結(jié)合數(shù)學(xué)思想 培養(yǎng)核心素養(yǎng)
——以解三角形中方程思想運(yùn)用為例

王弟成 (江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215011)

數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容及其所使用的方法的本質(zhì)認(rèn)識，數(shù)學(xué)思想也是數(shù)學(xué)知識到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的橋梁，掌握了它就能駕馭知識，尋找到解決問題的方法．教學(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)，在落實(shí)“四基”過程中抓住“基本思想”教學(xué)，對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行有效的滲透、揭示、運(yùn)用，不僅能促進(jìn)學(xué)生“四能”提高，也是落實(shí)并提升學(xué)生核心素養(yǎng)的有效抓手．本文以幾道三角題求解為例，談?wù)勛约旱睦斫猓?/p>

1 問題呈現(xiàn)

這道三角綜合題條件簡潔明了，主要涉及兩角和與差的三角函數(shù)．要求證的是兩角之間的正切關(guān)系，并在給定一邊長的條件下求該邊上的高．教材上有類似問題，應(yīng)該說此題難度并不大，但在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生處理第(1)問的證明時(shí)問題不大，而對第(2)問卻束手無策，不知道從方程角度看問題，不能自覺運(yùn)用方程思想整體把握問題．有的學(xué)生雖能列出關(guān)于邊的方程，卻不能結(jié)合目標(biāo)對方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)深入分析，導(dǎo)致列出了方程(組)卻不會解．也有學(xué)生雖然能做出來，但說不出所以然，不能從思想方法角度理解解法，解出了題卻無助于解題能力提高．

2 解法探究

2.1 利用方程思想整體把握問題

2.2 分析特點(diǎn)解方程

2.3 改變目標(biāo)創(chuàng)新思路

若重新審視目標(biāo)，換個(gè)角度思考，求面積關(guān)鍵是求ab的值，而求ab的值并不一定要分別把a(bǔ)與b的值都求出來，首先應(yīng)考慮整體求解，看是否能整體求出ab的值．

兩條思路都很清楚，都是學(xué)生會選的思路，都體現(xiàn)了方程思想指導(dǎo)下的思路探尋，但選擇邊的困難主要在于解方程．目標(biāo)一變，好法顯現(xiàn)，解法3中立足ab整體思考，則顯得輕松得多，因此認(rèn)識越深刻，解法越簡捷．

2.4 數(shù)形結(jié)合變換思路

從上面分析知△ABC是銳角三角形，故可結(jié)合平面幾何知識解決．

上述方法之所以能輕松解決問題，主要是利用條件結(jié)合平面幾何知識，構(gòu)建了關(guān)于h的一元方程，而解決一元方程相對簡單多了．

3 在解題教學(xué)中運(yùn)用方程思想提高學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)

方程思想應(yīng)用廣泛，中學(xué)數(shù)學(xué)中很多問題都可以運(yùn)用方程思想整體把握，尋求思路，解決問題．教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生會列方程解決問題，但沒有形成意識，不會從方程角度看問題，沒有形成素養(yǎng)．這就需要教師主動(dòng)抓住機(jī)會滲透、揭示、運(yùn)用思想方法，用思想方法指導(dǎo)概念的獲得和解題思路的形成，發(fā)揮思想方法這一有力武器的作用．同時(shí)，讓學(xué)生感受到思想方法不是空洞的，而是實(shí)實(shí)在在存在的，能指導(dǎo)我們高效思維．三角公式和解三角形中正、余弦定理本質(zhì)上都是方程模型，正余弦定理的運(yùn)用充分體現(xiàn)了方程思想．下面再以幾個(gè)例子加以說明．

圖1

例2如圖1，l1，l2，l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，正三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在l1，l2，l3上，則△ABC的邊長是( )．

此題乍看無從入手，仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)，立足三角形的邊和角，分別在兩個(gè)不同的、有聯(lián)系的三角形中建立含有邊和角的方程，兩個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)，解之即可．思路直接，目標(biāo)明確，不需過多的思考，是解決此類問題的通性通法和程序化思維．把握這一點(diǎn)，就能找到解決三角問題的切入點(diǎn)．

圖2

分析(1)根據(jù)已知條件直接使用余弦定理即可求解．

(2)從所求∠PBA出發(fā)，只要能建立關(guān)于∠PBA的方程即可，首先思考的是用∠PBA表示相關(guān)量．顯然題中其他的邊和角都可以用角∠PBA表示，如PC=cos∠PBA，PB= sin∠PBA，∠PAB=30°-∠PBA．

上述問題的求解過程中對問題的整體把握、對本質(zhì)的深刻認(rèn)識、對已知條件的合理使用、對解題方法的選擇、對解方程困難的突破、對算法的恰當(dāng)選擇，都是在方程思想引領(lǐng)下完成的．在解題過程中，學(xué)生的“四能”得到培養(yǎng)，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)都得到提升,教學(xué)需要這樣的過程．