“以學(xué)生為中心”原則下的復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)設(shè)計(jì)的若干思考

王凡 孔倩 張新華

摘 要：復(fù)變函數(shù)與積分變換課程是理工科的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，在學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)其他工科課程中發(fā)揮著極其重要的作用。鑒于這門課程的理論復(fù)雜性，傳統(tǒng)的教學(xué)模式往往受學(xué)時(shí)的限制，教學(xué)效果并不理想，因此為提高教學(xué)效果，本文提出以學(xué)生為中心的原則下課程教學(xué)設(shè)計(jì)的若干思考，即在倡導(dǎo)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的新形勢(shì)下如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心以及提升他們的學(xué)習(xí)能力。近幾年的教學(xué)實(shí)踐表明，這些方法對(duì)提高這門課程的教學(xué)效果行之有效，受到學(xué)生們的普遍歡迎。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)與積分變換;教學(xué)設(shè)計(jì);對(duì)分課堂;Matlab仿真;學(xué)習(xí)通軟件

眾所周知，復(fù)變函數(shù)與積分變換是理工科各專業(yè)的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它是學(xué)生學(xué)習(xí)農(nóng)業(yè)機(jī)械化、力學(xué)、自動(dòng)控制理論、電子技術(shù)、自動(dòng)化、信號(hào)處理等諸多課程的先修課，也是解決實(shí)際工程問(wèn)題的有力數(shù)學(xué)工具。然而，由于這門課是建立在高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析課程的基礎(chǔ)之上，其數(shù)學(xué)公式繁多，理論性較強(qiáng)，因此對(duì)初學(xué)者而言，它的內(nèi)容顯得難度很大，學(xué)生學(xué)習(xí)的效果往往不容樂(lè)觀。

鑒于工科學(xué)生學(xué)好這門課程的重要性，我們做了一些新的嘗試，開展了多樣化的線上教學(xué)模式，并將其與傳統(tǒng)的教學(xué)模式相結(jié)合，充分發(fā)揮線上模塊化教學(xué)與線下集中授課的優(yōu)點(diǎn)，取長(zhǎng)補(bǔ)短。既解決了學(xué)時(shí)的限制，又拓寬了知識(shí)面，也加深了一部分內(nèi)容的難度和深度，以適應(yīng)不同專業(yè)對(duì)該門課程的不同需求。本文是根據(jù)多年來(lái)這門課的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，堅(jiān)持“以學(xué)生為中心”原則，總結(jié)若干切實(shí)可行的新型教學(xué)方法，期待與同行專家學(xué)者學(xué)習(xí)交流。

一、注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

本科階段三門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)及概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，雖然讓學(xué)生學(xué)習(xí)到了豐富的大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，但由于它們的抽象性與計(jì)算復(fù)雜性，學(xué)生學(xué)習(xí)效果也是良莠不齊?？紤]到它們是考研科目，學(xué)生還是會(huì)全力以赴去學(xué)好這些課程。然而，復(fù)變函數(shù)與積分變換不是工科學(xué)生的考研科目，加上它的理論復(fù)雜性，學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力明顯不足，這樣在平時(shí)教學(xué)中，學(xué)生比較容易懈怠，集中上課的效果不容樂(lè)觀，作業(yè)完成的質(zhì)量往往不高。

以上這些是當(dāng)前學(xué)生學(xué)習(xí)這門課的普遍現(xiàn)象，作為教師，我們需要重視并改變它。為了讓課堂的氣氛活躍起來(lái)，我們以PPT課件和錄制小視頻的形式給同學(xué)們介紹與這門課知識(shí)點(diǎn)有關(guān)的有趣故事。例如在講復(fù)數(shù)的起源時(shí)，可先通過(guò)PPT課件介紹在復(fù)數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程中，那些著名的數(shù)學(xué)家的故事，了解其人，知道其對(duì)復(fù)變函數(shù)作出的偉大貢獻(xiàn)，包括偉大的數(shù)學(xué)家歐拉，柯西，魏爾斯特拉斯，黎曼等等。簡(jiǎn)要了解數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)習(xí)這門課程很有幫助。比如讓同學(xué)們了解歐拉是如何利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)，得到歐拉公式的，而后人又是如何利用三角函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式給出其嚴(yán)格證明方法，歐拉本身的生平事跡十分勵(lì)志，特別對(duì)于處于信息嚴(yán)重爆炸的今天的學(xué)生，會(huì)有很強(qiáng)的震撼作用，學(xué)生也必然會(huì)被歐拉論文成果多產(chǎn)與毅力堅(jiān)強(qiáng)所吸引。

當(dāng)學(xué)生不再感覺(jué)這門課程只是晦澀難懂的時(shí)候，我們提出一些有趣的問(wèn)題。比如，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)在高等數(shù)學(xué)里有界，它們?cè)趶?fù)變函數(shù)是否仍然有界？復(fù)變函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)如何定義？指數(shù)函數(shù)又為什么會(huì)具有周期性呢？對(duì)數(shù)函數(shù)為什么會(huì)是多值的？這些與高數(shù)截然不同的結(jié)論，必然激發(fā)他們學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的極大興趣，于是我們?cè)俟膭?lì)學(xué)生課余時(shí)間在復(fù)變函數(shù)與積分變換教材中尋找答案，讓他們以行動(dòng)自覺(jué)地學(xué)習(xí)這門課程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

