突然擴(kuò)散水躍方程的改進(jìn)與比較

(1.西安理工大學(xué) 省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 西安 710048；2.嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院, 浙江 嘉興 314001； 3.上海大學(xué) 建筑系, 上海 200444)

1 研究背景

泄水建筑物下游的消能防沖是泄水建筑物水力設(shè)計(jì)中的重要問(wèn)題[1-3]。由于建壩區(qū)域的地質(zhì)、地形條件及水力條件不同，可以布置成不同的消能形式。水躍消能作為傳統(tǒng)的消能形式被廣泛采用[4-8]。水躍分為棱柱體明渠的水躍和空間水躍，水平渠底漸擴(kuò)明渠段中的水躍[8-13]和水平渠底突然擴(kuò)大明渠段的水躍(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“突然擴(kuò)散水躍”)[14-17]是適合擴(kuò)散河槽的2種不同的空間水躍。

由于空間水躍流動(dòng)復(fù)雜[18-21]，空間水躍引起了相關(guān)研究者予以關(guān)注。而水平渠底突然擴(kuò)散水躍的研究較少。關(guān)于水平渠底突然擴(kuò)散水躍水力設(shè)計(jì)中的重要參數(shù)共軛水深比的計(jì)算，一類(lèi)是依賴(lài)于試驗(yàn)資料建立的經(jīng)驗(yàn)公式，這類(lèi)公式由于受試驗(yàn)資料范圍的限制，都有相應(yīng)的應(yīng)用范圍，使用中也因此受到限制；另一類(lèi)是借助于動(dòng)量守恒原理建立的水平渠底突然擴(kuò)散水躍方程(共軛水深方程)。根據(jù)共軛水深方程進(jìn)行求解獲得共軛水深比η(η=h2/h1，h1，h2分別為躍前、躍后斷面水深)。后者力學(xué)概念清楚，但在推導(dǎo)過(guò)程中要引入一些假定，例如，必須假定回流平均水深。因此，根據(jù)回流平均水深假設(shè)的不同，就可得到不同的水平渠底突然擴(kuò)散水躍方程。

基于上述研究背景，本文研究突然擴(kuò)散水躍方程的特性。在回流區(qū)平均水深作為代表水深的假設(shè)下，根據(jù)動(dòng)量守恒原理推導(dǎo)突然擴(kuò)散水躍的一般方程。在改進(jìn)了回流區(qū)平均水深具體表達(dá)式的基礎(chǔ)上，得到突然擴(kuò)散水躍的新方程，并給出有關(guān)參數(shù)的確定方法。并將已有的突然擴(kuò)散水躍方程求得的共軛水深比與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。

圖1 突然擴(kuò)散水躍Fig.1 Hydraulic jump in abruptly expanding channel

2 突然擴(kuò)散水躍方程

圖1是水平渠底突然擴(kuò)散水躍的流動(dòng)示意圖。圖中：h1，h2分別為躍前、躍后斷面水深；h3為回流區(qū)平均水深；b，B分別為上游、下游渠槽寬度；v1為躍前斷面的平均流速；v2為躍后斷面的平均流速；P1為躍前斷面的動(dòng)水總壓力；P2為躍后斷面的動(dòng)水總壓力；P3為水躍始端擴(kuò)散斷面上的動(dòng)水總壓力。

對(duì)于圖1所示的流動(dòng)，忽略明渠槽底壁面的摩擦阻力，在突然擴(kuò)散水躍的流動(dòng)方向?qū)D1的躍前與躍后兩控制斷面應(yīng)用動(dòng)量守恒原理，有

(1)

式中:Q為流量;γ為水的重度；g為重力加速度；α01為躍前斷面的動(dòng)量修正系數(shù)；α02為躍后斷面的動(dòng)量修正系數(shù)。

考慮躍前斷面上的動(dòng)量修正系數(shù)與躍后斷面上的動(dòng)量修正系數(shù)均為1.0，有

α01=α02=1.0 。

(2)

由連續(xù)性方程，有

(3)

假定躍前與躍后兩斷面上的水流為漸變流,水壓力按靜水壓力分布，躍前斷面的動(dòng)水總壓力為

(4)

躍后斷面的動(dòng)水總壓力為

(5)

始端擴(kuò)散區(qū)壁面壓強(qiáng)依賴(lài)于回流平均水深，而回流水深沿始端擴(kuò)散區(qū)壁面是變化的，一般假定用回流平均水深作為代表，這時(shí)，水躍始端擴(kuò)散斷面上的動(dòng)水總壓力為

(6)

將式(2)至式(6)代入式(1)，得

(7)

(8)

式中h3為回流區(qū)平均水深。式(8)即為突然擴(kuò)散水躍的共軛水深的一般方程。

3 突然擴(kuò)散水躍方程的改進(jìn)

3.1 已有的突然擴(kuò)散水躍方程

回流區(qū)平均水深確定以后，代入式(8)就可以得到突然擴(kuò)散水躍的共軛水深方程，然后求解突然擴(kuò)散水躍的共軛水深方程就可以得到共軛水深比。對(duì)于回流區(qū)平均水深，研究者通常作出了一些假設(shè)，從而得到了相應(yīng)的突然擴(kuò)散水躍的共軛水深方程。 文獻(xiàn)[14]假定回流區(qū)平均水深h3=h1，則有

(9)

文獻(xiàn)[18]假定回流區(qū)平均水深h3=0.5(h1+h2)，則有

βη(η-1)(3βη+β+η+3)-

(11)

3.2 突然擴(kuò)散水躍方程的改進(jìn)

αβη(β-1)(1+η2)=0 。

(12)

根據(jù)文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[18]關(guān)于回流區(qū)平均水深h3、躍前水深h1、躍后水深h2的試驗(yàn)資料，對(duì)系數(shù)α的變化規(guī)律進(jìn)行了分析。系數(shù)α可以表示為

