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    概念印象與線性代數(shù)教學(xué)

    2021-04-13 03:39:11周建華
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年4期
    關(guān)鍵詞:線性定理向量

    周建華, 吳 霞, 盧 偉

    (東南大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 南京211189)

    1 引 言

    網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的進(jìn)步,使得在線教學(xué)成了大家關(guān)注的重點(diǎn).但是,提高課程的教學(xué)效果不能只依賴教學(xué)形式和教學(xué)手段的豐富和改進(jìn),還需要更深入地理解課程內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律,更科學(xué)地設(shè)計(jì)教學(xué).

    與其它公共數(shù)學(xué)課程相比,線性代數(shù)中會(huì)出現(xiàn)更多的抽象概念和定理,而對(duì)概念正確、有效的理解對(duì)學(xué)好線性代數(shù)極其重要.針對(duì)教學(xué)過程中的種種現(xiàn)象,常會(huì)自問:

    (i) 怎樣判斷學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解?

    (ii) 哪些因素會(huì)影響學(xué)生的理解?

    (iii) 怎樣促進(jìn)學(xué)生的理解?

    本文將利用[1]在分析人們對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知過程時(shí)提出的“概念定義”和“概念印象”,介紹筆者對(duì)上述問題的一些思考和在教學(xué)過程中的一些嘗試.

    2 做好教學(xué)設(shè)計(jì),促進(jìn)學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的理解

    2.1 體現(xiàn)“理解”的標(biāo)志

    判斷學(xué)生對(duì)概念是否理解的一個(gè)重要依據(jù)是他做題的情況.但是,如果結(jié)論只是“是”或“否”的話就太籠統(tǒng)了,因?yàn)椤袄斫狻庇胁煌膶哟?舉個(gè)例子:在講到線性相關(guān)性時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到類似下面的情況:

    問題已知向量組α1,α2,α3線性無關(guān),證明α1+α2,α2+α3,α1+α3也線性無關(guān).

    學(xué)生的證明因?yàn)棣?,α2,α3線性無關(guān),所以,存在全為零的數(shù)k1,k2,k3使得

    k1α1+k2α2+k3α3=0,

    (1)

    因?yàn)閗1,k2,k3都等于零,所以

    k3α1+k1α2+k2α3=0,

    (2)

    (1)+(2)得

    (k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0,

    (3)

    將(3)整理,得

    k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α1+α3)=0,

    (4)

    因?yàn)閗1,k2,k3全為零,由(4),α1+α2,α2+α3,α1+α3也線性無關(guān).

    有類似問題的學(xué)生不是個(gè)別的.[2]形容學(xué)生在遇到類似的概念時(shí),“猶如墜入了云里霧里,不知身在何處,更不知要去何方.”

    上述過程顯示學(xué)生犯了邏輯錯(cuò)誤的同時(shí),還表明他沒有真正理解線性相關(guān)性的概念,他只是試圖按定義的表述方式給出形式化的證明.按照[1,3]的說法,他對(duì)線性相關(guān)性概念沒有建立起足夠的“概念印象”.

    盡管不同國家數(shù)學(xué)教學(xué)的環(huán)境不同,課程的設(shè)置方式和要求也有差異,但[2-3]的一些觀點(diǎn)對(duì)我們?nèi)匀痪哂薪梃b的價(jià)值.

    在刻畫認(rèn)知結(jié)構(gòu)時(shí),[1]用到了概念定義和概念印象兩個(gè)術(shù)語.概念定義指對(duì)概念非循環(huán)方式的準(zhǔn)確描述.通常地,在初中及初中之前的數(shù)學(xué)概念的定義都是非正式的,正式的定義從高中才開始出現(xiàn).這里所稱的概念印象不一定是指視覺意義上的圖形,而是指對(duì)概念的心里層面印象的總和.并不是所有概念印象都是“好”的.比如,講到等腰三角形,人們就會(huì)想到兩腰之夾角的角平分線既是三角形的高,也是中線;談到函數(shù),有人就會(huì)認(rèn)為凡函數(shù)都有代數(shù)表示式.這都屬概念印象.概念定義和概念印象完全是兩碼事.在幼時(shí),依靠 “直覺定義”.像 “白云”,“花朵”,“衣服”等是不需要給出文字形式的定義的,但對(duì)此卻有概念印象.有些概念的定義需采用文字形式,如“森林”可以用“許許多多樹在一起就成森林”來引入.這樣的定義假定在我們的視覺印象中有很多很多樹在一起,具有概念印象.

