基于線性矩法的短歷時(shí)暴雨頻率分布研究

(西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

1 研究背景

暴雨災(zāi)害是我國目前面臨的最主要的氣象災(zāi)害之一，由其引發(fā)的山洪、滑坡、泥石流、水土流失和內(nèi)澇等災(zāi)害，嚴(yán)重威脅著人民的生命財(cái)產(chǎn)安全。針對(duì)暴雨的相關(guān)研究一直是國內(nèi)外水文和氣象領(lǐng)域的研究重點(diǎn)，其研究成果對(duì)我國的防洪減災(zāi)工作有重大意義。對(duì)于暴雨統(tǒng)計(jì)特性的研究可以揭示其在時(shí)間上的變化規(guī)律，其中選擇反映地區(qū)暴雨特性的暴雨頻率分布是得到準(zhǔn)確合理的設(shè)計(jì)暴雨的首要條件，在工程實(shí)踐中起著至關(guān)重要的作用，特別是對(duì)于短歷時(shí)暴雨頻率分布的選擇更是研究的重點(diǎn)。

我國幅員遼闊，氣候和地形條件復(fù)雜，各地在工程實(shí)踐中對(duì)于暴雨頻率分布的選擇無法達(dá)成共識(shí)。李松仕[1]在早期研究中指出，皮爾遜Ⅲ型分布彈性較大，適用于我國南北方大部分地區(qū)；鄧培德[2]在對(duì)全國10個(gè)代表站的暴雨資料進(jìn)行擬合后，指出指數(shù)分布在暴雨量序列的擬合上效果要優(yōu)于皮爾遜Ⅲ型分布；金光炎[3]認(rèn)為廣義極值分布在我國水文資料的擬合上具有良好的適應(yīng)性，特別是其離均系數(shù)表對(duì)水文頻率分析和各類統(tǒng)計(jì)計(jì)算有重要意義；蔡敏等[4]采用耿貝爾分布對(duì)我國東部降水量極值進(jìn)行了擬合，效果理想，適用性強(qiáng)。大量科研工作者的研究表明，選擇適宜當(dāng)?shù)厍闆r的暴雨頻率分布在各地工程實(shí)踐中有著至關(guān)重要的作用。陜西省為洪澇災(zāi)害多發(fā)省份，由暴雨導(dǎo)致的洪澇災(zāi)害更是頻繁發(fā)生，給人們的正常生活帶來諸多不利影響，造成了巨大經(jīng)濟(jì)損失和資源浪費(fèi)。針對(duì)陜西省短歷時(shí)暴雨頻率分布的研究可以為城市防洪、排澇規(guī)劃以及相關(guān)工程設(shè)計(jì)的雨量計(jì)算提供參考，可以指導(dǎo)當(dāng)?shù)毓こ虒?shí)踐。

2 資料與方法

2.1 資 料

本文所用資料為陜西省氣象信息中心提供的省內(nèi)18個(gè)基準(zhǔn)氣象站和基本氣象臺(tái)站1984—2013年的實(shí)測暴雨資料，各氣象臺(tái)站基本情況見表1，表1中前11個(gè)站點(diǎn)位于秦嶺以北，后7個(gè)站點(diǎn)位于秦嶺以南。針對(duì)實(shí)測資料中存在的個(gè)別時(shí)段缺測問題，直接移用鄰近站點(diǎn)同年實(shí)測值進(jìn)行插補(bǔ)。

表1 分析依據(jù)站點(diǎn)基本情況Table 1 Basic information of the meteorological stations

2.2 研究方法

2.2.1 暴雨資料統(tǒng)計(jì)選樣

現(xiàn)今國內(nèi)常用的選樣方法有年最大值選樣法、超定額選樣法和年超大值選樣法?？紤]到現(xiàn)階段已有水文資料的積累已經(jīng)滿足研究需要，故采用年最大值選樣法對(duì)各歷時(shí)的暴雨資料進(jìn)行選樣，這不僅與國際上通用的暴雨資料選樣方法相符，而且與頻率及重現(xiàn)期的定義相吻合[5-6]。

2.2.2 備選頻率分布

在前人研究的基礎(chǔ)上，綜合考慮短歷時(shí)暴雨的特性和各頻率分布的彈性、適應(yīng)性等因素，選取水文統(tǒng)計(jì)上常用的皮爾遜Ⅲ型分布(Pearson Ⅲ distribution，P-Ⅲ)、廣義極值分布(Generalized Extreme Value distribution，GEV)、耿貝爾分布(Gumbel distribution，Gumbel)、正態(tài)分布(Normal distribution，N)、指數(shù)分布(Exponential distribution，EXP)和兩參數(shù)伽馬分布(Gamma distribution，Gamma)作為本次研究的備選頻率分布[7]。

