“隱圓問題處理方法研究”的教學(xué)實(shí)錄與反思*

(江蘇省句容高級(jí)中學(xué) 212400)

在2020屆高三進(jìn)入二輪復(fù)習(xí)階段后，為有效提升復(fù)習(xí)的針對(duì)性，句容市教師發(fā)展中心召開了以“聚焦微專題，強(qiáng)化關(guān)鍵能力”為主題的高三二輪復(fù)習(xí)研討會(huì).筆者應(yīng)邀開設(shè)了一節(jié)公開課“隱圓問題處理方法研究”.現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)過程、設(shè)計(jì)意圖、課后反思擇片段整理成文，不妥之處請(qǐng)各位批評(píng)指正.

1 學(xué)情分析

本次教學(xué)對(duì)象是四星級(jí)高中的高三物化班學(xué)生.學(xué)生具備較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，但學(xué)生平時(shí)疏于對(duì)知識(shí)的歸類整理，不屑于對(duì)問題追根溯源，更喜歡挑戰(zhàn)難度大的壓軸題.一輪復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，學(xué)生僅在綜合練習(xí)時(shí)零星地遇到過隱圓，沒有形成系統(tǒng)的知識(shí)體系，故而二輪復(fù)習(xí)時(shí)，筆者通過微專題的形式，從學(xué)生知識(shí)發(fā)展的認(rèn)知起點(diǎn)和思維發(fā)展的生長點(diǎn)出發(fā)，將該知識(shí)點(diǎn)形成體系，以幫助學(xué)生形成解決一類問題的研究方法.

2 考點(diǎn)解讀

縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，隱圓既是考查的熱點(diǎn)又是考查的難點(diǎn)，常以壓軸填空題或解答題的形式出現(xiàn)，與直線相結(jié)合考查直線與圓的位置關(guān)系，與三角形相結(jié)合考查解析法思想等，尤其是阿波羅尼斯圓，?？汲Ｐ?隱圓的相關(guān)問題實(shí)質(zhì)是解析法在處理平面圖形問題中的應(yīng)用，曲線與方程相互轉(zhuǎn)化，幾何直觀與代數(shù)推理相結(jié)合.這些不僅需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合能力，還需要學(xué)生具有良好的數(shù)學(xué)直覺思維能力，以及較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力.

教學(xué)目標(biāo) (1)通過對(duì)前置作業(yè)一般化和學(xué)生一起歸納總結(jié)出圓的5種常見的形式化定義，完善知識(shí)方法體系，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)直覺思維能力；(2)通過例1的形異質(zhì)同題的一題多解、多題一解，例2及變式的題同質(zhì)異，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維能力和提升學(xué)生通過現(xiàn)象能夠發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)的能力；(3)通過隱圓這個(gè)小的切口，幫助學(xué)生形成解決一類問題的研究方法，積累研究方法的經(jīng)驗(yàn).

教學(xué)重點(diǎn) 歸納總結(jié)出圓的5種常見的形式化定義及其幾何特征與代數(shù)表達(dá)相互轉(zhuǎn)化.

教學(xué)難點(diǎn) 圓的5種常見的形式化定義的幾何特征與代數(shù)表達(dá)相互轉(zhuǎn)化.

3 教學(xué)實(shí)錄

3.1 教學(xué)片段1——剖析前置作業(yè)，追根溯源

題1(蘇教版選修2-1第63頁例1改編)已知A,B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=4，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

生1：設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由題意知OM=2，得到點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2=4.

師：點(diǎn)M的軌跡是圓，請(qǐng)給出這個(gè)圓的定義.

生1：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.

師：大家認(rèn)可她的看法嗎？有什么前提條件嗎？

生眾：在平面內(nèi).

師：(追問)你能用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述你下的定義嗎？

生1：在平面內(nèi)，{M|MA=r}，其中M為動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，r>0為定值.

師：接下來答題的同學(xué)，請(qǐng)同時(shí)給出相應(yīng)軌跡的定義以及用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述你下的定義.

題2已知點(diǎn)O(0,0),A(1,1)，直線MO,MA的斜率之積為-1，求點(diǎn)M的軌跡方程.

師：還有什么要補(bǔ)充的嗎？

生2：點(diǎn)M的軌跡方程里要除去x=0和x=1.

師：(追問)為什么呢？

生2：因?yàn)辄c(diǎn)M的橫坐標(biāo)為0時(shí)，MO的斜率不存在；為1時(shí)，MA的斜率不存在.