    在線性代數(shù)中,所有概念都是用文字形式給出的,相應(yīng)的概念印象則隨學(xué)習(xí)過程逐漸建立起來.然而,[1]指出,在用到概念時(shí),人們需要的是概念印象,而不是概念定義,概念定義是不活躍的,且容易被忘掉.在思維活動(dòng)中,概念印象則總要被喚醒.因此,在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí),死記硬背概念的定義沒有意義,對(duì)理解概念,形成豐富有效的概念印象才是最重要的.

    解決問題的能力當(dāng)然是判斷學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)的重要方面,擁有有效的概念印象則是衡量學(xué)生理解的標(biāo)志.是否擁有好的概念印象可以從學(xué)生具備的能力上體現(xiàn)出來[3].

    (i) 回憶而不僅是記住概念的能力

    死記硬背概念的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)總會(huì)有很大的困難,但常常會(huì)遇到這樣的學(xué)生.他們非常努力地想要一字不差地背下概念的定義,但他們的記憶只能保持到期末考試結(jié)束.

    曾向?qū)W生提出過這樣的問題:若向量組α1,α2,α3和β1,β2,β3都線性無關(guān),問:α1+β1,α2+β2,α3+β3是否也一定線性無關(guān)?

    一些學(xué)生會(huì)這樣嘗試:設(shè)

    k1(α1+β1)+k2(α2+β2)+k3(α3+β3)=0,

    試探著能否推出組合系數(shù)k1,k2,k3都等于零.另一些學(xué)生會(huì)這樣考慮:若

    β1=-α1,β2=-α2,β3=-α3,

    則α1+β1,α2+β2,α3+β3中的向量都是零向量,而含有零向量的向量組必定線性相關(guān).

    顯然,前一類學(xué)生只是試圖逐字逐句地利用概念的定義來回答問題,后一類學(xué)生則建立了有效的概念印象,一遇到這個(gè)問題,就記起了與概念相關(guān)的刻畫,運(yùn)用相應(yīng)的命題找到了問題的答案.

    (ii) 用自己的語言交流的能力

    上面的這個(gè)例子也顯示了表征理解的另一個(gè)重要標(biāo)識(shí):用自己的方式表達(dá)概念的能力.只靠死記硬背的學(xué)生,在處理問題時(shí),思維被束縛在概念定義的形式上,只能逐字逐句地按照定義,形式地解決問題.擁有豐富概念印象的學(xué)生則不然,遇到與概念相關(guān)的問題時(shí),只要瞥一下這個(gè)概念的名稱,他就會(huì)將與此有關(guān)的各種知識(shí)聯(lián)系起來,他的經(jīng)驗(yàn)就會(huì)起作用.他可以根據(jù)自己的理解,用自己的表達(dá)方式與人交流,而不必強(qiáng)迫自己從概念的原始定義出發(fā),形式化地表達(dá)自己的想法.

    (iii) 一般化思維的能力

    所有的數(shù)學(xué)概念都是用一般性的術(shù)語定義的,但是,學(xué)生未必能用一般性的術(shù)語來思考.

    還是以線性相關(guān)性為例.在大多數(shù)情形,學(xué)生從語義上理解其定義并沒有多大困難.課堂上,在給出定義后,老師都會(huì)給出一些具體的行(或列)向量組,判斷其線性相關(guān)性.對(duì)學(xué)生來說,這沒什么困難.學(xué)生也知道,要判斷一個(gè)具體的向量組的線性相關(guān)性,可以把問題化成一個(gè)齊次線性方程組,然后用Gauss消元法得出結(jié)論.但是,如果討論的向量組不是“具體的”,而是“抽象的”,許多學(xué)生就會(huì)感到困難.上文提到的那兩個(gè)例子就是例證.

    (iv) 建立不同主題之間聯(lián)系的能力

    不同主題之間錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系是線性代數(shù)區(qū)別于其它數(shù)學(xué)課程的重要特征.還是以線性相關(guān)性為例.線性相關(guān)性概念貫穿于整個(gè)課程之中,它與行列式、線性方程組、矩陣、特征值和特征向量、線性變換、內(nèi)積等都密切相關(guān).曾經(jīng)有人說過,線性代數(shù)可以從任意一個(gè)主題出發(fā)建立整個(gè)理論體系.也許正因?yàn)檫@個(gè)原因,我們才能夠看到各種不同體系、不同設(shè)計(jì)的線性代數(shù)教材.多視角的特點(diǎn)既是線性代數(shù)吸引人的地方,也是學(xué)生感到困難的原因.事實(shí)上,不會(huì)建立不同主題之間的聯(lián)系,構(gòu)建有效的概念印象根本無從談起.

