概念印象與線性代數(shù)教學(xué)

周建華， 吳 霞， 盧 偉

(東南大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 南京211189)

1 引 言

網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的進(jìn)步，使得在線教學(xué)成了大家關(guān)注的重點(diǎn).但是，提高課程的教學(xué)效果不能只依賴教學(xué)形式和教學(xué)手段的豐富和改進(jìn)，還需要更深入地理解課程內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，更科學(xué)地設(shè)計(jì)教學(xué).

與其它公共數(shù)學(xué)課程相比，線性代數(shù)中會(huì)出現(xiàn)更多的抽象概念和定理，而對(duì)概念正確、有效的理解對(duì)學(xué)好線性代數(shù)極其重要.針對(duì)教學(xué)過程中的種種現(xiàn)象，常會(huì)自問：

(i) 怎樣判斷學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解？

(ii) 哪些因素會(huì)影響學(xué)生的理解？

(iii) 怎樣促進(jìn)學(xué)生的理解？

本文將利用[1]在分析人們對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知過程時(shí)提出的“概念定義”和“概念印象”，介紹筆者對(duì)上述問題的一些思考和在教學(xué)過程中的一些嘗試.

2 做好教學(xué)設(shè)計(jì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的理解

2.1 體現(xiàn)“理解”的標(biāo)志

判斷學(xué)生對(duì)概念是否理解的一個(gè)重要依據(jù)是他做題的情況.但是，如果結(jié)論只是“是”或“否”的話就太籠統(tǒng)了，因?yàn)椤袄斫狻庇胁煌膶哟?舉個(gè)例子：在講到線性相關(guān)性時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到類似下面的情況：

問題已知向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，證明α1+α2，α2+α3，α1+α3也線性無關(guān).

學(xué)生的證明因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，所以，存在全為零的數(shù)k1，k2，k3使得

k1α1+k2α2+k3α3=0，

(1)

因?yàn)閗1，k2，k3都等于零，所以

k3α1+k1α2+k2α3=0，

(2)

(1)+(2)得

(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0，

(3)

將(3)整理，得

k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α1+α3)=0，

(4)

因?yàn)閗1，k2，k3全為零，由(4)，α1+α2，α2+α3，α1+α3也線性無關(guān).

有類似問題的學(xué)生不是個(gè)別的.[2]形容學(xué)生在遇到類似的概念時(shí)，“猶如墜入了云里霧里，不知身在何處，更不知要去何方.”

上述過程顯示學(xué)生犯了邏輯錯(cuò)誤的同時(shí)，還表明他沒有真正理解線性相關(guān)性的概念，他只是試圖按定義的表述方式給出形式化的證明.按照[1，3]的說法，他對(duì)線性相關(guān)性概念沒有建立起足夠的“概念印象”.

盡管不同國家數(shù)學(xué)教學(xué)的環(huán)境不同，課程的設(shè)置方式和要求也有差異，但[2-3]的一些觀點(diǎn)對(duì)我們?nèi)匀痪哂薪梃b的價(jià)值.

在刻畫認(rèn)知結(jié)構(gòu)時(shí)，[1]用到了概念定義和概念印象兩個(gè)術(shù)語.概念定義指對(duì)概念非循環(huán)方式的準(zhǔn)確描述.通常地，在初中及初中之前的數(shù)學(xué)概念的定義都是非正式的，正式的定義從高中才開始出現(xiàn).這里所稱的概念印象不一定是指視覺意義上的圖形，而是指對(duì)概念的心里層面印象的總和.并不是所有概念印象都是“好”的.比如，講到等腰三角形，人們就會(huì)想到兩腰之夾角的角平分線既是三角形的高，也是中線；談到函數(shù)，有人就會(huì)認(rèn)為凡函數(shù)都有代數(shù)表示式.這都屬概念印象.概念定義和概念印象完全是兩碼事.在幼時(shí)，依靠 “直覺定義”.像 “白云”，“花朵”，“衣服”等是不需要給出文字形式的定義的，但對(duì)此卻有概念印象.有些概念的定義需采用文字形式，如“森林”可以用“許許多多樹在一起就成森林”來引入.這樣的定義假定在我們的視覺印象中有很多很多樹在一起，具有概念印象.

在線性代數(shù)中，所有概念都是用文字形式給出的，相應(yīng)的概念印象則隨學(xué)習(xí)過程逐漸建立起來.然而，[1]指出，在用到概念時(shí)，人們需要的是概念印象，而不是概念定義，概念定義是不活躍的，且容易被忘掉.在思維活動(dòng)中，概念印象則總要被喚醒.因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，死記硬背概念的定義沒有意義，對(duì)理解概念，形成豐富有效的概念印象才是最重要的.

