魚鱗狀床面粗糙特性

潘云文，劉 欣，楊克君

(1.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072； 2.四川大學(xué) 水力學(xué)與山區(qū)河流開發(fā)保護(hù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610065； 3.華北水利水電大學(xué) 水利學(xué)院，鄭州 450046)

1 研究背景

山區(qū)河床卵石表層長期經(jīng)受水流的沖刷與分選，其顆粒外形大多扁平且在小范圍內(nèi)其級(jí)配組成也相對(duì)均勻。形狀扁平的卵石在水流驅(qū)動(dòng)作用下極易沿水流方向傾斜相靠、交錯(cuò)搭疊，形成“藏尾露頭”的魚鱗狀床面(見圖1)。魚鱗狀床面也是天然河流中十分常見的一種床面類型，它最突出的特點(diǎn)便是其顆粒排列具有明顯的空間趨向，這在分析其粗糙特性時(shí)是該給予重點(diǎn)關(guān)注的。然縱觀已有成果，未見有人專門探討過魚鱗狀卵石床面的粗糙特性，這既不利于對(duì)床面復(fù)雜精細(xì)結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的深入，也有礙于河流動(dòng)力學(xué)的發(fā)展，因此開展魚鱗狀卵石床面粗糙特性的專項(xiàng)研究是很有必要的。欲研究魚鱗狀床面的粗糙特性，首先須獲得魚鱗狀床面。魚鱗狀床面的獲取主要有3種方式：①直接去天然河道中找尋；②通過水槽試驗(yàn)塑造；③人工鋪制?？紤]到水流塑造魚鱗狀床面的形成除了與顆粒的幾何形狀參數(shù)有關(guān)外，還依賴于特殊的水流條件。在水槽試驗(yàn)中要產(chǎn)生這樣的水流條件常常是困難的，甚至有時(shí)受試驗(yàn)條件所限，根本就形不成魚鱗狀床面，而野外實(shí)測(cè)又成本過高，因此本文人工鋪制魚鱗狀床面，依托激光掃描技術(shù)獲得其精確數(shù)字高程，基于統(tǒng)計(jì)學(xué)理論與分形理論對(duì)其粗糙特性進(jìn)行探討。與天然河道中的魚鱗狀床面相比，人工鋪制魚鱗狀床面固然是一種簡(jiǎn)單的概化，但只要突出其顆粒排列具有明顯空間趨向這一特點(diǎn)，那么研究成果對(duì)深化床面粗糙特性的規(guī)律認(rèn)識(shí)、建立床面復(fù)雜精細(xì)結(jié)構(gòu)的定量數(shù)學(xué)表達(dá)也是大有裨益的，同在水利工程實(shí)踐中也具有廣闊的應(yīng)用前景。

圖1 天然河道魚鱗狀床面Fig.1 Imbricate bed surface in a natural river channel

2 資料與方法

2.1 試驗(yàn)資料

圖2 床面鋪制與激光掃描Fig.2 Paving and laser scanning of experimental bed surfaces

圖3 床面數(shù)字高程Fig.3 Digital elevations of experimental bed surfaces

2.2 分析方法

2.2.1 統(tǒng)計(jì)參數(shù)

床面高程統(tǒng)計(jì)參數(shù)主要包括極差(R)、方差(σ2)、偏度(Sk)與峰度(Ku)，其值可分別由式(1)—式(4)計(jì)算。極差表征的是樣本的取值范圍；方差反映的是樣本系列相對(duì)于樣本均值的絕對(duì)偏離程度；偏度衡量樣本頻率分布的對(duì)稱性，Sk> 0為正偏態(tài)，Sk< 0為負(fù)偏態(tài)，Sk=0為對(duì)稱分布；峰度描述樣本頻率分布的陡緩，正態(tài)分布時(shí)Ku=3，高狹峰時(shí)Ku>3，低闊峰時(shí)Ku<3。

R=max{zi}-min{zi} ；

(1)

(2)

(3)

(4)

2.2.2 變異函數(shù)及其特征參數(shù)

變異函數(shù)γ通常由式(5)計(jì)算。

(5)

圖4 變異函數(shù)球狀模型Fig.4 Spherical model of variogram

(6)

(7)

D=3-α/2 。

(8)

3 結(jié)果與討論

3.1 床面相對(duì)高程頻率分布與統(tǒng)計(jì)參數(shù)

