溯“源”引“流” 挖掘本質(zhì) 塑造模型
——從2020年全國卷解析幾何壓軸題說起

徐 蘭 (江蘇省溧陽中學(xué) 213300)

高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)是為了促進(jìn)知識條理化、系統(tǒng)化，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).圓錐曲線歷來是高考中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，其因點(diǎn)、線、曲線的錯綜復(fù)雜而易讓學(xué)生望而生畏.筆者就2020年全國高考卷的圓錐曲線來談?wù)劯呷龔?fù)習(xí)課圓錐曲線的復(fù)習(xí)策略，溯源引流，對同根同源問題尋找試題的共性，把握問題的本質(zhì).

(1)求C的方程;(2)點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．

第(2)問：設(shè)M(x1，y1),N(x2,y2).

整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.

1 命題立意探究

本題的第(2)問是圓錐曲線中的定值問題，但是真正考查的是直線過定點(diǎn)，所以在考場這樣一個特定的場合里學(xué)生要能夠去偽存真，識得廬山真面目，真不是一件容易的事.如果教師在解析幾何的二輪復(fù)習(xí)中注重幫助學(xué)生在復(fù)雜的環(huán)境下尋找規(guī)律，抽象出問題的本質(zhì)，探求問題源頭，塑造重要模型，就能夠以不變應(yīng)萬變，達(dá)到融會貫通.

2 溯源

源頭1(2014無錫期末)：

圖1

源頭2(2017全國卷)：

證明(2)設(shè)直線P2A與P2B的斜率分別為k1,k2.

3 引流

引流1(2020新課標(biāo))：

圖2

第(2)問：

民國時期項(xiàng)氏三十代懿孫項(xiàng)乃斌為重振家聲，輯錄《嘉善項(xiàng)氏支譜》，但描述的多是清代項(xiàng)氏家族情況，其時已無人再像其先輩那樣在鑒藏上有卓越貢獻(xiàn)，他們不在本文討論范圍之內(nèi)，故略去不述。

圖3

圖4

4 高三二輪復(fù)習(xí)的教學(xué)啟示

圓錐曲線的綜合問題，對學(xué)生的思維能力要求非常高，又由于含有字母因而運(yùn)算量大，所以學(xué)生在求解的過程中倍感困惑.在高三的復(fù)習(xí)課中，教師要充分利用好資源，善于引導(dǎo)學(xué)生在問題解決后再研究、再發(fā)現(xiàn)，而不是停留在解一道題上，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)對同類問題的共性規(guī)律，挖掘題目的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和功能，形成自己的解題模型.

4.1 尋找根源，建立聯(lián)系

在新《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分細(xì)則里，邏輯推理的最高水平是能夠在綜合情境中，用數(shù)學(xué)的眼光找到合適的研究對象，提出有意義的數(shù)學(xué)問題.2020年的全國卷高考題貌似考查尋找定點(diǎn)Q，如果學(xué)生被這個問題牽著鼻子走了，這道壓軸高考題就徹底進(jìn)入了死胡同，進(jìn)入了出題者的圈套.出題者的本意是考查學(xué)生能否在復(fù)雜的背景下去偽存真，抽象出直線過定點(diǎn)這一重要模型.如果學(xué)生能夠識別出來，就說明學(xué)生在平時的解析幾何學(xué)習(xí)中善于尋找共性，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立解題模型，那么這道高考壓軸題就不再壓軸了.由此可見，高考題的來源還是在平時的課堂中，并沒有高深莫測到無從入手.追溯這道題目的源頭，2017年的全國高考卷和2019年的江蘇一模卷中都出現(xiàn)了這個直線過定點(diǎn)問題，今年的全國高考題是基于這個問題的解決再往前走了一小步，而這一小步就顯得非常簡單了.因?yàn)橹本€MN過了定點(diǎn)H，就得到了直角三角形的斜邊的兩個端點(diǎn)是定點(diǎn)，那么|DQ|這個定值就是直角三角形斜邊的中線長，等于斜邊的一半，這一步的定點(diǎn)求解利用了平面幾何知識.這就需要我們學(xué)生有能力在較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題中，通過構(gòu)建過渡性的命題來探索待論證的結(jié)論，并會用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)論證和計(jì)算的過程.

4.2 優(yōu)化解法，建立屬于自己的解題模型庫

分析源1、源2中的圖形，都是經(jīng)過曲線上一個定點(diǎn)的兩條動直線交曲線于兩個動點(diǎn)，研究這兩個動點(diǎn)所在直線l:y=kx+m過定點(diǎn)的問題.這類問題只要可以表示出這兩個動點(diǎn)坐標(biāo)的等量關(guān)系，出現(xiàn)兩根之積、兩根之和的形式都可以設(shè)而不求，用韋達(dá)定理來表達(dá)，得到k,m之間的等量關(guān)系后求出定點(diǎn).把這樣一個模型(以下簡稱三線一定點(diǎn))提煉出來，在復(fù)雜問題中要能夠抽象出具有這樣特征的點(diǎn)與線模型，就可以快速解決問題.

4.3 加強(qiáng)探究，自我整合