    2.2 影響“理解”的因素

    (i) 背景因素

    知識(shí)背景是建立豐富概念印象的重要基礎(chǔ).微積分是與線性代數(shù)同時(shí)開設(shè)的另一門重要的數(shù)學(xué)課.不難發(fā)現(xiàn)在這方面這兩門課有明顯的不同.

    在學(xué)生眼里,微積分是高中數(shù)學(xué)的自然延續(xù).在中學(xué),他們學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)的函數(shù).微積分的討論對(duì)象基本沒變.并且,令人印象深刻的是,運(yùn)用微積分可以解決他們熟悉的,但原先無法解決的問題,比如,不規(guī)則圖形的面積、動(dòng)力學(xué)問題等等.相較而言,線性代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系要少.盡管中學(xué)似乎也涉及諸如線性方程組、解析幾何、內(nèi)積等,但中學(xué)數(shù)學(xué)與線性代數(shù)內(nèi)容的聯(lián)系是表面的.例如,談及線性方程組時(shí),中學(xué)里只涉及2×2,至多3×3的方程組,并只關(guān)心它們的求解,不考慮這些方程組的表示、解的存在性和唯一性,更不涉及矩陣代數(shù)、行列式等.美國曾有人對(duì)數(shù)學(xué)教育專業(yè)的研究生做過調(diào)查,他們中13%的人認(rèn)為微積分于其職業(yè)沒有什么用處,而對(duì)線性代數(shù),這一比例高達(dá)45%.數(shù)據(jù)從一個(gè)側(cè)面反映了微積分與線性代數(shù)的中學(xué)數(shù)學(xué)背景的差異.

    另一方面,在中學(xué)數(shù)學(xué),具有一般意義的證明僅僅出現(xiàn)在幾何.在中學(xué)生的印象中,幾何是需要證明的,但算術(shù)和代數(shù)則不需要.而且,與以往相比,幾何也已被嚴(yán)重削弱.高考對(duì)幾何證明的要求也差不多只剩下立體幾何中的三垂線定理了,平面幾何已不作要求.因此,相對(duì)于“計(jì)算”,學(xué)生對(duì)“證明”顯得生疏.同時(shí),微積分中定理的數(shù)量也很有限,而線性代數(shù)則需要很多的定理和定理的證明.

    從上述比較可以看出,與微積分相比,線性代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系要少很多.這也許就是在大學(xué)數(shù)學(xué)中微積分容易引起學(xué)生興趣,而線性代數(shù)卻不受待見的重要原因.

    (ii) 課時(shí)因素

    皮亞杰曾說過,一個(gè)概念在達(dá)到最后的平衡時(shí)看起來很簡單,但它的起源要復(fù)雜得多.由于線性代數(shù)課程的上述特點(diǎn),對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說,構(gòu)建有效的概念印象需要經(jīng)歷一個(gè)較長時(shí)間的過程.因此,在線性代數(shù)中建立有效的概念印象需要老師和學(xué)生付出更大的努力,花費(fèi)更多的時(shí)間.然而,線性代數(shù)是一門課時(shí)少、周期短的課程.在一些場合,甚至被當(dāng)作速成的課程開設(shè).

    有的教材和課堂教學(xué)對(duì)課程中的一些細(xì)節(jié)采用了“實(shí)用化”的“省時(shí)”策略,一些問題被模糊了.有時(shí),這會(huì)產(chǎn)生混亂.下面是一個(gè)典型的例子:多數(shù)教材都稱,1×1的矩陣可以等同于數(shù),因此,對(duì)矩陣A=(1,2)T,B=(4,-1),利用乘法結(jié)合律可得

    (AB)n=(AB)(AB)…(AB)=A(BA)(BA)…(BA)B=A(BA)n-1B=A·2n-1·B=2n-1AB,

    最后一個(gè)等號(hào)是因?yàn)橛脭?shù)左乘一個(gè)矩陣與右乘一個(gè)矩陣是等效的.這里,至少有兩點(diǎn)是模糊的:①用數(shù)右乘矩陣有沒有定義(實(shí)際上也沒有必要給出這個(gè)定義)?②如果把1×1的矩陣與數(shù)等同看待,1×1矩陣2n-1又如何與2×2矩陣AB相乘呢?

    (iii) 維度因素

    在微積分,從一元函數(shù)到多元函數(shù)的討論是一個(gè)非常耐心、謹(jǐn)慎的過程.先討論二元函數(shù)f∶2→、三元函數(shù)f∶3→,然后再過渡到對(duì)一般的n元函數(shù)f∶n→的討論.而且,n元函數(shù)還只是略提一下,更一般的函數(shù)f∶m→n則鮮有要求.