由圖5可知，魚鱗狀床面的相對(duì)高程頻率分布具有明顯的雙峰特征，主峰近似正態(tài)且較為“高大”，次峰卻極為“矮小”。然而床面相對(duì)高程頻率分布的整體態(tài)勢(shì)是呈負(fù)偏態(tài)的，而這種負(fù)偏態(tài)是由次峰的離群效應(yīng)所造成的。次峰的出現(xiàn)絕非偶然，而是有深刻物理意義的，其所反映的實(shí)際是數(shù)值較小的高程點(diǎn)數(shù)相對(duì)于床面高程采樣總數(shù)的占比，也就是床面顆粒間孔隙的高程頻率。換句話說，床面相鄰顆粒間的隨機(jī)孔隙是造成魚鱗狀床面相對(duì)高程頻率分布具有負(fù)偏雙峰特征的根本原因。不難發(fā)現(xiàn)，隨著卵石粒徑的增大，主峰變得“矮胖”，次峰出現(xiàn)衰減，這與床面相鄰顆粒間的隨機(jī)孔隙同樣密切相關(guān)。卵石粒徑增大，床面最大凸起高度與最大孔隙深度相應(yīng)增大，故而床面相對(duì)高程的頻率分布跨度增大、高度減小，即主峰變得“矮胖”。卵石粒徑增大而導(dǎo)致的次峰衰減同樣具有明確的物理內(nèi)涵。次峰的大小在一定程度上反映了床面孔隙率的大小。當(dāng)卵石粒徑較大時(shí)，實(shí)際研究區(qū)域俯視面積的絕大部分已為卵石實(shí)體所占據(jù)，這便使床面粒間孔隙的平面分布密度(單位面積的孔隙個(gè)數(shù))減小，即床面孔隙率減小，故而次峰才出現(xiàn)衰減。換句話說，用均勻卵石人工鋪制的單層魚鱗狀床面孔隙率會(huì)隨著卵石粒徑的增大而減小。由于次峰反映的是床面顆粒間的孔隙高程頻率，因而次峰雖小，其對(duì)床面粗糙度的影響卻是不可忽略的。當(dāng)水流與床面發(fā)生作用時(shí)，卵石顆粒間的孔隙必定為水所充滿，但由于卵石顆粒對(duì)其間孔隙的隱蔽與遮擋，孔隙中的水體流速較低?？紫端臏籼畛淞舜裁娴陌枷荩@是會(huì)對(duì)床面產(chǎn)生平滑效應(yīng)的。如前所述，卵石粒徑越小，利用其所鋪床面的孔隙率越大，因而由孔隙水的滯留而產(chǎn)生的填充作用與平滑效應(yīng)也就越明顯，這也是粒徑較小的床面粗糙度也較小的一個(gè)原因。總而言之，卵石顆粒與其間孔隙作為構(gòu)成床面的基本要素，它們既相互區(qū)別，又相互聯(lián)系，不存在無孔隙的床面，也不存在獨(dú)立于顆粒的孔隙，二者完全是辯證而統(tǒng)一的。因此，在分析卵石床面粗糙特性時(shí)是不能完全割裂卵石顆粒與其間孔隙的共存關(guān)系的。

圖5 床面相對(duì)高程頻率分布Fig.5 Frequency distributions of relative elevations of experimental bed surface