另外，我們也會(huì)利用數(shù)學(xué)軟件Matlab仿真來(lái)處理一些理論性強(qiáng)的概念如級(jí)數(shù)、留數(shù)、傅里葉變換及拉普拉斯變換等，鼓勵(lì)學(xué)生課余時(shí)間也來(lái)利用這軟件做一些仿真練習(xí)，這些形象的教學(xué)手段有助于學(xué)生加強(qiáng)對(duì)復(fù)雜公式、概念等的理解與認(rèn)識(shí)。由此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們感受到我們教師這么做就是為了讓他們學(xué)習(xí)這門課充滿樂(lè)趣，而不是只有枯燥與困惑。

二、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)這門課的信心

多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，切不可在課堂上一味地講授復(fù)變函數(shù)與積分變換的知識(shí)點(diǎn)。雖然這門課是建立在高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析之上，但很多學(xué)生已經(jīng)忘記甚至記錯(cuò)高等數(shù)學(xué)中的概念、定義、定理等，甚至搞錯(cuò)解題方法。因此，我們?cè)谙麓沃v授新課前，會(huì)提醒學(xué)生我們將要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容，這些內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)里哪些內(nèi)容相似或有關(guān)，鼓勵(lì)同學(xué)們課余時(shí)間復(fù)習(xí)相關(guān)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)預(yù)習(xí)這門課的新知識(shí)點(diǎn)。例如，復(fù)變函數(shù)與積分變換課程中的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、級(jí)數(shù)及其斂散性的判別等，在高等數(shù)學(xué)中也有此類定義。

我們采用的這種類比的教學(xué)方法可以很好地培養(yǎng)學(xué)生自發(fā)學(xué)習(xí)與查資料的學(xué)習(xí)習(xí)慣。當(dāng)他們走進(jìn)課堂學(xué)習(xí)新知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，信心滿滿;當(dāng)我們事先設(shè)計(jì)好問(wèn)題，在課堂提問(wèn)的時(shí)候，他們也會(huì)搶著回答。我們的課堂教學(xué)形成了很好的互動(dòng)氛圍，讓學(xué)生感受到他們就是課堂教學(xué)的積極參與者，課堂是他們展現(xiàn)自我才華的舞臺(tái)。

三、最大可能地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力

當(dāng)同學(xué)們對(duì)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的學(xué)習(xí)充滿興趣與信心的時(shí)候，作為這門課的教師，我們思考著如何趁熱打鐵，最大可能地提升他們的理解能力、計(jì)算能力及表達(dá)能力。具體而言，我們采用對(duì)分課堂教學(xué)模式。這種教學(xué)模式最早是復(fù)旦大學(xué)張學(xué)新教授提出的，它起初主要應(yīng)用于人數(shù)少的文科課程教學(xué)。我們采用分組的方法，布置學(xué)習(xí)任務(wù)給每個(gè)小組，再結(jié)合超星學(xué)習(xí)通的線上教學(xué)平臺(tái)，也取得了較好的效果。我們的具體做法是，將全班分成若干小組，選擇各章的部分小節(jié)內(nèi)容作為他們的自學(xué)內(nèi)容，小組內(nèi)部互相交流，確定學(xué)生代表，利用課堂教學(xué)的部分時(shí)間，采用板書或者PPT的形式給全班師生講解，然后全班討論，最后我們授課教師總結(jié)與點(diǎn)評(píng)。

例如，我們講授復(fù)變函數(shù)的概念與極限，先請(qǐng)學(xué)生代表講解復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性，然后請(qǐng)其他小組同學(xué)討論該學(xué)生代表講課的優(yōu)點(diǎn)與不足，最后授課教師點(diǎn)評(píng)。我們講函數(shù)解析的充分必要條件，先安排小組同學(xué)講初等函數(shù)并舉例，大家再討論，最后我們加以總結(jié)。在時(shí)間上，我們一般安排學(xué)生講課15分鐘，大家討論5分鐘，教師點(diǎn)評(píng)與總結(jié)25分鐘。這樣，學(xué)生將有20分鐘課堂時(shí)間展現(xiàn)自我風(fēng)采，鍛煉自己的理解能力與表達(dá)能力。這對(duì)于學(xué)生也是一種很必要的鍛煉，離開座位，走上講臺(tái)，當(dāng)一次“老師”，體會(huì)自己學(xué)會(huì)和通過(guò)自己的講解讓別人學(xué)會(huì)的區(qū)別，也是學(xué)生展現(xiàn)自己的一次難得機(jī)會(huì)。