師：這是由斜率的定義決定的.那么你給的定義是不是也要補(bǔ)充？

生2：在平面內(nèi)，與兩定點(diǎn)斜率之積為-1的點(diǎn)的集合(除去定點(diǎn)所在垂直于x軸的直線與曲線的交點(diǎn)). 用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述為：在平面內(nèi)，{M|kMA·kMB=-1}，其中M為動(dòng)點(diǎn)，A,B為定點(diǎn)，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)不等于A,B的橫坐標(biāo).

題3已知點(diǎn)O(0,0),A(1,1)，點(diǎn)M滿足MO2+MA2=4，求點(diǎn)M的軌跡方程.

師：表述得非常準(zhǔn)確！(追問)λ的取值范圍是什么？

生3：λ>0.

師：(再追問)顯然λ>0是必要條件，充分嗎？

生3：充分.

師：大家同意他的意見嗎？

(學(xué)生們眾說紛紜)

師：如果把問題改為“求實(shí)數(shù)λ的取值范圍”呢？

師：由此可見充分必要條件是——

生3：λ>1.

師：你是怎么想到這樣處理的呢？

生3：把已知條件坐標(biāo)化，得到的軌跡方程化簡后是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，觀察得到λ>1.

師：也就是回到定義上去—坐標(biāo)化—解析幾何的基本思想.若A(a,b),B(c,d)呢？

師：若A(a,b),B(c,d)呢？

師：(追問)λ=1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是什么？

生5：線段AB的垂直平分線.

問題1如果把圓的第1種形式定義起名為定義圓，那么其余4種定義形式的圓，你可以分別給它們起一個(gè)名字嗎？

生眾：斜率圓、平方圓、向量圓與比值圓(其實(shí)比值圓是阿波羅尼斯圓).

問題2這些圓彼此之間有什么聯(lián)系？

生6：斜率圓可以看成向量圓的特例，即兩向量互相垂直時(shí)可以轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積等于-1.

生7：需要注意斜率不存在的情形.

師：很好！也就是說數(shù)量積為零比斜率之積為-1更一般.

生8：比值圓與平方圓是一樣的，都是用兩點(diǎn)間距離公式求解.

師：生8發(fā)現(xiàn)比值圓與平方圓解題所用知識(shí)點(diǎn)是一致的.

問題3目前，我們發(fā)現(xiàn)圓的五種常見形式化定義，課本為什么用“平面內(nèi)，到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合”作為定義呢？

生8：定義簡潔，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔美！

生9：圓的其他的四種形式化簡整理后就是“平面內(nèi)，到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合”的數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述.

師：說得非常好！大道至簡莫過如斯！

設(shè)計(jì)意圖前置作業(yè)為容易題，作為課堂教學(xué)的起點(diǎn)，以之喚醒學(xué)生對(duì)即將復(fù)習(xí)知識(shí)的記憶.數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化是解題的重要前提，文字語言向符號(hào)語言轉(zhuǎn)化是學(xué)生必備的能力之一，也是學(xué)生的薄弱之處.通過追問，一方面培養(yǎng)學(xué)生的語言轉(zhuǎn)化能力，另一方面培養(yǎng)學(xué)生口頭表達(dá)的能力.通過追問、反問、再追問，把學(xué)生的解題思維“擠”出來：回到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程確定λ的取值范圍，即回到定義上去.問題1引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓命名，實(shí)質(zhì)上就是貼標(biāo)簽，有助于基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的思維定勢(shì)，即看到條件有思考的方向，把數(shù)學(xué)能力轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)技能，讓“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”[1]的基本理念落地生根.通過問題2和問題3的設(shè)置，將隱圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)整合到同一個(gè)概念里，找到隱圓的題根，進(jìn)而幫助學(xué)生獲得高階認(rèn)知所需的“事實(shí)性知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)”.很顯然，這是一種深度學(xué)習(xí)，體現(xiàn)出核心素養(yǎng)“科學(xué)思維”的本質(zhì)特征.如此被賦予方法論意義，獲取余文森教授所指出的“最基礎(chǔ)、最具有生長性的關(guān)鍵素養(yǎng)”[2]，促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)由思維層面向素養(yǎng)層面的轉(zhuǎn)化.

