矩形明渠消力池水躍的水頭損失研究

傅銘煥，張志昌

(1.浙江省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院 施概院，杭州 310002； 2.西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，西安 710048)

1 研究背景

水躍是急流向緩流過(guò)渡的一種局部水力現(xiàn)象，并伴隨著能量的消散。水躍段能量的衰減，由2部分組成：一部分是水躍區(qū)下部主流受到壁面摩擦阻力的影響而產(chǎn)生的沿程水頭損失，另一部分是上部水體強(qiáng)烈摻氣旋滾而產(chǎn)生的局部水頭損失。

吳持恭[1]研究了水躍區(qū)水頭損失的變化規(guī)律，認(rèn)為水躍區(qū)能量損失分為水躍段水頭損失和躍后段水頭損失，并給出了相應(yīng)的計(jì)算式。文獻(xiàn)[2]認(rèn)為，水躍躍后段消能所占比例一般較小，實(shí)際計(jì)算中可假定水躍的能量消耗全部集中于水躍段。

文獻(xiàn)[1]—文獻(xiàn)[2]雖然給出了水躍區(qū)總水頭損失計(jì)算式，但均未對(duì)水頭損失進(jìn)行進(jìn)一步的細(xì)分。張志昌等[3]根據(jù)水躍區(qū)流速分布公式及邊界層理論，結(jié)合沿程水頭損失的定義分析了水躍區(qū)沿程水頭損失和局部水頭損失的變化規(guī)律。研究表明，隨著躍前斷面弗勞德數(shù)的增加，水躍沿程水頭損失占比逐漸減小而局部水頭損失占比逐漸增大；在弗勞德數(shù)較大時(shí)，水躍段的水頭損失主要為局部水頭損失。但須說(shuō)明的是，在主流方向上文獻(xiàn)[3]將躍前斷面至7倍躍前水深處的區(qū)間范圍產(chǎn)生的所有水頭損失歸到局部水頭損失之中。

根據(jù)沿程水頭損失定義，沿程水頭損失主要與壁面的摩擦阻力有關(guān)。倪漢根等[4]研究的一般光滑床面水躍特性表明，一般光滑床面消力池的床面摩擦阻力很小，對(duì)水躍共軛水深比及相對(duì)能量損失的影響并不明顯。Ead等[5]研究了水躍區(qū)壁面阻力的變化規(guī)律，給出了一般光滑壁面與波狀床面消力池的壁面阻力系數(shù)計(jì)算公式。研究表明，壁面阻力系數(shù)是躍前斷面弗勞德數(shù)的函數(shù)，并隨著弗勞德數(shù)的增大而增大。波狀床面消力池壁面阻力系數(shù)遠(yuǎn)大于一般光滑床面消力池。文獻(xiàn)[6]—文獻(xiàn)[10]也研究了粗糙床面消力池壁面阻力系數(shù)的變化規(guī)律，給出了壁面阻力系數(shù)的計(jì)算方法。

由以上研究可知，一般光滑壁面消力池水躍區(qū)水頭損失的研究成果還很少，遠(yuǎn)沒(méi)有水躍躍后水深和水躍長(zhǎng)度研究深入與透徹。筆者嘗試根據(jù)沿程水頭損失的定義，研究沿程水頭損失與局部水頭損失的變化規(guī)律，完善并豐富水躍理論體系。

圖1 矩形明渠消力池水躍示意圖Fig.1 Sketch of hydraulic jump in stilling pool ofrectangular open channel

2 沿程水頭損失

圖1為一矩形明渠消力池水躍示意圖。圖中h1和h2分別為水躍躍前、躍后斷面水深；v1和v2分別為躍前、躍后斷面的平均流速；Lj為水躍長(zhǎng)度；F為整個(gè)水躍段渠底對(duì)水流的總摩擦阻力(后文簡(jiǎn)稱(chēng)渠底阻力)。

根據(jù)沿程水頭損失的定義，水躍段沿程水頭損失hf可表示為

(1)

式中：τ(x)為水躍區(qū)渠底任一點(diǎn)對(duì)水流施加的壁面切應(yīng)力；ρ為水體密度；g為重力加速度；R(x)為水躍區(qū)任一斷面處的水力半徑；L1、L2分別為積分上下限，x軸正方向與水躍主流前進(jìn)方向一致。