由圖6可知，魚鱗狀床面相對(duì)高程頻率分布的偏度均<0，峰度均>3，其中偏度整體上隨卵石粒徑的增大而減小，峰度隨粒徑的增大而增大。換句話說，魚鱗狀床面相對(duì)高程頻率分布整體上呈負(fù)偏態(tài)、高狹峰，且粒徑越大，其負(fù)偏特征越明顯。但整體的高狹峰特征僅僅是一個(gè)表象，因?yàn)閺南鄬?duì)頻率分布圖來看，其主峰始終是近似正態(tài)分布的，因此這種整體的高狹峰特征完全是由次峰的離群效應(yīng)所產(chǎn)生的錯(cuò)覺。卵石粒徑越大，其床面最大凸起高度與最大孔隙深度必定越大，因而其極差也越大。然由各擬合公式的相關(guān)系數(shù)的平方(R2)可知，極差、偏度、峰度與卵石粒徑之間并不存在明確的線性相關(guān)性，它們對(duì)魚鱗狀床面相對(duì)高程頻率分布整體態(tài)勢(shì)的刻畫只是一種十分粗略的近似。床面高程方差卻不盡然，它與卵石粒徑的線性相關(guān)性是十分明確的。這也就是說，床面高程方差可以作為魚鱗狀床面粗糙特性的優(yōu)良表征，卵石粒徑越大，床面高程方差越大，床面越粗糙，反之亦然。文獻(xiàn)[5]曾研究過散疊型卵石床面的統(tǒng)計(jì)粗糙特性，其床面相對(duì)高程頻率分布整體上呈負(fù)偏態(tài)、高狹峰，這與本文所鋪魚鱗狀床面的高程頻率分布特性是完全相同的，其原因就在于這兩項(xiàng)研究所采用的三維激光掃描技術(shù)較為先進(jìn)，能精確測(cè)量床面相鄰顆粒間的孔隙形態(tài)，繼而使得其后續(xù)分析能夠充分考慮顆粒間的孔隙對(duì)床面粗糙度的貢獻(xiàn)，這顯然是測(cè)量技術(shù)的進(jìn)步而帶來的認(rèn)識(shí)水平的提高。然而當(dāng)卵石粒徑相同時(shí)，散疊型卵石床面的負(fù)偏程度大于本文的魚鱗狀床面，這主要是由所鋪卵石床面的層厚差異所引起的?？紤]到卵石用量，本文所鋪制的魚鱗狀床面是單層的，因而床面相鄰顆粒間的最大孔隙深度較小，故而相對(duì)高程頻率分布的負(fù)偏程度也較小。此外，當(dāng)卵石粒徑相同時(shí)，散疊型卵石床面的高程方差也大于魚鱗狀床面的對(duì)應(yīng)值。這也就是說：當(dāng)卵石粒徑相同時(shí)，魚鱗狀床面的粗糙度小于散疊型床面的粗糙度。這便解釋了為什么魚鱗狀排列的卵石會(huì)比松散排列的更難起動(dòng)[15]。與散疊型卵石床面相比，魚鱗狀床面的粗糙度相對(duì)較小，當(dāng)水流流過其表面，魚鱗狀床面施加于水流的阻力較小，因而水流給予魚鱗狀床面的反作用力也較小，故而其床面結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定，其顆粒較難起動(dòng)。再者，魚鱗狀床面顆粒傾斜相靠、交錯(cuò)搭疊的排列方式會(huì)增強(qiáng)相鄰卵石間的摩擦作用與隱蔽效應(yīng)，這也是魚鱗狀床面相對(duì)穩(wěn)定的一個(gè)原因。

圖6 床面高程統(tǒng)計(jì)參數(shù)Fig.6 Statistical parameters of experimental bed surface elevations

3.2 床面變異特性

由圖7可知，魚鱗狀床面的高程變異函數(shù)與球狀模型甚為接近，當(dāng)計(jì)算尺度大于變程后僅表現(xiàn)出輕微的波動(dòng)，球狀模型可作為其粗糙特性量化的優(yōu)良理論模型。隨著卵石粒徑的增大，各床面高程變異函數(shù)的基臺(tái)值與變程均增大?；_(tái)值增大說明高程變化幅度增大，繼而其床面更粗糙。變程增大說明床面組成顆粒的影響范圍增大。將本文的魚鱗狀床面與文獻(xiàn)[5]所述的散疊型床面進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)粒徑相同時(shí)，在任一方向上，魚鱗狀床面的高程變異函數(shù)變程均大于散疊型床面的對(duì)應(yīng)值。這說明魚鱗狀床面的顆粒影響范圍更大，而這種差異無疑是由顆粒的魚鱗狀排列方式所造成的。由圖8不難發(fā)現(xiàn)，變異函數(shù)穩(wěn)定后，其值與床面高程方差是非常接近的，這說明床面高程方差與變異函數(shù)基臺(tái)值在量化魚鱗狀床面粗糙特性方面是基本等價(jià)的。卵石粒徑越大，床面高程方差越大，變異函數(shù)基臺(tái)值越大，床面越粗糙，反之亦然。由圖9可知，魚鱗狀床面不同計(jì)算方向的高程變異特性是有差異的，尤其是與x軸正向(相當(dāng)于水流方向)的角度成0、π/4與π/2的3個(gè)方向，因此在分析魚鱗狀床面粗糙特性時(shí)，有必要對(duì)其顆粒排列的方向性給予足夠的重視。

圖7 床面高程二維變異函數(shù)Fig.7 Two-dimensional variograms of experimental bed surface elevations

圖8 基臺(tái)值與方差的關(guān)系Fig.8 Relevance between sill and elevation variances

圖9 床面二維特征方向變異特性Fig.9 Variogram parameters in two-dimensional specific directions of experimental bed surfaces