解決問題的能力當(dāng)然是判斷學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)的重要方面，擁有有效的概念印象則是衡量學(xué)生理解的標(biāo)志.是否擁有好的概念印象可以從學(xué)生具備的能力上體現(xiàn)出來[3].

(i) 回憶而不僅是記住概念的能力

死記硬背概念的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)總會(huì)有很大的困難，但常常會(huì)遇到這樣的學(xué)生.他們非常努力地想要一字不差地背下概念的定義，但他們的記憶只能保持到期末考試結(jié)束.

曾向?qū)W生提出過這樣的問題：若向量組α1，α2，α3和β1，β2，β3都線性無關(guān)，問：α1+β1，α2+β2，α3+β3是否也一定線性無關(guān)？

一些學(xué)生會(huì)這樣嘗試：設(shè)

k1(α1+β1)+k2(α2+β2)+k3(α3+β3)=0，

試探著能否推出組合系數(shù)k1，k2，k3都等于零.另一些學(xué)生會(huì)這樣考慮：若

β1=-α1，β2=-α2，β3=-α3，

則α1+β1，α2+β2，α3+β3中的向量都是零向量，而含有零向量的向量組必定線性相關(guān).

顯然，前一類學(xué)生只是試圖逐字逐句地利用概念的定義來回答問題，后一類學(xué)生則建立了有效的概念印象，一遇到這個(gè)問題，就記起了與概念相關(guān)的刻畫，運(yùn)用相應(yīng)的命題找到了問題的答案.

(ii) 用自己的語言交流的能力

上面的這個(gè)例子也顯示了表征理解的另一個(gè)重要標(biāo)識(shí)：用自己的方式表達(dá)概念的能力.只靠死記硬背的學(xué)生，在處理問題時(shí)，思維被束縛在概念定義的形式上，只能逐字逐句地按照定義，形式地解決問題.擁有豐富概念印象的學(xué)生則不然，遇到與概念相關(guān)的問題時(shí)，只要瞥一下這個(gè)概念的名稱，他就會(huì)將與此有關(guān)的各種知識(shí)聯(lián)系起來，他的經(jīng)驗(yàn)就會(huì)起作用.他可以根據(jù)自己的理解，用自己的表達(dá)方式與人交流，而不必強(qiáng)迫自己從概念的原始定義出發(fā)，形式化地表達(dá)自己的想法.

(iii) 一般化思維的能力

所有的數(shù)學(xué)概念都是用一般性的術(shù)語定義的，但是，學(xué)生未必能用一般性的術(shù)語來思考.

還是以線性相關(guān)性為例.在大多數(shù)情形，學(xué)生從語義上理解其定義并沒有多大困難.課堂上，在給出定義后，老師都會(huì)給出一些具體的行(或列)向量組，判斷其線性相關(guān)性.對(duì)學(xué)生來說，這沒什么困難.學(xué)生也知道，要判斷一個(gè)具體的向量組的線性相關(guān)性，可以把問題化成一個(gè)齊次線性方程組，然后用Gauss消元法得出結(jié)論.但是，如果討論的向量組不是“具體的”，而是“抽象的”，許多學(xué)生就會(huì)感到困難.上文提到的那兩個(gè)例子就是例證.

(iv) 建立不同主題之間聯(lián)系的能力

不同主題之間錯(cuò)綜復(fù)雜的聯(lián)系是線性代數(shù)區(qū)別于其它數(shù)學(xué)課程的重要特征.還是以線性相關(guān)性為例.線性相關(guān)性概念貫穿于整個(gè)課程之中，它與行列式、線性方程組、矩陣、特征值和特征向量、線性變換、內(nèi)積等都密切相關(guān).曾經(jīng)有人說過，線性代數(shù)可以從任意一個(gè)主題出發(fā)建立整個(gè)理論體系.也許正因?yàn)檫@個(gè)原因，我們才能夠看到各種不同體系、不同設(shè)計(jì)的線性代數(shù)教材.多視角的特點(diǎn)既是線性代數(shù)吸引人的地方，也是學(xué)生感到困難的原因.事實(shí)上，不會(huì)建立不同主題之間的聯(lián)系，構(gòu)建有效的概念印象根本無從談起.