2.2.3 參數(shù)估計(jì)

目前在水文統(tǒng)計(jì)上常采用的參數(shù)估計(jì)方法有矩法、極大似然法和概率權(quán)重矩法等。矩法是一種經(jīng)典的參數(shù)估計(jì)方法，其構(gòu)造估計(jì)量的原理和方法相對(duì)簡單，但其在進(jìn)行高階矩計(jì)算時(shí)會(huì)不可避免擴(kuò)大自身誤差；極大似然法是建立在極大似然原理基礎(chǔ)上的一種統(tǒng)計(jì)方法，但其似然函數(shù)與分布本身有關(guān)，構(gòu)造較為困難；Greenwood等[8]在1979年提出的概率權(quán)重矩法被認(rèn)為是一種有效的普適性很強(qiáng)的參數(shù)估計(jì)方法，在一定程度上改善了矩法和極大似然法在參數(shù)計(jì)算結(jié)果上的誤差，但是在實(shí)踐應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)該方法仍存在穩(wěn)健性和不偏性不足的問題。

Hosking[9]于1990年進(jìn)一步提出了線性矩的概念，定義次序統(tǒng)計(jì)量線性組合的期望值為線性矩，這是對(duì)概率權(quán)重矩的一種改進(jìn)。線性矩法在參數(shù)估計(jì)上表現(xiàn)出了高穩(wěn)健性和高精度的特點(diǎn)，特別是它對(duì)水文序列中的極大值和極小值遠(yuǎn)沒有常規(guī)矩那么敏感，這在一定程度上解決了短歷時(shí)暴雨量序列中存在的極大值問題。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，線性矩法只需利用序列資料進(jìn)行加減運(yùn)算，大大降低了序列本身所存在的誤差，也降低了常規(guī)矩法在計(jì)算偏態(tài)系數(shù)時(shí)利用三階矩所產(chǎn)生的誤差[10-12]。Wang[13]據(jù)此提出了針對(duì)離散序列線性矩的直接估算方法，使計(jì)算過程更為簡捷，具體計(jì)算方法為

(1)

在線性矩已知情況下，可以通過各序列的線性矩及其線性矩系數(shù)對(duì)各備選頻率分布的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，具體計(jì)算方法詳見文獻(xiàn)[14]。

2.2.4 優(yōu)選指標(biāo)

2.2.4.1 確定性系數(shù)(QD)

QD是用來描述實(shí)測值與假設(shè)分布理論值擬合程度的統(tǒng)計(jì)特征量。QD值越接近于1，證明實(shí)測數(shù)據(jù)與對(duì)應(yīng)分布的理論值線性關(guān)系越強(qiáng)，擬合程度越好。QD值計(jì)算簡便，敏感性較好，是頻率分布優(yōu)選中最常用的方法之一。其計(jì)算方法為

(2)

2.2.4.2 誤差平方和(RMSE)

RMSE即觀測值與假設(shè)分布理論值的均方根誤差，以其結(jié)果最小來判定最優(yōu)分布。RMSE對(duì)2組數(shù)據(jù)的特大或特小誤差反應(yīng)非常敏感，在頻率分布優(yōu)選中的應(yīng)用十分廣泛[15]。其計(jì)算方法為

(3)

2.2.4.3 概率點(diǎn)據(jù)相關(guān)系數(shù)r(PPCC)

PPCC是根據(jù)排序后的實(shí)測序列和經(jīng)驗(yàn)頻率推求出假設(shè)分布對(duì)應(yīng)的期望值，然后得出2組序列的相關(guān)系數(shù)r。類似于確定性系數(shù)，r值越接近1，2組序列線性關(guān)系越強(qiáng)，擬合效果越好。其計(jì)算方法為

(4)

3 實(shí)例研究

3.1 線性矩系數(shù)時(shí)空變化

對(duì)各分析站點(diǎn)采用年最大值選樣法分別選取了10，30，60，90，120 min共5個(gè)歷時(shí)的暴雨量序列，利用線性矩法估計(jì)的各暴雨量序列線性矩系數(shù)結(jié)果見表2。

