微專題：起于高考，落于素養(yǎng)
——以“兩數(shù)列公共項(xiàng)問(wèn)題”為例

朱 偉 (江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué) 215101)

傳統(tǒng)高三二輪復(fù)習(xí)以知識(shí)塊、思想方法等分類進(jìn)行，但實(shí)踐發(fā)現(xiàn)其存在大量重復(fù)一輪內(nèi)容、考點(diǎn)精準(zhǔn)度不足、思維深度不夠等弊端，故目前比較盛行與微專題復(fù)習(xí)結(jié)合的方式．微專題因內(nèi)容直指高考，且體量小、精準(zhǔn)度高、容易講透而被一線教師高度認(rèn)可．本文結(jié)合一節(jié)高三微專題課的教學(xué)片斷，談?wù)剬?duì)微專題教學(xué)的一些思考．

1 教學(xué)片斷

數(shù)列作為選擇性必修課程中函數(shù)主題的重要內(nèi)容，要求“能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系、等比關(guān)系”；在高考中承載數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)的考查，屬于高頻考點(diǎn)．注意到人教A版選擇性必修二習(xí)題4.2綜合運(yùn)用第8題是兩個(gè)等差數(shù)列公共項(xiàng)新構(gòu)數(shù)列求和問(wèn)題，與2020年山東卷第14題高度吻合，公共項(xiàng)新構(gòu)數(shù)列相關(guān)知識(shí)與技能、思想與方法在前面的新授課和一輪復(fù)習(xí)中未涉及或并未形成體系，故針對(duì)該新情況編制“兩數(shù)列公共項(xiàng)問(wèn)題”微專題．

例1(2020年山東卷第14題)將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為．

師：請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)說(shuō)你會(huì)如何求解？

生1：寫(xiě)幾個(gè)找規(guī)律！數(shù)列{2n-1}的項(xiàng)依次是1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,…;數(shù)列{3n-2}的項(xiàng)依次是1,4,7,10,13,16,19,….它們公共項(xiàng)從小到大排列得到的新數(shù)列{an}的項(xiàng)依次是1,7,13,19,…,即是以1為首項(xiàng)、6為公差的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為3n2-2n．

師：這位同學(xué)使用不完全歸納法，從特殊到一般，尋找新數(shù)列中項(xiàng)的變化規(guī)律，獲得新數(shù)列為等差數(shù)列再求和．從策略角度看，這是研究數(shù)列問(wèn)題，特別是選擇題、填空題的不錯(cuò)方法．

生2：我發(fā)現(xiàn)數(shù)列{2n-1}與{3n-2}公差的最小公倍數(shù)6就是新數(shù)列的公差，且首項(xiàng)為1，此時(shí)問(wèn)題可解．

師：你如何說(shuō)明“兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)6就是新數(shù)列的公差”呢？

生2：當(dāng)確定首項(xiàng)為1后，1+6=2×4-1且1+6=3×3-2，說(shuō)明7是公共項(xiàng)．一般地,1+6k=2×(3k+1)-1且1+6k=3×(2k+1)-2，說(shuō)明1+6k是公共項(xiàng)．

師：非常棒！從兩個(gè)等差數(shù)列的公差入手，發(fā)現(xiàn)新數(shù)列是等差數(shù)列，并且最小步長(zhǎng)為兩公差的最小公倍數(shù)，利用驗(yàn)項(xiàng)的方式論證發(fā)現(xiàn)．

師：還有其他解法嗎？(沒(méi)有學(xué)生發(fā)言)那我們來(lái)練習(xí)一題．

練習(xí)將數(shù)列{2n-1}與{5n-1}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的通項(xiàng)公式是．

生3：新數(shù)列{an}首項(xiàng)為9，公差為10，所以an=10n-1．

師：不錯(cuò)！使用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可秒殺此題！那你能將這類問(wèn)題一般化嗎？

生3：由數(shù)列{d1n-t1}與{d2n-t2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，若首項(xiàng)為a1，且d1,d2的最小公倍數(shù)為d，則通項(xiàng)公式an=a1+d(n-1)．

師：感謝這位同學(xué)建立了兩個(gè)等差數(shù)列公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列的數(shù)學(xué)模型．也就是利用逐個(gè)比較的辦法找出首項(xiàng)，然后計(jì)算兩公差的最小公倍數(shù)即可．

設(shè)計(jì)意圖目前，山東卷是課改地區(qū)的風(fēng)向標(biāo)，從形式到內(nèi)容都被深入研究，以便能有效地指導(dǎo)教學(xué)．公共項(xiàng)問(wèn)題屬于重組數(shù)列范疇，它考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力、數(shù)學(xué)建模能力以及探究論證能力．以高考原題為引，輔以變式實(shí)踐，與學(xué)生共同探究發(fā)現(xiàn)并反思總結(jié)此類問(wèn)題的一般策略，建立兩個(gè)等差數(shù)列公共項(xiàng)從小到大排列的新構(gòu)數(shù)列通項(xiàng)模型，實(shí)現(xiàn)由特殊到一般的思維轉(zhuǎn)化．

變式1 將數(shù)列{4n+3}與{3n}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，求{an}的通項(xiàng)公式．

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的解法?