3.2 教學(xué)片段2——分析例題，剝繭抽絲

例1(2018屆南通市、泰州市一模第13題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-4,0)，B(0,4)，從直線AB上一點(diǎn)P向x2+y2=4引兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D.設(shè)線段CD中點(diǎn)為M，則線段AM長的最大值為.

師：這種放棄很明智.用葛軍教授的話說，這時(shí)應(yīng)該轉(zhuǎn)場，要么寫下一題，要么你換一個(gè)角度重新思考.

師：你是怎么想到的？

生11：目標(biāo)線段AM中A為定點(diǎn)，所以我期望點(diǎn)M的軌跡是圓.而點(diǎn)P在變化的過程中，OP與CD垂直于點(diǎn)M不變，又O為定點(diǎn)，根據(jù)“斜率圓”或者“向量圓”的定義，直線CD若過定點(diǎn)，問題就迎刃而解.我就嘗試著尋找直線系x0x+y0y=4所過的定點(diǎn).

師：生10的方法是建立線段AM關(guān)于x0的函數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最大值問題；生11的方法是利用直線CD過定點(diǎn)，進(jìn)而得到點(diǎn)M的軌跡是圓，把求線段AM的最大值轉(zhuǎn)化為圓上一動(dòng)點(diǎn)與圓外一定點(diǎn)距離的最大值問題.前者從代數(shù)的角度入手，易想，但難解；后者從幾何的角度入手，易解，但難想.不論是代數(shù)角度還是幾何角度，都是同一個(gè)問題的兩個(gè)方面.

問題4請(qǐng)同學(xué)們思考，方法1與方法2有什么聯(lián)系嗎？

師：真精彩！請(qǐng)問你是怎么想到的呢？

生12：根據(jù)方法1和方法2的結(jié)果湊出來的.(生眾笑)

生13：生12的方法就是已知曲線的參數(shù)方程求普通方程的方法.

師：生12通過湊來尋找兩種不同方法之間聯(lián)系，靠的是他的數(shù)學(xué)直覺，這一點(diǎn)非常難能可貴.實(shí)際上這是附加題中已知曲線的參數(shù)方程求普通方程的常見題型，要用聯(lián)系的觀點(diǎn)，而不是孤立地看問題.大家在一題多解中應(yīng)多角度比較不同解法之間的聯(lián)系和區(qū)別.這樣有助于增強(qiáng)大家對(duì)不同解法適用題型的數(shù)學(xué)直覺，同時(shí)也有助于大家對(duì)問題有更為立體的認(rèn)識(shí).

設(shè)計(jì)意圖一題多解培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維.引導(dǎo)學(xué)生比較不同解法在處理同一道題目時(shí)的優(yōu)點(diǎn)與不足，幫助學(xué)生在理解不同解法的基礎(chǔ)上優(yōu)化解題思路；比較不同解答之間的聯(lián)系和區(qū)別，多解歸一.如此加強(qiáng)學(xué)生認(rèn)識(shí)問題的深刻性.

3.3 教學(xué)片段3——小結(jié)課堂，綱舉目張

(1)你能歸納一下本節(jié)課我們是如何研究隱圓的嗎？

(2)你認(rèn)為我們?cè)趹?yīng)用隱圓時(shí)，應(yīng)注意哪些問題？

(3)你認(rèn)為一題多解后，做哪些工作可以深化我們對(duì)題目以及解法的認(rèn)識(shí)？

設(shè)計(jì)意圖用核心問題組成問題串，促進(jìn)學(xué)生思考，并提綱挈領(lǐng)地歸納總結(jié)出本節(jié)課研究的問題、所用的研究方法，以及關(guān)鍵細(xì)節(jié)，以期學(xué)生在學(xué)習(xí)層次和認(rèn)知水平上得到提升.