矩形明渠消力池水躍區(qū)任一過(guò)水?dāng)嗝娴乃Π霃絉(x)可表示為

(2)

式中：A(x)為水躍區(qū)任一過(guò)水?dāng)嗝婷娣e；χ(x)為任一過(guò)水?dāng)嗝鏉裰?；h(x)為任一過(guò)水?dāng)嗝嫣幩睿籦為消力池寬度。

將式(2)代入式(1)，則

(3)

式(3)可簡(jiǎn)化為

(4)

(5)

對(duì)式(4)進(jìn)行變形，可得

(6)

渠底阻力F[14]可表示為

(7)

式中：Cf為床面阻力系數(shù)；γ為水體重度。

(8)

將共軛水深比η=h2/h1，躍首斷面寬高比ξ=b/h1代入式(8)可得

(9)

由式(9)可知，矩形明渠水躍區(qū)沿程水頭損失hf是躍前斷面水深h1、床面阻力系數(shù)Cf、水躍共軛水深比η及躍首斷面寬高比ξ的函數(shù)。hf隨著h1和Cf的增大而增大，隨著η和ξ的增大而減小。

(10)

式中Fr1為躍前斷面弗勞德數(shù)。

由式(10)可得沿程水頭損失系數(shù)λ為

(11)

在水力計(jì)算中，床面阻力系數(shù)Cf往往是未知的，倪漢根等[4]在研究一般矩形明渠水躍共軛水深時(shí)，給出了Cf與共軛水深比的理論關(guān)系，即

(12)

將式(12)代入式(11)可得

(13)

由式(13)可知，沿程水頭損失系數(shù)λ是躍前斷面弗勞德數(shù)Fr1、水躍共軛水深比η和躍首斷面寬高比ξ的函數(shù)。

筆者根據(jù)Francesco等[15]和Hughes等[16]的矩形明渠水躍的試驗(yàn)工況對(duì)水躍區(qū)沿程水頭損失系數(shù)進(jìn)行分析。在數(shù)據(jù)整理時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)Francesco等[15]和Hughes等[16]的102組光滑壁面試驗(yàn)工況中，有44組實(shí)測(cè)的躍后水深值略大于Belanger公式計(jì)算值(忽略壁面阻力)。由于Cf是個(gè)小量，用式(12)計(jì)算的床面阻力系數(shù)對(duì)躍后水深的變動(dòng)十分敏感，如果實(shí)測(cè)的躍后水深略微偏大，則Cf就會(huì)以負(fù)數(shù)的形式出現(xiàn)，這與實(shí)際并不相符(渠底阻力方向同水體主流方向相反)。故筆者在分析沿程水頭損失系數(shù)λ時(shí)，只保留了58組正常試驗(yàn)工況，即實(shí)測(cè)的躍后水深值小于Belanger公式計(jì)算值的試驗(yàn)工況(Cf>0)。其中，F(xiàn)rancesco等試驗(yàn)的躍前斷面弗勞德數(shù)范圍為1.99

圖2 λ/Cf隨著弗勞德數(shù)Fr1的變化規(guī)律Fig.2 Change law of λ/Cf with Froude number Fr1

λ/Cf與Fr1可用一個(gè)乘冪公式表示，即

(14)

由式(14)可知，λ隨Cf的增大而增大，隨著Fr1的增大而減小。

故在1.99

(15)

式(15)計(jì)算的平均相對(duì)誤差為4.74%。

3 局部水頭損失

假定躍前、躍后斷面的動(dòng)能修正系數(shù)均為1，則水躍區(qū)躍前和躍后斷面的能量平衡方程為

(16)

式中hw為水躍區(qū)總水頭損失。

根據(jù)總水頭損失定義可知

hw=hf+hj。

(17)

式中hj為水躍區(qū)局部水頭損失。

對(duì)于局部水頭損失，可表示為

(18)

式中ζ為局部水頭損失系數(shù)。

聯(lián)立式(10)—式(11)、式(16)—式(18)的等式可得局部水頭損失系數(shù)，即

(19)

式中q為單寬流量。

將式(13)代入式(17)，則

(20)