生4：我通過(guò)檢驗(yàn){3n}中的項(xiàng)3,32,33,34,35,36,37是否在數(shù)列{4n+3}中，發(fā)現(xiàn)33,35,37在數(shù)列{4n+3}中，所以an=32n+1．

師：他的解法正確嗎？

生：答案是正確的，但是過(guò)程不妥！

師：這位同學(xué)，你來(lái)說(shuō)說(shuō)，哪里不妥？怎么修正？

生5：這是不完全歸納，雖然答案是正確了，但不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃阕C，不可成為簡(jiǎn)答題的過(guò)程．其實(shí)，設(shè)bn=3n，我們只需要在找出首項(xiàng)a1=b3=33后，假設(shè)bk=3k是數(shù)列{4n+3}中的第t項(xiàng)，即3k=4t+3，因?yàn)閎k+1=3k+1=3×3k=3(4t+3)=4(3t+2)+1，故bk+1不是數(shù)列{4n+3}中的項(xiàng)；因?yàn)閎k+2=3k+2=9×3k=9(4t+3)=4(9t+6)+3，故bk+2是數(shù)列{4n+3}中的項(xiàng)；即有a1=b3,a2=b5,…,an=b2n+1,…所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=32n+1(n∈N*)．

師：非常棒！從指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)的等比數(shù)列入手，一般性地驗(yàn)證另一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)是否為公共項(xiàng)而獲得求解．可以看做是處理以上兩類數(shù)列中公共項(xiàng)新構(gòu)數(shù)列通項(xiàng)的一般方法．

設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)是思維教學(xué)．解決問(wèn)題的思維與方法，不該是一題之法，至少應(yīng)是一類之法，乃至于數(shù)學(xué)之通法．從兩個(gè)等差數(shù)列到一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列公共項(xiàng)重組，延續(xù)的是思維，創(chuàng)新的是方法，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中暴露不足，即時(shí)修正，使之前探求通項(xiàng)的模型得以驗(yàn)證與拓展，使其更具一般性，這也是本專題設(shè)計(jì)的初衷．

變式2 將數(shù)列{2n-1}與{n2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，求{an}的通項(xiàng)公式．

生6：設(shè)bn=n2，找出首項(xiàng)a1=b1=1后，假設(shè)bk=k2是數(shù)列{2n-1}中的第t項(xiàng)，即k2=2t-1，然后我就不知道如何處理了．

師：你認(rèn)為不能繼續(xù)的原因在哪里呢?

生6：bk+1=(k+1)2不知道如何用t表示，似乎剛才的遞推方式不適用了．

師：矛盾點(diǎn)已經(jīng)被你找到了，那么劇情的發(fā)展就需要想辦法消除這個(gè)難點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們討論一下.

生7：參考整數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)處理方法，我關(guān)注到2t-1是奇數(shù)且奇數(shù)的平方仍然是奇數(shù)，說(shuō)明當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)等式成立.故可設(shè)k=2m-1，m∈N*，所以(2m-1)2=2t-1，可得t=2m2-2m+1為整數(shù)，即am=b2m-1=(2m-1)2是兩數(shù)列的公共項(xiàng)，整理可得an=(2n-1)2．

師：遇到新的難題，就想一個(gè)類似或相近問(wèn)題的解決策略進(jìn)行嘗試，這是波利亞的解題思維.我們這位同學(xué)像數(shù)學(xué)家一樣在思考問(wèn)題，真了不起！

設(shè)計(jì)意圖高三復(fù)習(xí)時(shí)間短、任務(wù)重，重復(fù)訓(xùn)練無(wú)法提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力，只會(huì)使學(xué)生誤入“題?！?、徒增負(fù)擔(dān)．通過(guò)有效變式不斷深化問(wèn)題，依托數(shù)學(xué)思維創(chuàng)新解決之道，方能提效增能，助力關(guān)鍵能力的提升．變式2屬于較難的題，明顯有別于“已解決過(guò)的問(wèn)題”，可考慮如何使用“相近問(wèn)題的處理方法”來(lái)分析，在過(guò)程中去異存同，綜合使用相關(guān)知識(shí)解決遇到的棘手問(wèn)題，使微專題從題型解法升華到思維運(yùn)用．

2 反思感悟

2.1 理順教考關(guān)系，增強(qiáng)“以考促學(xué)”的主動(dòng)意識(shí)