α=-0.066 9β2+0.484 6β-0.329 。

(13)

方程(12)的顯式解為

4 不同突然擴(kuò)散水躍方程求得的共軛水深比與試驗(yàn)結(jié)果的比較

將不同突然擴(kuò)散水躍方程求得的共軛水深比與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，以檢驗(yàn)方程精度。利用式(9)—式(12)對(duì)文獻(xiàn)[16]和文獻(xiàn)[18]中90組試驗(yàn)資料進(jìn)行了計(jì)算，共軛水深比的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較如圖2所示。圖2形象地給出了不同方程的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的差別。不同方程的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的有關(guān)參數(shù)的比較見(jiàn)表1—表3。

圖2 不同方程共軛水深比的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的比較Fig.2 Conjugate depth ratio calculated by differentequations and experimental result

方程平均相對(duì)誤差/%最大相對(duì)誤差/%方程平均相對(duì)誤差/%最大相對(duì)誤差/%式(9)11.80640.841式(11)6.33132.420式(10)6.76129.206式(12)5.48528.210

(1)由圖2可知，β=1.2時(shí)，式(9)—式(12)的計(jì)算結(jié)果接近。β=1.5時(shí)，當(dāng)Fr1較小情況下，式(9)—式(12)的計(jì)算結(jié)果接近，當(dāng)Fr1較大情況下，式(9)、式(11)的計(jì)算結(jié)果偏離式(10)、式(12)的計(jì)算結(jié)果。β=2.0時(shí)式(10)與式(12)的計(jì)算結(jié)果接近。β=3.0時(shí)式(11)與式(12)的計(jì)算結(jié)果接近，式(9)與式(10)的計(jì)算結(jié)果明顯偏離。β=5.0時(shí)式(10)與式(12)的計(jì)算結(jié)果接近，式(9)與式(11)的計(jì)算結(jié)果明顯偏離。

(2)由表1可以看出，對(duì)于在90組試驗(yàn)資料中關(guān)于不同方程共軛水深比的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的誤差，式(9)的平均相對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差最大，式(10)的平均相對(duì)誤差次之，改進(jìn)后的式(12)的平均相對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差最小。

表2 不同突擴(kuò)比時(shí)不同方程共軛水深比的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)誤差Table 2 Errors between conjugate depth ratios calculated by different equations and experimental result inthe presence of varying abruptly expanding ratio

表3 不同相對(duì)誤差范圍的試驗(yàn)組次分布Table 3 Test groups in different error ranges

(3)由表2可以看出，不同突擴(kuò)比時(shí)不同方程共軛水深比的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較說(shuō)明，式(9)—式(12)都在β=3.0時(shí)平均相對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差最大，式(9)—式(12)都在β=1.2時(shí)平均相對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差最小。各個(gè)方程的相對(duì)誤差變化規(guī)律基本相同。說(shuō)明β=3.0時(shí)流動(dòng)比較復(fù)雜。

(4)由表3可以看出，在90組試驗(yàn)資料中，共軛水深比的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)誤差<5%的試驗(yàn)組次，式(9)有25次，組次最少；式(12)有57次，組次最多。相對(duì)誤差>30%的試驗(yàn)組次，式(9)有5次，組次最多；式(10)和式(12)沒(méi)有相對(duì)誤差>30%的試驗(yàn)數(shù)據(jù)出現(xiàn)。式(12)與式(10)的比較說(shuō)明，相對(duì)誤差<5%的試驗(yàn)組次，由式(10)的41組次增加到式(12)的57組次，改進(jìn)后的方程共軛水深比的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)誤差明顯減小。

(5)綜上分析，改進(jìn)后的式(12)在不同的突擴(kuò)比情況下，共軛水深比的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的平均相對(duì)誤差最小，計(jì)算精度最高。建議對(duì)于實(shí)際的工程計(jì)算問(wèn)題可以采用式(12)進(jìn)行。

(6)式(9)—式(12)在β=1.0時(shí)都簡(jiǎn)化成矩形明渠二元水躍的共軛水深方程。

5 結(jié) 論

本文研究了突然擴(kuò)散水躍方程的特性,并將其與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，可以得出以下結(jié)論。

(1)在回流區(qū)平均水深作為代表水深的假設(shè)下，根據(jù)動(dòng)量守恒原理推導(dǎo)了突然擴(kuò)散水躍的一般方程。

(2)在改進(jìn)了回流區(qū)平均水深具體表達(dá)式的基礎(chǔ)上，得到了突然擴(kuò)散水躍的新方程，并給出了有關(guān)參數(shù)的確定方法。

(3)將已有的突然擴(kuò)散水躍方程求得的共軛水深比與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較，在90組試驗(yàn)資料中，式(9)的平均相對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差最大，改進(jìn)后的式(12)的平均相對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差最小。式(9)—式(12)都在β=3.0時(shí)平均相對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差最大，都在β=1.2時(shí)平均相對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差最小。改進(jìn)后的式(12)在不同的突擴(kuò)比情況下平均相對(duì)誤差都最小，計(jì)算精度最高。

(4)在90組試驗(yàn)資料中，共軛水深比的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)誤差<5%的試驗(yàn)組次，式(9)有25次，組次最少；式(12)有57次，組次最多。改進(jìn)后的方程共軛水深比的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的相對(duì)誤差明顯減小。

(5)式(9)—式(12)的比較表明，改進(jìn)后的式(12)共軛水深比的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的平均相對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差最小，計(jì)算精度最高，且有顯式解，計(jì)算方便。因此，建議用改進(jìn)后的式(12)進(jìn)行突然擴(kuò)散水躍共軛水深的水力設(shè)計(jì)。