“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域教學(xué)路徑剖析
——以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算”教學(xué)為例

遼寧教育學(xué)院 遼寧教育雜志社 牟永存

“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域知識是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位。小學(xué)階段，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域知識主要包括數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運算、估算、常見的量等，其內(nèi)容貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，承載著培養(yǎng)學(xué)生運算能力、符號意識、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要任務(wù)。掌握“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識與基本技能，能使學(xué)生形成良好的運算能力，建立良好的數(shù)感，形成初步的代數(shù)思想，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識打下重要基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域知識時，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷“抽象問題—理解算理—歸納算法—應(yīng)用鞏固—反思提高”的過程，使學(xué)生在深度理解算理的過程中掌握算法，進(jìn)而提高運算能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算”教學(xué)為例對“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域教學(xué)路徑進(jìn)行剖析。

一、經(jīng)歷抽象問題的過程

數(shù)學(xué)情境是從事數(shù)學(xué)活動的環(huán)境以及產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的條件，是以激發(fā)學(xué)生問題意識為價值取向的刺激性數(shù)據(jù)材料和背景信息。學(xué)生要解決的問題往往就蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)情境中，好的數(shù)學(xué)情境有利于解決數(shù)學(xué)知識的抽象性與學(xué)生思維的具體性之間的矛盾。因此，教學(xué)中創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)情境，既要有豐富的實際背景和數(shù)學(xué)信息，又要緊扣教學(xué)目標(biāo)，適合學(xué)生的認(rèn)知水平，靠近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，易于激發(fā)學(xué)生的問題意識，使學(xué)生自主提出數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，為進(jìn)一步探究問題的解決打下基礎(chǔ)。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”這節(jié)課時，教師創(chuàng)設(shè)了學(xué)生生活中熟悉的問題情境。

師：王老師到新華書店買書，下圖是王老師與售貨員的對話，你從中得到了哪些數(shù)學(xué)信息呢？

課件出示：

生：我發(fā)現(xiàn)王老師買了12 套書，而且每套書14 本。

師：針對這些數(shù)學(xué)信息，你能提出什么數(shù)學(xué)問題？

生：王老師一共買了多少本書？

師：怎么列式呢？

生：14×12。

師：這是兩位數(shù)乘兩位，如何計算呢？

上述教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)了書店購書的生活情境，學(xué)生在收集情境中信息的過程中自主提出數(shù)學(xué)問題，親身經(jīng)歷了抽象出數(shù)學(xué)問題的過程，并列出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算式，為進(jìn)一步探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法打下基礎(chǔ)。

二、經(jīng)歷理解算理的過程

算理是客觀存在的規(guī)律，是計算過程中的基本原理和思維方式，是解決為什么這樣算的根本依據(jù)，保證了計算的合理性和正確性。學(xué)生只有理解了計算的道理，才能為理解和掌握計算的方法，進(jìn)而正確迅速地計算打下基礎(chǔ)。小學(xué)階段學(xué)生的思維正處于從具體形象思維向理性思維過度，而算理隱藏在計算的過程中，對學(xué)生來說比較抽象且不易理解。因此，教學(xué)中要借助直觀引導(dǎo)學(xué)生對計算的道理進(jìn)行深入探究，幫助學(xué)生借助已有知識和經(jīng)驗領(lǐng)悟計算的道理，使學(xué)生親身經(jīng)歷算理的理解過程，為進(jìn)一步歸納算法作好鋪墊。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算”這節(jié)課時，教師利用點子圖引導(dǎo)學(xué)生理解算理。

師：如果將一本書看成一個點，一套書14 本就能排成一行14 個點。有這樣的12 套，也就有這樣的12 行點。

（出示課件。）

師：同學(xué)們可以小組合作，利用學(xué)習(xí)單上的點子圖圈一圈、算一算，并將14×12 的計算過程寫下來。

學(xué)生小組內(nèi)動手操作并記錄計算過程。

師：哪個小組來介紹一下，你們小組是怎樣圈的？又是怎樣計算的？

組1：我們小組是把點子圖分成兩部分，一部分是4行，即 4 個 14，算式是 14×4=56；另一部分是 8 行，即 8 個14，算式是14×8=112。將兩部分計算結(jié)果合起來，即56+112=168。

組2：我們小組是把點子圖平均分成兩部分，一部分是6 行，即6 個14，算式是14×6=84。將兩部分計算結(jié)果合起來，即84+84=168。

組3：我們小組也是把點子圖分成兩部分，一部分是10 行，即 10 個 14，算式是 14×10=140；另一部分是 2 行，即2 個14，算式是14×2=28。將兩部分計算結(jié)果合起來，即140+28=168。