各站點(diǎn)暴雨量序列的均值隨著歷時(shí)增加呈增加趨勢，但增幅逐漸下降，即暴雨強(qiáng)度隨歷時(shí)增加呈明顯降低趨勢；而在空間上，各站點(diǎn)暴雨量序列均值離散程度隨歷時(shí)增加呈遞增趨勢，通過空間插值方法繪制5個(gè)短歷時(shí)暴雨量均值等值線圖，發(fā)現(xiàn)各歷時(shí)暴雨量序列均值自西向東均存在逐漸增大趨勢，暴雨量較大區(qū)域集中在耀縣、佛坪和石泉附近，較小的區(qū)域集中在橫山、寶雞和西安附近。限于篇幅，本文僅給出90 min暴雨量序列均值等值線圖，見圖1(a)。

表2 研究區(qū)各暴雨量序列線性矩系數(shù)Table 2 Values of linear moment coefficient of each rainstorm sequence

圖1 研究區(qū)暴雨量序列線性矩系數(shù)等值線圖(歷時(shí)t=90 min) Fig.1 Contours of linear moment coefficient of rainstorm sequences(t=90 min)

各站點(diǎn)暴雨量序列線性離差系數(shù)L-Cv值在10～30 min內(nèi)隨歷時(shí)的增加呈現(xiàn)出增加趨勢；30～90 min內(nèi)有10個(gè)站點(diǎn)呈增加趨勢，5個(gè)站點(diǎn)呈減少趨勢；90～120 min時(shí)，有13個(gè)站點(diǎn)的L-Cv值呈減少趨勢，5個(gè)站點(diǎn)呈增加趨勢；從5個(gè)歷時(shí)看，有12個(gè)站點(diǎn)總體呈增加趨勢。在空間上，各站點(diǎn)暴雨量序列L-Cv值的離散程度隨歷時(shí)增加呈遞減趨勢，區(qū)域一致性增強(qiáng)；同時(shí)L-Cv等值線圖表現(xiàn)出秦嶺以北自西向東呈遞減趨勢，秦嶺以南則呈現(xiàn)出中部高、東西低的態(tài)勢，見圖1(b)。

各站點(diǎn)暴雨量序列線性偏態(tài)系數(shù)L-Cs值在10～120 min有3個(gè)站點(diǎn)呈增加趨勢，1個(gè)站點(diǎn)呈下降趨勢，4個(gè)站點(diǎn)呈先增加后降低趨勢，5個(gè)站點(diǎn)呈先減少后增加趨勢，另有5個(gè)站點(diǎn)變化趨勢不明顯，可見各站點(diǎn)暴雨量序列線性偏態(tài)系數(shù)L-Cs值隨歷時(shí)變化無統(tǒng)一趨勢。在空間上，各站點(diǎn)暴雨量序列L-Cs值的離散程度隨歷時(shí)增加呈遞減趨勢，區(qū)域一致性增強(qiáng)；同時(shí)L-Cs等值線圖反映出秦嶺以北自西向東呈遞減趨勢，秦嶺以南則呈現(xiàn)出中部高、東西低的態(tài)勢，與L-Cv值趨勢一致,見圖1(c)。

3.2 頻率分布優(yōu)選

通過暴雨量序列的線性矩和線性矩系數(shù)計(jì)算各備選頻率分布的參數(shù)。分別采用QD,RMSE和r為指標(biāo)對(duì)各暴雨量序列的最優(yōu)頻率分布進(jìn)行選取。對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，3種優(yōu)選指標(biāo)在最優(yōu)頻率分布的選擇結(jié)果上完全一致，進(jìn)一步證明了優(yōu)選結(jié)果的可靠性。不同歷時(shí)暴雨量序列中，各備選頻率分布為最優(yōu)分布的占比如表3所示。

表3 研究區(qū)各歷時(shí)暴雨量序列最優(yōu)頻率分布統(tǒng)計(jì)Table 3 Statistics of optimal frequency distribution ofrainstorm sequences of different durations

由表3可知，在10 min的序列中，最優(yōu)分布為P-Ⅲ分布的序列占總序列組數(shù)的61.1%，GEV分布占27.8%，Gamma分布占11.1%；在30 min的序列中，最優(yōu)分布為P-Ⅲ分布的序列占總序列組數(shù)的72.2%，GEV分布占5.6%，Gamma分布占22.2%；在60 min樣本中，最優(yōu)分布為P-Ⅲ分布的序列占總序列組數(shù)的94.4%，GEV分布占5.6%；90 min和120 min的序列中，最優(yōu)分布為P-Ⅲ分布的序列占總序列組數(shù)的88.8%，GEV和Gamma分布各占5.6%。隨著歷時(shí)的增加，最優(yōu)分布為P-Ⅲ分布的比重逐漸增加。對(duì)全部歷時(shí)序列而言，最優(yōu)分布為P-Ⅲ分布的序列占總序列組數(shù)的81.1%， GEV分布占10%，Gamma分布占8.9%。