3.3 床面分形特征

由圖10可知，魚鱗狀床面二維特征方向無標(biāo)度上限隨卵石粒徑的增大而單調(diào)增大，其值可近似取為0.5d50。然而，同一床面在與x軸正向(相當(dāng)于水流方向)的角度成0、π/4與π/2的3個(gè)方向上無標(biāo)度區(qū)是大致相同的，并不存在明顯的方向上的差異。由圖11可知，魚鱗狀床面二維特征方向分形維數(shù)具有明顯的方向上的差異。對(duì)同一床面而言，在與x軸正向的角度成0的方向上分形維數(shù)最大，床面結(jié)構(gòu)最復(fù)雜；在與x軸正向成π/2的方向上分形維數(shù)次之，床面結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜；在與x軸正向成π/4的方向上分形維數(shù)最小，床面結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單。而就同一個(gè)二維特征方向而言，隨著卵石粒徑的增大，床面分形維數(shù)基本減小，床面結(jié)構(gòu)復(fù)雜性減弱。這一現(xiàn)象的出現(xiàn)主要有兩方面的原因，其一：在天然河道中，卵石的輸移通常以推移的方式進(jìn)行。卵石粒徑越大，其推移運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量越大，與床底其它卵石的碰撞沖擊作用越強(qiáng)烈，因而更易將其外形磨得圓滑。卵石圓滑的外形是有助于減弱床面結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的。其二：如前所述，隨著卵石粒徑的增大，實(shí)際研究區(qū)域俯視面積的絕大部分將為卵石實(shí)體所占據(jù)，床面粒間孔隙的平面密度(單位面積的孔隙個(gè)數(shù))將減小，這也是有助于減弱床面結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的。

圖10 床面二維特征方向無標(biāo)度區(qū)判定Fig.10 Judgment for scale-free ranges in two-dimensional specific directions of experimental bed surfaces

圖11 床面二維特征方向分形維數(shù)Fig.11 Fractal dimensions in two-dimensional specific directions of experimental bed surfaces

4 結(jié) 論

(1)魚鱗狀床面相對(duì)高程頻率分布具有負(fù)偏雙峰特征，主峰近似正態(tài)且較為“高大”，次峰卻極為“矮小”。相對(duì)高程頻率分布的負(fù)偏態(tài)是由次峰的離群效應(yīng)所造成的，而次峰的離群效應(yīng)又是由床面相鄰顆粒間的隨機(jī)孔隙所導(dǎo)致的。

(2)床面高程方差與卵石粒徑的線性相關(guān)性是十分明確的，可以作為魚鱗狀床面粗糙特性的優(yōu)良表征。卵石粒徑越大，床面高程方差越大，床面越粗糙，反之亦然。

(3)與由相同粒徑的卵石顆粒所鋪制的散疊型床面相比，魚鱗狀床面的粗糙度較小，其床面結(jié)構(gòu)相對(duì)穩(wěn)定。

(4)球狀模型可作為魚鱗狀床面統(tǒng)計(jì)粗糙特性量化的優(yōu)良理論模型。卵石粒徑增大，各床面高程變異函數(shù)的基臺(tái)值與變程均增大。

(5)床面高程方差與變異函數(shù)基臺(tái)值在量化魚鱗狀床面粗糙特性方面是基本等價(jià)的。

(6)魚鱗狀床面二維特征方向無標(biāo)度區(qū)上限隨卵石粒徑的增大而單調(diào)增大，其值可近似取為0.5d50(d50為中值粒徑)。然而同一床面各二維特征方向無標(biāo)度區(qū)上限是大致相同的，并不存在明顯的方向上的差異。

(7)就同一二維特征方向而言，隨著卵石粒徑的增大，床面分形維數(shù)基本減小，床面結(jié)構(gòu)復(fù)雜性減弱。

(8)魚鱗狀床面粗糙特性具有明顯的方向性，尤其是與水流方向的角度成0、π/4與π/2的3個(gè)方向，其粗糙特性明顯不同。

(9)采用均勻卵石人工鋪制的單層魚鱗床面只是天然魚鱗狀床面的一種粗略概化，雖然該做法突出了顆粒排列具有明顯空間趨向的這一特性，但并沒有考慮級(jí)配組成、卵石扁平度與鋪制層數(shù)對(duì)床面結(jié)構(gòu)的影響；另外，水流塑造與人工鋪制也肯定是存在差異的。因此，后來學(xué)者應(yīng)充分考慮會(huì)對(duì)魚鱗床面結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響的因素，積極開展水槽試驗(yàn)，力求塑造出更為接近天然情況的魚鱗狀床面來進(jìn)行研究；如果條件允許，爭(zhēng)取去天然河道中實(shí)測(cè)。