    作為線性代數(shù)討論的主要對(duì)象,向量和矩陣實(shí)際上是多變元的,而且,在許多場合,必須把向量和矩陣作為整體,而不是按其分量來處置.然而,盡管學(xué)生在課程之前沒有接觸過高維空間,在課程中,卻沒有時(shí)間和耐心,完成從低維空間到高維空間的過渡.在一些線性代數(shù)課程中,還要討論抽象的向量,這對(duì)學(xué)生來說,難度就更大了.

    線性代數(shù)沒有為學(xué)生做足夠的鋪墊,一些過程的缺失會(huì)帶來明顯的后果.比如,在通過對(duì)增廣矩陣作初等變換求解線性方程組時(shí),總有一些學(xué)生會(huì)糾結(jié)于能否作初等列變換.一些并不是實(shí)質(zhì)性的問題常常會(huì)成為一些學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)程的障礙.

    學(xué)生空間想象能力的訓(xùn)練,以及從低維的數(shù)組向量到一般的n維向量,再到抽象的向量的過渡,也是影響學(xué)生建立概念印象的因素.

    2.3 促進(jìn)“理解”的措施

    概念印象的豐富和優(yōu)化應(yīng)該貫穿于課程教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié).

    (i) 教材的設(shè)計(jì)

    不同的線性代數(shù)教材往往從一些特定的角度助力讀者概念印象的構(gòu)建.雖然不同的學(xué)生需要的教材不盡相同,但對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言,教材不應(yīng)象科研著作,不能只是簡潔地按邏輯呈現(xiàn)材料.教材需要與學(xué)生分享隱藏在概念定義背后的思想過程、定理的智力需求和定理證明的動(dòng)機(jī).教材也不應(yīng)該是大量概念、定理的堆砌,如果不幫助學(xué)生分析定理和定理的證明,只是致力于讓學(xué)生弄懂那些對(duì)解題有用的定理的結(jié)論,其結(jié)果往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生只懂得在解題時(shí)找定理、用定理,無助于形成對(duì)理論整體的認(rèn)知.用一句俗話說,這會(huì)使得學(xué)生“只顧埋頭拉車,不知道抬頭看路”, 或者“只見樹木,不見森林”,在一定程度上妨礙學(xué)生的學(xué)習(xí).

    教材不僅要讓學(xué)生知道有哪些定理以及這些定理有哪些用處,還應(yīng)通過那些定理以及定理的證明,讓學(xué)生意識(shí)到,線性代數(shù)實(shí)際上是在統(tǒng)一的思想下,圍繞諸如線性方程組、線性相關(guān)性、線性變換等少數(shù)幾個(gè)中心議題展開的,相關(guān)的討論都可轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣之間等價(jià)、相似、合同等關(guān)系的討論,矩陣之間的這些關(guān)系的刻畫又可以用相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形,以及相應(yīng)變換的不變量表達(dá).所有這一切的根本思路只有兩個(gè)字:化簡!

    (ii) 教學(xué)的設(shè)計(jì)

    要像關(guān)注學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)一樣關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累.人們往往非常關(guān)注學(xué)生已有的知識(shí)是否滿足課程內(nèi)容的邏輯需求,而不太考慮學(xué)生是否具備學(xué)習(xí)課程知識(shí)的經(jīng)驗(yàn).實(shí)際上,既有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)構(gòu)建概念印象都是不可或缺的.比如,中學(xué)數(shù)學(xué)大都只涉及數(shù)值計(jì)算,用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算、推理較少,所以,在處理矩陣問題時(shí),基于對(duì)其元素作數(shù)值計(jì)算進(jìn)行的討論往往容易為學(xué)生掌握,但把矩陣作為整體的符號(hào)操作常讓學(xué)生感到困難.因此,課堂教學(xué)應(yīng)該由易到難,由簡到繁,讓學(xué)生漸漸積累這方面經(jīng)驗(yàn).符號(hào)操作是學(xué)會(huì)一般化思考重要的一環(huán),也是在學(xué)習(xí)抽象的代數(shù)概念時(shí)構(gòu)建概念印象的重要背景.

    讓學(xué)生參與概念的建立.學(xué)生只有理解構(gòu)造概念背后的理由以及論證的正當(dāng)性,才不至于只知道背誦定義及算法.例如,一般地,齊次線性方程組有無窮多個(gè)解,但它們可以用有限多個(gè)解表達(dá),因而要建立向量空間及基的概念.將向量空間概念更一般化,就可得到用公理化方式定義的線性空間.