“引導(dǎo)教學(xué)”是高考核心功能之一，即高考內(nèi)容所體現(xiàn)的“為什么考、怎么考、考什么”，在研究考查載體之后應(yīng)及時(shí)在后續(xù)的教學(xué)活動(dòng)得以體現(xiàn)與落實(shí)．如研究高考試卷，梳理考點(diǎn)，分析高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中可承載的相應(yīng)知識(shí)，在復(fù)習(xí)課中剖析使其知所以然，并與相關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系，舉一反三有效拓展等．課例選材中把數(shù)列作為培育學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng)的知識(shí)載體，公共項(xiàng)問(wèn)題恰能融合這些素養(yǎng)發(fā)展需求，突出數(shù)列概念和等差、等比數(shù)列的運(yùn)算思想，通過(guò)數(shù)列類型的變化增加問(wèn)題難度，使學(xué)生經(jīng)歷從感性到理性、從特殊到一般以及不同題型在解題策略上的異同，使整節(jié)課起于高考，卻又高于高考．

2.2 落實(shí)“四基”，提升核心素養(yǎng)

“教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能，感悟數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的不斷提升”是《課標(biāo)(2017年版)》提到的教學(xué)建議,掌握“四基”是培養(yǎng)“關(guān)鍵能力”的基礎(chǔ)，亦是高效教學(xué)、學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的保障．另一方面，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成并非朝夕之功，而是需要在課堂教學(xué)中不斷成長(zhǎng)．誠(chéng)然，在高三復(fù)習(xí)課中如何“淺入深處，回歸數(shù)學(xué)本真”至關(guān)重要．正如本課例選題簡(jiǎn)潔，涉及數(shù)列概念與基本量運(yùn)算這兩個(gè)基本知識(shí)與技能，經(jīng)歷從具體到抽象建立數(shù)學(xué)模型、從分析差異到成功類比、從小組討論到創(chuàng)新應(yīng)用，教師重思維引導(dǎo)，有效培養(yǎng)學(xué)生相關(guān)能力與素養(yǎng)，使整節(jié)課在思維的激蕩中落于素養(yǎng).

2.3 尊重學(xué)情，實(shí)施因材施教策略

學(xué)情考慮有二：一是皮亞杰思維發(fā)展階段理論下高中學(xué)生已經(jīng)跨越“形式運(yùn)演階段”，進(jìn)入抽象獲取，通過(guò)較抽象問(wèn)題或較復(fù)雜問(wèn)題的解決提取相關(guān)數(shù)學(xué)模型，增加抽象思維訓(xùn)練是階段突破的需求，符合現(xiàn)階段大部分學(xué)生的思維形式；二是鑒于個(gè)體智力與思維發(fā)展水平的不同，以及知識(shí)架構(gòu)、數(shù)學(xué)知識(shí)與技能使用熟練程度差異，“一步到位、深入深出”式的課堂教學(xué)勢(shì)必會(huì)使相當(dāng)一部分學(xué)生難以接受，進(jìn)而失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．故整體分析執(zhí)教班級(jí)情況，選擇恰當(dāng)?shù)睦}，經(jīng)歷適度的思維訓(xùn)練，達(dá)到預(yù)設(shè)目標(biāo)，實(shí)施因材施教策略，正是遵循課堂教學(xué)客觀規(guī)律的重要舉措．如本課例中，教師在選題上并沒(méi)有追求復(fù)雜、抽象，而是選擇了在高考中被定義為“基礎(chǔ)題”的試題，解法上也具備多樣化，即可使不同層次的學(xué)生從不同的角度，選取不同的策略進(jìn)行解答，進(jìn)而通過(guò)練習(xí)鞏固，變式拓展深化，由表及里、由淺入深地提升學(xué)生思維水平．

編者按：為密切編輯部與中學(xué)的聯(lián)系，本刊編委第23次“走進(jìn)課堂”，于2020年11月10日赴江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)聽(tīng)課交流．太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)前身為世界著名實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家吳健雄之父吳仲裔先生在1913年創(chuàng)辦的明德女子職業(yè)補(bǔ)習(xí)學(xué)校．校名源自《大學(xué)》中“大學(xué)之道，在明明德，在親民，在止于至善”．2010年8月，學(xué)校和原太倉(cāng)市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)整合，校名為太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué)．2017年5月學(xué)校晉升為江蘇省四星級(jí)普通高中．學(xué)校陸續(xù)獲得“江蘇省文明單位”“國(guó)際生態(tài)學(xué)校綠旗單位”“江蘇省科普教育基地”等榮譽(yù)稱號(hào)．學(xué)校是東南大學(xué)、上海財(cái)經(jīng)大學(xué)、上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)等國(guó)內(nèi)著名大學(xué)的優(yōu)秀生源基地．學(xué)校堅(jiān)持“明德為先、文化立校、和諧發(fā)展”的辦學(xué)理念，遵循“大學(xué)之道，在明明德”的校訓(xùn)，弘揚(yáng)“愛(ài)國(guó)、求是、創(chuàng)新、至善”的吳健雄精神，切實(shí)轉(zhuǎn)變教育觀念和管理理念，努力構(gòu)建多樣化課程體系和多元育人模式，著力培養(yǎng)富有個(gè)性的創(chuàng)新人才．