這樣做的確會(huì)占用一部分課堂教學(xué)時(shí)間，教學(xué)大綱中的教學(xué)任務(wù)如何有效完成呢？我們充分利用超星學(xué)習(xí)通線上教學(xué)平臺(tái)，將每次上課的內(nèi)容、課件及相關(guān)資料放在平臺(tái)上，供學(xué)生隨時(shí)查閱。承擔(dān)復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)的所有教師均可提前錄制相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的視頻，放在學(xué)習(xí)通的資料庫(kù)里，根據(jù)每個(gè)班級(jí)的教學(xué)進(jìn)度按時(shí)發(fā)放。這樣一方面可以彌補(bǔ)課堂教學(xué)時(shí)間的不足，另一方面對(duì)于學(xué)生在課下預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)時(shí)，可以反復(fù)觀看教學(xué)視頻，也可以結(jié)合自己的實(shí)際理解情況，選擇跳過(guò)某部分視頻，直接進(jìn)行下一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。這種自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容的方式受到同學(xué)們的普遍歡迎，既照顧學(xué)習(xí)能力比較強(qiáng)的學(xué)生，節(jié)約了時(shí)間，又可以照顧到接受能力相對(duì)薄弱的學(xué)生，通過(guò)反復(fù)觀看理解，有疑問(wèn)隨時(shí)在平臺(tái)上提出，老師不再局限于地點(diǎn)的選擇，隨時(shí)隨地可以解答疑問(wèn)。

每章結(jié)束以后會(huì)進(jìn)行線上測(cè)試，分為系統(tǒng)自評(píng)和學(xué)生互評(píng)兩種。系統(tǒng)自評(píng)以客觀題為主，在題庫(kù)里隨機(jī)選擇相關(guān)題目，學(xué)生可多次作答，取最高分?jǐn)?shù)計(jì)入該次成績(jī)。系統(tǒng)可以統(tǒng)計(jì)出每題的正確率，授課教師可參考統(tǒng)計(jì)結(jié)果決定是否在課堂上統(tǒng)一講解該題目。這樣可以很好地彌補(bǔ)課時(shí)量不足的局限。教師也可以根據(jù)測(cè)試結(jié)果和每次的作業(yè)報(bào)告及時(shí)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，從而在后面的教學(xué)中及時(shí)查缺補(bǔ)漏。

下圖是部分作業(yè)的發(fā)放和統(tǒng)計(jì)情況。

對(duì)于成績(jī)方面，我們將學(xué)生的出勤、講課質(zhì)量、線上線下作業(yè)的完成情況作為平時(shí)成績(jī)考核的重要依據(jù)，適當(dāng)降低期末考試成績(jī)所占的比重，這樣更好地激發(fā)了同學(xué)們的學(xué)習(xí)自覺(jué)性?？傊覀兯龅囊磺卸际侵荚谝詫W(xué)生為中心，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的興趣，培養(yǎng)他們敢于挑戰(zhàn)這門理論性強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)勇氣，進(jìn)而最大可能性提升他們的理解能力、計(jì)算能力及表達(dá)能力。這樣，他們將努力學(xué)好這門課，為其他后續(xù)理工科的應(yīng)用類課程打好基礎(chǔ)。教學(xué)相長(zhǎng)，這也提高了我們教師的業(yè)務(wù)水平與專業(yè)素養(yǎng)。

致謝：作者感謝南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院教改項(xiàng)目《復(fù)變函數(shù)與積分變量》混合式教學(xué)探索與實(shí)踐（No.2019GQ0502）的資助，也感謝編輯和審稿專家的寶貴建議。

參考文獻(xiàn)：

[1]周立芳，盧金.復(fù)變函數(shù)的課堂教學(xué)研究[J].湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，40（12）：41-44.

[2]楊慧賢.創(chuàng)新能力要求下復(fù)變函數(shù)積分教學(xué)改革思考[J].高教視野，2019，（21）：25.

[3]李志艷.復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2019，（10）：19.

[4]劉春媛.復(fù)變函數(shù)與積分變換應(yīng)用型課程教學(xué)模式改革與探索[J].課程教育研究，2018，（52）：103.

[5]張瓊芬，李海權(quán)，石凱.工科類專業(yè)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)改革探索[J].高教學(xué)刊，2018，（23）：120-126.

[6]凌浩，郝小健.淺談復(fù)變函數(shù)課程之于應(yīng)用型本科人才培養(yǎng)[J].教育現(xiàn)代化，2019，（93）：13-14.

[7]王洪濤.讓“微課程”走進(jìn)課堂[J].教育教學(xué)論壇，2018，（44）：119-120.

[8]王波，于躍.自動(dòng)化專業(yè)復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)方法淺析[J].教育教學(xué)論壇，2020，（02）：252-253.

基金項(xiàng)目：南京農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院教改項(xiàng)目《復(fù)變函數(shù)與積分變量》混合式教學(xué)探索與實(shí)踐（No.2019GQ0502）

作者簡(jiǎn)介：王凡（1980— ），女，漢族，安徽宿州人，碩士，講師，研究方向：微分幾何。