    培養(yǎng)學(xué)生的直覺,并幫助學(xué)生建立其直覺與解析表達(dá)之間的聯(lián)系,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)直覺.例如,這樣證明矩陣乘積的結(jié)合律:對(duì)A=(aij)s×m,B=(bij)m×n,和列向量x=(x1,x2,…,xn)T,由觀察可知,如果將B用列向量表示成B=(b1,b2,…,bn),則

    AB=(Ab1,Ab2,…,Abn),Bx=x1b1+x2b2+…+xnbn,

    因此,對(duì)任意列向量x,

    (AB)x=(Ab1,Ab2,…,Abn)x=x1Ab1+x2Ab2+…+xnAbn,

    A(Bx)=A(x1b1+x2b2+…+xnbn)=x1Ab1+x2Ab2+…+xnAbn.

    因此,對(duì)列向量x,有結(jié)合律(AB)x=A(Bx).這時(shí),自然就會(huì)猜測,對(duì)任意C=(cij)n×t,(AB)C=A(BC)應(yīng)該也成立.其實(shí),這時(shí)其證明也水到渠成了:

    (AB)C=(AB)(c1,c2,…,ct)=((AB)c1,(AB)c2,…,(AB)ct)
    =(A(Bc1),A(Bc2),…,A(Bct))=A(Bc1,Bc2,…,Bct)=A(BC).

    鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)理解證明,而不僅是理解證明的每個(gè)步驟.讀懂證明是建立不同主題間聯(lián)系、構(gòu)建概念印象非常有效的途徑.但是,對(duì)不少學(xué)生來說,理解證明極具挑戰(zhàn)性,教師的作用不可少.比如,證明 “若A是實(shí)對(duì)稱矩陣,則存在實(shí)對(duì)稱矩陣B,使得B3=A”.由于每個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣都正交相似于實(shí)對(duì)角陣,且很容易將一個(gè)實(shí)對(duì)角陣寫成另一個(gè)實(shí)對(duì)角陣的立方.這里,最重要的是“化簡”.其實(shí),“化簡”是解決任何問題最基本的策略.線性代數(shù)很大的篇幅都是在介紹為什么要將對(duì)象化簡,化簡的辦法,以及如何通過化簡解決問題.

    合理分配學(xué)時(shí).與其它數(shù)學(xué)課程相比,線性代數(shù)有更多概念、定理,理解概念是學(xué)好線性代數(shù)最重要的一環(huán),而理解概念的關(guān)鍵是要建立有效的概念印象,概念印象的建立則是一個(gè)復(fù)雜的精神活動(dòng)過程,需要一定的時(shí)間周期,不是簡單的邏輯推理表演,更不能速成.

    (iii) 習(xí)題的設(shè)置

    習(xí)題的設(shè)置應(yīng)該配合各層面概念印象的構(gòu)建.習(xí)題可以為推出新的概念或給出困難定理的證明做些鋪陳;一些簡短而結(jié)果又出乎意料的證明題,可以激發(fā)學(xué)生對(duì)于“證明”的興趣;涉及不同概念的習(xí)題可以使學(xué)生有更多將不同主題聯(lián)系起來的機(jī)會(huì);許多問題可以用各種標(biāo)準(zhǔn)形(等價(jià)、相似、合同變換下的標(biāo)準(zhǔn)形)得到解決,這方面的習(xí)題有助于增強(qiáng)從整體上理解線性代數(shù)理論的意識(shí).

    (iv) 實(shí)踐活動(dòng)

    實(shí)踐活動(dòng)也有助于概念印象的建立.課程中的應(yīng)用案例、數(shù)學(xué)建模元素、利用計(jì)算機(jī)的輔助教學(xué)、分小組討論、學(xué)生演講、撰寫小論文等豐富了教學(xué)形式.毫無疑問,這些活動(dòng)都能起到豐富概念印象的效果,只要條件允許,都值得提倡.

    3 結(jié) 論

    教學(xué)是一種認(rèn)識(shí)活動(dòng),也是一個(gè)精神交流過程.充分理解教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn),了解學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,是提高教學(xué)效果的基本前提.“以學(xué)生為中心的教學(xué)”不應(yīng)只是形式上的,還應(yīng)落實(shí)到教學(xué)方案、教學(xué)過程的具體設(shè)計(jì).筆者在[4-5]曾做過探討,[1]的分析方法則使我們從新的角度進(jìn)行了思考.以上是我們在實(shí)踐過程中一點(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí)和體會(huì).

    致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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