求S與t的函數(shù)關系式.

【解題思路】分類討論畫出各類圖形

(1)等邊ΔEFG與直角ΔABD重疊的幾種情形:

【設計意圖】

問題7 是通過動點E,引起線段EF的運動,構造動面等邊ΔEFG;從而分類討論動等邊三角形與定直角三角形重疊面積函數(shù).且將點在線段AC上運動,縱向遷移到點在射線AC上運動,進一步拓展學生的思維.

6 教學反思

(1)在日常教學中注意提升學生的計算能力,培養(yǎng)學生簡化運算的意識;

(2)在中考疑難問題的教學注意搭設梯子,逐級增加難度,讓學生夠得著、學得到,增強數(shù)學學習的信心與興趣;

(3)可以進一步對例題進行變式,不斷拓展問題的深度和廣度.