2.2 影響“理解”的因素

(i) 背景因素

知識(shí)背景是建立豐富概念印象的重要基礎(chǔ).微積分是與線性代數(shù)同時(shí)開設(shè)的另一門重要的數(shù)學(xué)課.不難發(fā)現(xiàn)在這方面這兩門課有明顯的不同.

在學(xué)生眼里，微積分是高中數(shù)學(xué)的自然延續(xù).在中學(xué)，他們學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)的函數(shù).微積分的討論對(duì)象基本沒變.并且，令人印象深刻的是，運(yùn)用微積分可以解決他們熟悉的，但原先無法解決的問題，比如，不規(guī)則圖形的面積、動(dòng)力學(xué)問題等等.相較而言，線性代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系要少.盡管中學(xué)似乎也涉及諸如線性方程組、解析幾何、內(nèi)積等，但中學(xué)數(shù)學(xué)與線性代數(shù)內(nèi)容的聯(lián)系是表面的.例如，談及線性方程組時(shí)，中學(xué)里只涉及2×2，至多3×3的方程組，并只關(guān)心它們的求解，不考慮這些方程組的表示、解的存在性和唯一性，更不涉及矩陣代數(shù)、行列式等.美國曾有人對(duì)數(shù)學(xué)教育專業(yè)的研究生做過調(diào)查，他們中13%的人認(rèn)為微積分于其職業(yè)沒有什么用處，而對(duì)線性代數(shù)，這一比例高達(dá)45%.數(shù)據(jù)從一個(gè)側(cè)面反映了微積分與線性代數(shù)的中學(xué)數(shù)學(xué)背景的差異.

另一方面，在中學(xué)數(shù)學(xué)，具有一般意義的證明僅僅出現(xiàn)在幾何.在中學(xué)生的印象中，幾何是需要證明的，但算術(shù)和代數(shù)則不需要.而且，與以往相比，幾何也已被嚴(yán)重削弱.高考對(duì)幾何證明的要求也差不多只剩下立體幾何中的三垂線定理了，平面幾何已不作要求.因此，相對(duì)于“計(jì)算”，學(xué)生對(duì)“證明”顯得生疏.同時(shí)，微積分中定理的數(shù)量也很有限，而線性代數(shù)則需要很多的定理和定理的證明.

從上述比較可以看出，與微積分相比，線性代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系要少很多.這也許就是在大學(xué)數(shù)學(xué)中微積分容易引起學(xué)生興趣，而線性代數(shù)卻不受待見的重要原因.

(ii) 課時(shí)因素

皮亞杰曾說過，一個(gè)概念在達(dá)到最后的平衡時(shí)看起來很簡單，但它的起源要復(fù)雜得多.由于線性代數(shù)課程的上述特點(diǎn)，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說，構(gòu)建有效的概念印象需要經(jīng)歷一個(gè)較長時(shí)間的過程.因此，在線性代數(shù)中建立有效的概念印象需要老師和學(xué)生付出更大的努力，花費(fèi)更多的時(shí)間.然而，線性代數(shù)是一門課時(shí)少、周期短的課程.在一些場合，甚至被當(dāng)作速成的課程開設(shè).

有的教材和課堂教學(xué)對(duì)課程中的一些細(xì)節(jié)采用了“實(shí)用化”的“省時(shí)”策略，一些問題被模糊了.有時(shí)，這會(huì)產(chǎn)生混亂.下面是一個(gè)典型的例子：多數(shù)教材都稱，1×1的矩陣可以等同于數(shù)，因此，對(duì)矩陣A=(1，2)T，B=(4，-1)，利用乘法結(jié)合律可得

(AB)n=(AB)(AB)…(AB)=A(BA)(BA)…(BA)B=A(BA)n-1B=A·2n-1·B=2n-1AB，

最后一個(gè)等號(hào)是因?yàn)橛脭?shù)左乘一個(gè)矩陣與右乘一個(gè)矩陣是等效的.這里，至少有兩點(diǎn)是模糊的：①用數(shù)右乘矩陣有沒有定義(實(shí)際上也沒有必要給出這個(gè)定義)？②如果把1×1的矩陣與數(shù)等同看待，1×1矩陣2n-1又如何與2×2矩陣AB相乘呢？

(iii) 維度因素

在微積分，從一元函數(shù)到多元函數(shù)的討論是一個(gè)非常耐心、謹(jǐn)慎的過程.先討論二元函數(shù)f∶2→、三元函數(shù)f∶3→，然后再過渡到對(duì)一般的n元函數(shù)f∶n→的討論.而且，n元函數(shù)還只是略提一下，更一般的函數(shù)f∶m→n則鮮有要求.