式(20)即為矩形明渠水躍區(qū)局部水頭損失系數(shù)的計(jì)算式。由式(20)可知，ζ是Fr1、η、ξ、h1、h2和q的函數(shù)。

由于式(20)計(jì)算的局部水頭損失系數(shù)較為復(fù)雜，筆者仍舊結(jié)合Francesco等[15]和Hughes等[16]的58組試驗(yàn)工況，重新分析了局部水頭損失系數(shù)ζ的變化規(guī)律，結(jié)果如圖3所示。

圖3 局部水頭損失系數(shù)ζ隨著弗勞德數(shù)Fr1的變化規(guī)律Fig.3 Change law of local head loss coefficient ζ withFroude number Fr1

由圖3可知，局部水頭損失系數(shù)ζ隨著躍前斷面弗勞德數(shù)Fr1的增大而增大，ζ可用一個(gè)Fr1的對(duì)數(shù)關(guān)系式簡(jiǎn)單表示，即

ζ=0.396 5ln (Fr1)-0.117 2 。

(21)

式(21)適用范圍為1.99

4 總水頭損失

對(duì)于矩形明渠床面水躍區(qū)總水頭損失hw，對(duì)式(16)變形可得

(22)

令總水頭損失

(23)

式中ψ為總水頭損失系數(shù)。

根據(jù)式(22)和式(23)，筆者結(jié)合文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[16]的58組試驗(yàn)工況，分析了水躍區(qū)總水頭損失系數(shù)的變化規(guī)律，結(jié)果如圖4所示。

圖4 總水頭損失系數(shù)ψ隨著弗勞德數(shù)Fr1的變化規(guī)律Fig.4 Change law of total head loss coefficient ψ withFroude number Fr1

由圖4可知，總水頭損失系數(shù)ψ是躍前斷面弗勞德數(shù)Fr1的函數(shù)，ψ隨著Fr1的增大而增大，兩者近似服從對(duì)數(shù)關(guān)系，即

ψ=0.373 5ln(Fr1)-0.058 6 。

(24)

式(24)平均誤差為3.32%。式(24)的適用范圍為1.99

5 水頭損失占比

為了比較水躍段各水頭損失的占比，筆者結(jié)合上述58組試驗(yàn)工況，對(duì)其進(jìn)行了分析，結(jié)果見(jiàn)圖5。

圖5 水頭損失占比隨弗勞德數(shù)Fr1的變化Fig.5 Variation of ratio of head loss with Froudenumber Fr1

由圖5可知，在58組試驗(yàn)工況中只有1組工況的沿程水頭損失略大于局部水頭損失(Fr1=2.1)，其余工況沿程水頭損失均小于局部水頭損失?？梢?jiàn)，在水躍區(qū)水頭損失總體上主要由局部水頭損失組成。在1.99

需要說(shuō)明的是，本文推導(dǎo)計(jì)算的沿程水頭損失hf是躍首斷面到躍尾斷面間整段水躍的沿程損失，與文獻(xiàn)[17]計(jì)算的沿程水頭損失hf并不等價(jià)。文獻(xiàn)[17]計(jì)算的hf起始斷面為離躍首7h1處而非躍首斷面，其值應(yīng)該小于本文的計(jì)算值。

6 結(jié) 論

本文根據(jù)沿程水頭損失的基本定義，推導(dǎo)了矩形明渠水躍段沿程水頭損失hf與躍前斷面水深h1、床面阻力系數(shù)Cf、水躍共軛水深比η及躍首斷面寬高比ξ的本構(gòu)關(guān)系以及局部水頭損失系數(shù)的理論計(jì)算公式。結(jié)合文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[16]的試驗(yàn)工況，提出了沿程水頭損失系數(shù)、局部水頭損失系數(shù)和總水頭損失系數(shù)的簡(jiǎn)單擬合公式。研究發(fā)現(xiàn)：

(1)沿程水頭損失hf隨著h1和Cf的增大而增大，隨著η和ξ的增大而減??；沿程水頭損失系數(shù)λ隨Cf的增大而增大，隨著Fr1的增大而減小。

(2)局部水頭損失系數(shù)ζ是Fr1、η、ξ、h1、h2和q的函數(shù)；ζ隨著Fr1的增大而增大。

(3)總水頭損失系數(shù)ψ是Fr1的函數(shù)，ψ隨著Fr1的增大而增大。

(4)在1.99