在優(yōu)選指標(biāo)的基礎(chǔ)上，結(jié)合計(jì)算暴雨量和實(shí)測暴雨量相關(guān)圖，可以更形象地反映各備選頻率分布擬合情況。如圖2所示，各備頻率選分布中整體擬合效果最優(yōu)的為P-Ⅲ分布；Gamma分布的擬合效果僅次于前者的擬合效果，且2種分布擬合效果相差不大；相對(duì)于前2種分布，GEV和N分布的整體擬合效果有明顯劣勢；Gumbel和EXP分布的整體擬合效果最差，二者計(jì)算暴雨量均要低于實(shí)測值，特別是Gumbel分布的計(jì)算值中出現(xiàn)了大量負(fù)值，有悖暴雨的物理機(jī)制，不能予以采用。

圖2 實(shí)測暴雨量與各備選分布計(jì)算暴雨量相關(guān)圖Fig.2 Correlation between measured rainfalland calculated rainfall of alternative distributions

在研究中發(fā)現(xiàn)，部分以P-Ⅲ分布為最優(yōu)頻率分布的序列中會(huì)出現(xiàn)其位置參數(shù)a0為負(fù)數(shù)的情況，這與暴雨的物理機(jī)制不相符，但這些序列的第二優(yōu)勢分布均為Gamma分布。在學(xué)術(shù)和工程實(shí)踐中如果遇到上述情況，通常采用的方法是將其位置參數(shù)a0認(rèn)定為0，并采用兩參數(shù)的Gamma分布作為該序列的最優(yōu)頻率分布。Gamma分布可以看作是位置參數(shù)為0的特殊的P-Ⅲ分布，二者在概率密度函數(shù)上基本一致，屬于一類分布。如表4所示，以P-Ⅲ分布(包含Gamma分布)為最優(yōu)分布的序列為81組，占到總序列組數(shù)的90.0%，且通過比較發(fā)現(xiàn)以GEV分布為最優(yōu)分布的序列中，P-Ⅲ或Gamma分布的擬合效果與GEV分布的擬合效果相差甚微。綜上考慮，認(rèn)定P-Ⅲ分布(Gamma分布)為研究區(qū)短歷時(shí)暴雨的理論頻率分布。

表4 各站點(diǎn)暴雨量序列最優(yōu)頻率分布統(tǒng)計(jì)Table 4 Statistics of optimal frequency distribution forrainstorm sequence at each station

注：P-Ⅲ(Gam)對(duì)應(yīng)序列的最優(yōu)頻率分布為P-Ⅲ分布(位置參數(shù)為負(fù))，第二優(yōu)勢分布為Gamma分布

4 結(jié) 論

(1)研究區(qū)各站點(diǎn)暴雨量序列期望隨歷時(shí)增加呈增長趨勢，但其增幅逐漸降低；暴雨強(qiáng)度隨歷時(shí)下降明顯，但下降幅度逐漸降低；同歷時(shí)各站點(diǎn)暴雨量序列均值和平均暴雨強(qiáng)度自西向東均呈逐漸增加趨勢。

(2)研究區(qū)18個(gè)分析站點(diǎn)中有12個(gè)站點(diǎn)的暴雨量序列線性離差系數(shù)L-Cv隨歷時(shí)增加整體呈增長趨勢，但增幅逐漸降低；各站點(diǎn)暴雨量序列L-Cv離散程度隨歷時(shí)增加不斷減小，區(qū)域一致性增強(qiáng)；秦嶺以北L-Cv值自西向東呈遞減趨勢，秦嶺以南L-Cv值則呈現(xiàn)出中部高、東西低的態(tài)勢。

(3)研究區(qū)各站點(diǎn)暴雨量序列線性偏態(tài)系數(shù)L-Cs值隨歷時(shí)變化無統(tǒng)一趨勢；各站點(diǎn)暴雨量序列L-Cs的離散程度隨歷時(shí)增加不斷減小，區(qū)域一致性增強(qiáng)；秦嶺以北L-Cs值自西向東呈遞減趨勢，秦嶺以南L-Cs值則呈現(xiàn)出中部高、東西低的態(tài)勢，與L-Cv值趨勢一致。

(4)以P-Ⅲ分布(包含Gamma分布)為最優(yōu)分布的暴雨量序列為81組，占總序列組數(shù)的90.0%，可作為研究區(qū)短歷時(shí)暴雨的理論頻率分布。