作為線性代數(shù)討論的主要對(duì)象，向量和矩陣實(shí)際上是多變元的，而且，在許多場合，必須把向量和矩陣作為整體，而不是按其分量來處置.然而，盡管學(xué)生在課程之前沒有接觸過高維空間，在課程中，卻沒有時(shí)間和耐心，完成從低維空間到高維空間的過渡.在一些線性代數(shù)課程中，還要討論抽象的向量，這對(duì)學(xué)生來說，難度就更大了.

線性代數(shù)沒有為學(xué)生做足夠的鋪墊，一些過程的缺失會(huì)帶來明顯的后果.比如，在通過對(duì)增廣矩陣作初等變換求解線性方程組時(shí)，總有一些學(xué)生會(huì)糾結(jié)于能否作初等列變換.一些并不是實(shí)質(zhì)性的問題常常會(huì)成為一些學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)程的障礙.

學(xué)生空間想象能力的訓(xùn)練，以及從低維的數(shù)組向量到一般的n維向量，再到抽象的向量的過渡，也是影響學(xué)生建立概念印象的因素.

2.3 促進(jìn)“理解”的措施

概念印象的豐富和優(yōu)化應(yīng)該貫穿于課程教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié).

(i) 教材的設(shè)計(jì)

不同的線性代數(shù)教材往往從一些特定的角度助力讀者概念印象的構(gòu)建.雖然不同的學(xué)生需要的教材不盡相同，但對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，教材不應(yīng)象科研著作，不能只是簡潔地按邏輯呈現(xiàn)材料.教材需要與學(xué)生分享隱藏在概念定義背后的思想過程、定理的智力需求和定理證明的動(dòng)機(jī).教材也不應(yīng)該是大量概念、定理的堆砌，如果不幫助學(xué)生分析定理和定理的證明，只是致力于讓學(xué)生弄懂那些對(duì)解題有用的定理的結(jié)論，其結(jié)果往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生只懂得在解題時(shí)找定理、用定理，無助于形成對(duì)理論整體的認(rèn)知.用一句俗話說，這會(huì)使得學(xué)生“只顧埋頭拉車，不知道抬頭看路”， 或者“只見樹木，不見森林”，在一定程度上妨礙學(xué)生的學(xué)習(xí).

教材不僅要讓學(xué)生知道有哪些定理以及這些定理有哪些用處，還應(yīng)通過那些定理以及定理的證明，讓學(xué)生意識(shí)到，線性代數(shù)實(shí)際上是在統(tǒng)一的思想下，圍繞諸如線性方程組、線性相關(guān)性、線性變換等少數(shù)幾個(gè)中心議題展開的，相關(guān)的討論都可轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣之間等價(jià)、相似、合同等關(guān)系的討論，矩陣之間的這些關(guān)系的刻畫又可以用相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形，以及相應(yīng)變換的不變量表達(dá).所有這一切的根本思路只有兩個(gè)字：化簡！

(ii) 教學(xué)的設(shè)計(jì)

要像關(guān)注學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)一樣關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累.人們往往非常關(guān)注學(xué)生已有的知識(shí)是否滿足課程內(nèi)容的邏輯需求，而不太考慮學(xué)生是否具備學(xué)習(xí)課程知識(shí)的經(jīng)驗(yàn).實(shí)際上，既有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)構(gòu)建概念印象都是不可或缺的.比如，中學(xué)數(shù)學(xué)大都只涉及數(shù)值計(jì)算，用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算、推理較少，所以，在處理矩陣問題時(shí)，基于對(duì)其元素作數(shù)值計(jì)算進(jìn)行的討論往往容易為學(xué)生掌握，但把矩陣作為整體的符號(hào)操作常讓學(xué)生感到困難.因此，課堂教學(xué)應(yīng)該由易到難，由簡到繁，讓學(xué)生漸漸積累這方面經(jīng)驗(yàn).符號(hào)操作是學(xué)會(huì)一般化思考重要的一環(huán)，也是在學(xué)習(xí)抽象的代數(shù)概念時(shí)構(gòu)建概念印象的重要背景.

讓學(xué)生參與概念的建立.學(xué)生只有理解構(gòu)造概念背后的理由以及論證的正當(dāng)性，才不至于只知道背誦定義及算法.例如，一般地，齊次線性方程組有無窮多個(gè)解，但它們可以用有限多個(gè)解表達(dá)，因而要建立向量空間及基的概念.將向量空間概念更一般化，就可得到用公理化方式定義的線性空間.