師：我們計算14×12，可為什么在你們的算式中沒有12 呢？

生：我們都是把12 分成了兩部分來計算。

師：為什么要分成兩部分？

生：把兩位數(shù)乘兩位數(shù)變成已經(jīng)學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)或者兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)，也就是將新知識轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的知識來解決問題。

師：那同學(xué)們比較一下這幾種方法，你認(rèn)為哪種方法比較簡便？

生：我覺得第三種方法比較簡便，因為任何一個兩位數(shù)都能分成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)。

師：下面同學(xué)們試著利用豎式筆算14×12 的積，同時思考豎式筆算時先算什么、再算什么，然后小組內(nèi)討論交流。

學(xué)生列豎式計算，并小組討論交流。

師：誰能展示一下你列的算式？

生：（邊指邊說）我用2 乘4 得8，對應(yīng)寫在個位上；再用2 乘十位上的1 得2，對應(yīng)寫在十位上。又用十位上的1乘4 得4，對應(yīng)寫在十位上；再用十位上的1 乘十位上的1得1，對應(yīng)寫在百位上。

師：能結(jié)合點子圖說一說這樣計算的道理嗎？

生：其實豎式計算就和剛才第三種分法計算的過程是一樣的，都是先把12 分成10 和 2 來計算，28 是 14×2 的積，140 是 14×10 的積，最后把兩部分積合起來28+140=168，就是12 套書的本數(shù)。

課件出示：

師：4 為什么寫在十位上？0 為什么沒寫？

生：1 個十乘4 是4 個十，所以寫在十位上，就表示4個十，所以后面的0 就不用再寫了。

上述教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用直觀的點子圖理解抽象的算理，明晰乘法豎式計算中每一步計算表示的含義，學(xué)生通過直觀圖形與乘法豎式的溝通，經(jīng)歷了充分理解算理的過程，有效促進(jìn)了學(xué)生對兩位數(shù)乘兩位算理的掌握，為進(jìn)一步歸納算法作好鋪墊。

三、經(jīng)歷歸納算法的過程

算法是人為規(guī)定的操作方法，是計算過程中的外在表達(dá)形式，是復(fù)雜思維過程的程式化操作步驟，算法為計算提供了快捷的操作方法，能有效提高計算的速度。學(xué)生在掌握算理之后，為了使計算更方便快捷，提高計算的速度和準(zhǔn)確率，就要尋找到計算的普遍規(guī)律，抽象、概括出計算的方法。因此，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷總結(jié)歸納算法的過程，為計算提供可操作性的方法，進(jìn)而提高計算的速度和準(zhǔn)確率，也進(jìn)一步提升運算能力。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算”這節(jié)課時，教師引導(dǎo)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步歸納算法。

師：我們剛剛通過觀察點子圖理解了乘法豎式每一步計算的道理，回顧一下這三步計算的過程，你能說一說每一步都計算的什么嗎？

生1：第一步計算 14×2=28，第二步計算 14×10=140，第三步把兩部分積合起來28+140=168。

生2：先用12 個位上的2 乘14，再用12 十位上的1乘14，最后將兩次計算的結(jié)果相加。

師：不結(jié)合具體數(shù)，你能說一說兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算方法嗎？

生：兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算，先用第二個乘數(shù)的個位分別去乘第一個乘數(shù)的每一位，所得的積放在第一排，末尾與兩個乘數(shù)的個位對齊；再用第二個乘數(shù)的十位分別去乘第一個乘數(shù)的每一位，所得的積放在第二排，末尾與兩個乘數(shù)的十位對齊；最后將兩部分積相加。

師：同學(xué)們已經(jīng)能結(jié)合14×12 的豎式筆算方法總結(jié)出所有兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算方法，真棒！

上述教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合14×12 的豎式筆算方法，總結(jié)概括出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算方法，使學(xué)生充分經(jīng)歷了歸納算法的過程，為應(yīng)用豎式筆算解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)提供了可操作性的方法，進(jìn)一步提升了學(xué)生的運算能力。學(xué)生在這一過程中不僅積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，而且提升了歸納概括能力。