4 教學(xué)反思

4.1 一點(diǎn)想法

本節(jié)課是高三數(shù)學(xué)二輪微專題復(fù)習(xí)研討課.本節(jié)課把散落在平時(shí)有關(guān)圓的定義的問題集中在一起，幫助學(xué)生建構(gòu)相關(guān)知識(shí)體系.通過對(duì)前置作業(yè)的5個(gè)小題的分析，引導(dǎo)學(xué)生猜想、總結(jié)出相應(yīng)的圓的定義形式，并用符號(hào)語言表示出來，同時(shí)注意相應(yīng)參數(shù)的取值范圍，并追問為什么是這個(gè)范圍，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)與方法的過程.在其過程中，建立學(xué)生當(dāng)問題不會(huì)處理的時(shí)候回到定義上去的意識(shí).在5道小題一般化之后，對(duì)其中的圓分別命名.其實(shí)比值圓是阿波羅尼斯圓.命名本質(zhì)是貼標(biāo)簽，有助于學(xué)生看到條件有思考的方向，即數(shù)學(xué)直覺，有利于思維的定勢(shì).通過例2與變式的分析(沒有來得及)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)看似相同的題，實(shí)則處理的方法迥然不同.通過對(duì)問題的辨析，認(rèn)識(shí)其本質(zhì)，以防止學(xué)生思維過分定勢(shì).

4.2 一點(diǎn)爭論

有聽課教師認(rèn)為，作為物化班的二輪復(fù)習(xí)，本節(jié)課的教學(xué)起點(diǎn)顯得過低，應(yīng)該從綜合題入手，提升學(xué)生分析問題的能力.但過多地追求題目的難度，就容易忽視大部分學(xué)生的現(xiàn)有思維水平和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教學(xué)與學(xué)生的試卷相脫節(jié)，從而打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自信心.二輪微專題復(fù)習(xí)教學(xué)的教學(xué)依然要回歸教學(xué)的原點(diǎn)，同時(shí)把準(zhǔn)學(xué)生知識(shí)發(fā)展的認(rèn)知起點(diǎn)，適當(dāng)放低起點(diǎn)，以簡單的題目為載體，以發(fā)展學(xué)生思維為主線，厘清分析問題的思路和方法，及時(shí)總結(jié)并適當(dāng)延拓至一般情形，找到題根，凸顯知識(shí)本質(zhì)，在知識(shí)深度理解和能力培養(yǎng)的過程中看準(zhǔn)核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，到達(dá)教學(xué)高落點(diǎn).

4.3 一點(diǎn)遺憾

因?yàn)閷W(xué)生在課前充分預(yù)習(xí)并認(rèn)真解答了學(xué)案，所以教師基本上把課堂交給了學(xué)生，以學(xué)生為主體，把所有的學(xué)生卷入課堂，有師生互動(dòng)、生生互動(dòng).結(jié)果課堂時(shí)間節(jié)奏沒有把控好，導(dǎo)致教學(xué)任務(wù)沒有完成.對(duì)生10例1第(3)題的代數(shù)解法，教師直接生硬地借助于生11轉(zhuǎn)到自己預(yù)設(shè)的軌道上.上課時(shí)間雖然緊，但此處不應(yīng)該追求課堂的容量；應(yīng)該少一些功利，多一些平和，讓學(xué)生的解題思維自然地流淌；應(yīng)該停下來，預(yù)設(shè)應(yīng)讓位給生成，帶領(lǐng)學(xué)生一起處理繁重的代數(shù)運(yùn)算.這樣，一方面能培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)韌的意志品質(zhì)，另一方面更加直觀地比較兩種不同解法的優(yōu)劣，加深學(xué)生用發(fā)掘問題中所蘊(yùn)含的幾何條件來降低代數(shù)運(yùn)算的體驗(yàn)，同時(shí)讓方法的選擇更加自然.

4.4 一點(diǎn)困惑

陶維林老師說，學(xué)生能處理的就放手，這是教學(xué)的一個(gè)原則.基于此，二輪復(fù)習(xí)遵循學(xué)生先完成學(xué)案，教師批閱并摘錄學(xué)生不同解法和統(tǒng)計(jì)正確率，在此基礎(chǔ)上評(píng)講學(xué)案，學(xué)生訂正整理學(xué)案的流程.這里存在一種普遍的現(xiàn)象：部分學(xué)生會(huì)根據(jù)自己學(xué)案正確與否有選擇性地聽教師評(píng)講，有時(shí)會(huì)錯(cuò)過教師的評(píng)講.這種現(xiàn)象顯性的是錯(cuò)過教師評(píng)講的過程，隱性的是錯(cuò)過教師對(duì)知識(shí)點(diǎn)的歸納、對(duì)解題思想方法的總結(jié)和對(duì)一類問題本質(zhì)的揭示.這就是二輪專題和微專題復(fù)習(xí)教學(xué)中的“滑過”現(xiàn)象.這類問題的解決除了動(dòng)之以情、曉之以理的苦口婆心的說教外，還有更適切的方法嗎？