培養(yǎng)學(xué)生的直覺，并幫助學(xué)生建立其直覺與解析表達(dá)之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)直覺.例如，這樣證明矩陣乘積的結(jié)合律：對(duì)A=(aij)s×m，B=(bij)m×n，和列向量x=(x1，x2，…，xn)T，由觀察可知，如果將B用列向量表示成B=(b1，b2，…，bn)，則

AB=(Ab1，Ab2，…，Abn)，Bx=x1b1+x2b2+…+xnbn，

因此，對(duì)任意列向量x，

(AB)x=(Ab1，Ab2，…，Abn)x=x1Ab1+x2Ab2+…+xnAbn，

而

A(Bx)=A(x1b1+x2b2+…+xnbn)=x1Ab1+x2Ab2+…+xnAbn.

因此，對(duì)列向量x，有結(jié)合律(AB)x=A(Bx).這時(shí)，自然就會(huì)猜測，對(duì)任意C=(cij)n×t，(AB)C=A(BC)應(yīng)該也成立.其實(shí)，這時(shí)其證明也水到渠成了：

(AB)C=(AB)(c1，c2，…，ct)=((AB)c1，(AB)c2，…，(AB)ct)
=(A(Bc1)，A(Bc2)，…，A(Bct))=A(Bc1，Bc2，…，Bct)=A(BC).

鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)理解證明，而不僅是理解證明的每個(gè)步驟.讀懂證明是建立不同主題間聯(lián)系、構(gòu)建概念印象非常有效的途徑.但是，對(duì)不少學(xué)生來說，理解證明極具挑戰(zhàn)性，教師的作用不可少.比如，證明 “若A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在實(shí)對(duì)稱矩陣B，使得B3=A”.由于每個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣都正交相似于實(shí)對(duì)角陣，且很容易將一個(gè)實(shí)對(duì)角陣寫成另一個(gè)實(shí)對(duì)角陣的立方.這里，最重要的是“化簡”.其實(shí)，“化簡”是解決任何問題最基本的策略.線性代數(shù)很大的篇幅都是在介紹為什么要將對(duì)象化簡，化簡的辦法，以及如何通過化簡解決問題.

合理分配學(xué)時(shí).與其它數(shù)學(xué)課程相比，線性代數(shù)有更多概念、定理，理解概念是學(xué)好線性代數(shù)最重要的一環(huán)，而理解概念的關(guān)鍵是要建立有效的概念印象，概念印象的建立則是一個(gè)復(fù)雜的精神活動(dòng)過程，需要一定的時(shí)間周期，不是簡單的邏輯推理表演，更不能速成.

(iii) 習(xí)題的設(shè)置

習(xí)題的設(shè)置應(yīng)該配合各層面概念印象的構(gòu)建.習(xí)題可以為推出新的概念或給出困難定理的證明做些鋪陳；一些簡短而結(jié)果又出乎意料的證明題，可以激發(fā)學(xué)生對(duì)于“證明”的興趣；涉及不同概念的習(xí)題可以使學(xué)生有更多將不同主題聯(lián)系起來的機(jī)會(huì)；許多問題可以用各種標(biāo)準(zhǔn)形(等價(jià)、相似、合同變換下的標(biāo)準(zhǔn)形)得到解決，這方面的習(xí)題有助于增強(qiáng)從整體上理解線性代數(shù)理論的意識(shí).

(iv) 實(shí)踐活動(dòng)

實(shí)踐活動(dòng)也有助于概念印象的建立.課程中的應(yīng)用案例、數(shù)學(xué)建模元素、利用計(jì)算機(jī)的輔助教學(xué)、分小組討論、學(xué)生演講、撰寫小論文等豐富了教學(xué)形式.毫無疑問，這些活動(dòng)都能起到豐富概念印象的效果，只要條件允許，都值得提倡.

3 結(jié) 論

教學(xué)是一種認(rèn)識(shí)活動(dòng)，也是一個(gè)精神交流過程.充分理解教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，了解學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，是提高教學(xué)效果的基本前提.“以學(xué)生為中心的教學(xué)”不應(yīng)只是形式上的，還應(yīng)落實(shí)到教學(xué)方案、教學(xué)過程的具體設(shè)計(jì).筆者在[4-5]曾做過探討，[1]的分析方法則使我們從新的角度進(jìn)行了思考.以上是我們在實(shí)踐過程中一點(diǎn)粗淺的認(rèn)識(shí)和體會(huì).

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.