四、經(jīng)歷鞏固應(yīng)用的過程

實際應(yīng)用是鞏固知識、內(nèi)化知識的過程，也是進(jìn)一步理解知識、發(fā)展思維的過程。算理的理解和算法的掌握要經(jīng)過實際應(yīng)用才能得到檢驗和鞏固，組織學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)的實際應(yīng)用是鞏固理解算理和掌握算法的重要手段，學(xué)生只有在實際應(yīng)用中才能把算理內(nèi)化為自己的理解，才能進(jìn)一步掌握算法。因此，教學(xué)中要在學(xué)生理解算理和掌握算法之后，及時組織學(xué)生進(jìn)行實際應(yīng)用，讓學(xué)生在實際應(yīng)用中加深對算理的理解，在實際應(yīng)用中牢固掌握算法，為后續(xù)應(yīng)用算理和算法解決更復(fù)雜的計算問題打下堅實的基礎(chǔ)。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算”這節(jié)課時，教師設(shè)計了以下一組練習(xí)。

1.列豎式計算。

23×22 35×46

2.解決問題。

學(xué)校食堂買大蝦45 公斤，每公斤27 元，買大蝦一共花了多少元？用列豎式計算。

3.開放闖關(guān)。

上述教學(xué)中，教師設(shè)計了不同梯度的練習(xí)，使學(xué)生能熟練運用兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式筆算方法解決問題，經(jīng)歷鞏固應(yīng)用的過程。特別是開放闖關(guān)練習(xí)的設(shè)計，讓學(xué)生進(jìn)一步理解了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，提高了靈活應(yīng)用算理和算法解決問題的能力，進(jìn)而提升了運算能力。

五、經(jīng)歷反思提高的過程

反思是對思維過程、思維結(jié)果再認(rèn)知的學(xué)習(xí)過程，是內(nèi)化知識、提升經(jīng)驗、形成思想的重要學(xué)習(xí)手段。通過反思學(xué)生能自主總結(jié)探索知識的過程，鞏固探索思路、方法、策略等，感悟在探索知識過程中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想。因此，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，讓學(xué)生在反思中內(nèi)化技能方法、積累活動經(jīng)驗、感悟數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步深化對所學(xué)知識的理解，優(yōu)化思維過程和知識結(jié)構(gòu)，為后續(xù)學(xué)習(xí)新知識打下知識基礎(chǔ)、經(jīng)驗基礎(chǔ)、方法基礎(chǔ)和思想基礎(chǔ)。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算”這節(jié)課時，教師引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行反思總結(jié)。

師：通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有什么收獲？

生1：我通過點子圖知道了兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式筆算背后的道理，是將其中的一個兩位數(shù)分成一位數(shù)和整十?dāng)?shù)，即將兩位數(shù)乘兩位數(shù)變成兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)，最后將兩部分積合起來。如14×12，第一步計算14×2=28，第二步計算14×10=140，第三步把兩部分積合起來28+140=168。

生2：我掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式筆算的計算方法，先用第二個乘數(shù)的個位分別去乘第一個乘數(shù)的每一位，所得的積放在第一排，末尾與兩個乘數(shù)的個位對齊；再用第二個乘數(shù)的十位分別去乘第一個乘數(shù)的每一位，所得的積放在第二排，末尾與兩個乘數(shù)的十位對齊；最后將兩部分積相加。

師：你覺得今天的學(xué)習(xí)對于后面三位數(shù)乘兩位的學(xué)習(xí)有哪些借鑒意義？

生：我覺得三位數(shù)乘兩位數(shù)，首先也是用兩位數(shù)的個位分別去乘三位數(shù)的每一位，再用兩位數(shù)的十位分別去乘三位數(shù)的每一位，最后將兩部分的積合起來。

師：同學(xué)們都能利用已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識來遷移理解新知識，真棒！我們后面學(xué)習(xí)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”時繼續(xù)探索。

上述教學(xué)中，教師引領(lǐng)學(xué)生回顧兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算，經(jīng)歷了反思提高的過程，使學(xué)生不僅進(jìn)一步梳理總結(jié)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理和算法，也讓學(xué)生嘗試將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算，從學(xué)生的回答可以看出，學(xué)生不僅已經(jīng)充分地理解了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式筆算方法，而且能將探索的經(jīng)驗遷移到三位數(shù)乘兩位數(shù)，為三位數(shù)乘兩位數(shù)的學(xué)習(xí)作好鋪墊。

總之，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域知識的教學(xué)，要讓學(xué)生經(jīng)歷“抽象問題—理解算理—歸納算法—應(yīng)用鞏固—反思提高”的過程，使學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，實現(xiàn)算理與算法的深度融合，進(jìn)而提高運算能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。