基于多參數(shù)穩(wěn)定分布的GBAS垂直保護級計算

孫 顥, 石瀟竹, 劉海穎, 李 賀

(1.南京航空航天大學航天學院, 江蘇 南京 210016;2.空中交通管理系統(tǒng)與技術國家重點實驗室, 江蘇 南京 210016)

0 引 言

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(global navigation satellite system, GNSS)的地基增強系統(tǒng)(ground based augmentation system, GBAS)為每個可見星提供測距誤差校正信息[1],這些校正極大地提高了飛機的定位精度,并支持精密進近和著陸操作[2]。為了進行完好性監(jiān)測,GBAS使用包絡模型方法計算每個可見星的測距誤差的包絡值[3]和保護級(protection level, PL)[4],PL是與給定完好性級別相關的GBAS定位誤差的范圍[5]。

GBAS測距誤差是各種分布不同的誤差源的混合,被國際民航組織和航空無線電技術委員會定義為無偏的高斯分布并建議采用高斯誤差包絡理論[6]。測距誤差的混合意味著GBAS誤差的實際分布會顯示出比高斯分布更厚的尾部[7]。為了確保實際測距誤差的尾部包絡,必須膨脹高斯邊界的標準差[8]。因此,使用高斯包絡理論計算的PL非常保守,降低了GBAS系統(tǒng)的可用性[9]。

近年來已經(jīng)發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定分布在處理厚尾分布信號,例如風能預測、地震子波估計等過程中可以準確表征厚尾分布,但是對于GBAS系統(tǒng)使用穩(wěn)定分布來描述誤差還鮮有研究,因此研究穩(wěn)定分布的適用性以解決GBAS中的高斯包絡問題有重要意義[10]。

在本文中,將使用仿真數(shù)據(jù)及設計實驗所得的數(shù)據(jù)對穩(wěn)定分布包絡理論進行評估。結(jié)果表明,兩參數(shù)穩(wěn)定包絡理論精確地描述了測距誤差的“厚尾性”,四參數(shù)穩(wěn)定包絡理論解決了測距誤差的“不對稱性”“非零均值”等問題。

1 高斯包絡模型的PL計算

在GBAS系統(tǒng)中,根據(jù)誤差的不同來源,將差分定位的誤差分為兩類:來自參考接收機的誤差和來自用戶端的誤差[11]。GBAS差分校正偽距測量誤差的方差[12-14]為

(1)

式中,σgnd,i是第i顆衛(wèi)星計算的GBAS地面站設備廣播的偽距校正誤差的標準差,是衛(wèi)星仰角的函數(shù)。根據(jù)航空無線技術委員會的規(guī)定,不同參考接收機對同一顆衛(wèi)星的偽距校正值誤差的標準差相同,且僅與該衛(wèi)星仰角相關。σair,i是第i顆衛(wèi)星計算出的機載用戶差分殘留誤差的標準差,是該衛(wèi)星仰角的函數(shù);σtropo,i是第i顆衛(wèi)星對流層延遲殘差的標準差[15];σiono,i是電離層延遲殘差的標準差[16]。

對于機載接收機,差分定位結(jié)果是一個加權最小二乘解[17]，可表示為

(2)

此時的定位域誤差為

(3)

式中,εv是定位域中的垂直定位誤差;Sv,i是第i個測距源的單位誤差向量在垂直方向的投影大小;ρi是偽距域的誤差[19]。

故由S確定的定位誤差方差為

(4)

式中,Sv,i是S中第3列第i行的元素,表示殘留到垂直定位誤差的第i個衛(wèi)星的偽距校正的投影系數(shù)。

因此,H0假設下的垂直保護級(vertical PL, VPL)可以通過將垂直定位誤差概率密度估計至同Pffnd相等來計算[20]:

VPLH0=KffndσV

(5)

(6)

圖1中給出了VPLH0和垂直定位誤差分布之間的數(shù)學關系。鐘狀的曲線表示零均值高斯誤差分布,式(6)中給出的Q函數(shù)代表高斯分布的誤差超出VPLH0的部分尾部的負數(shù)部分,即圖中紅色區(qū)域。

圖1 H0假設下的定位誤差分布

2 穩(wěn)定包絡模型的PL計算

2.1 穩(wěn)定分布與測距誤差

α穩(wěn)定分布模型的顯著特點是比常規(guī)的高斯信號或噪聲有更顯著的尖峰脈沖,因此其概率密度函數(shù)上具有顯著的拖尾現(xiàn)象[21]。

穩(wěn)定分布由α、β、γ、δ4個參數(shù)決定,假設有變量X及其獨立樣本X1、X2,則對于任何a>0,b>0,若存在一個正數(shù)c和實數(shù)d,使得

aX1+bX2cX+d

(7)

在穩(wěn)定分布的參數(shù)中,參數(shù)α稱為特征指數(shù),決定該分布脈沖特性的程度。α值越小,所對應分布的拖尾越厚,α值越大,分布越接近于高斯分布,最大值為2。參數(shù)β稱為對稱參數(shù),用于確定分布的斜度。β=0時對應于對稱分布,簡稱SαS。參數(shù)σ為分散系數(shù),又稱尺度系數(shù),它是關于樣本相對于均值的分散程度的度量,其含義類似于高斯分布中的方差。參數(shù)δ為位置參數(shù),與β一起決定分布的形狀。若滿足δ=0,σ=1,則Alpha穩(wěn)定分布稱為標準Alpha穩(wěn)定分布[22]。

關于穩(wěn)定分布,若X～S(α,β,σ,δ),那么對于任意a≠0,1,b∈R,有

aX+b～S(a,sign(a)β,|a|σ,aμ+b)

(8)

針對在穩(wěn)定包絡法計算PL的過程中需要將偽距域誤差投影到定位域的情況,本文給出了對穩(wěn)定分布隨機變量進行加權求和的公式,即對于任意Nj～S(α,βj,γj,δj),j=1,2,…,n,任意獨立的ω1,ω2,…,ωn,有

w1N1+w2N2+…+wnNn～S(α,β,σ,δ)

(9)

式中，

(10)

(11)

(12)

使用穩(wěn)定分布的加權求和特性解決PL計算的誤差投影問題時,不需要對分布函數(shù)進行卷積,相比于其他概率分布大大簡化了計算量[23]。

在實際應用中,對服從α穩(wěn)定分布的隨機序列進行參數(shù)估計至關重要。然而,由于一般的α穩(wěn)定分布不存在封閉的概率密度函數(shù)表達式,因此研究估計精度高、計算量小且參數(shù)適用范圍廣的四參數(shù)聯(lián)合估計方法仍是一項具有挑戰(zhàn)性的工作。目前,常用的α穩(wěn)定分布參數(shù)估計方法有:最大似然法[24-25]、樣本分位數(shù)法、特征函數(shù)法、分數(shù)階矩法等[26]。

2.2 兩參數(shù)穩(wěn)定分布包絡模型

在GBAS測距模型中,通常要求包絡模型是對稱的,對于穩(wěn)定分布來說,這意味著β=0。此外,通常將測距誤差的概率密度函數(shù)視為以原點為中心,這意味著δ=0。

根據(jù)式(3),GBAS定位域的垂直誤差是偽距誤差ρi和投影矩陣元素Sv,i的加權和,根據(jù)這個理論,提出了兩參數(shù)穩(wěn)定分布包絡模型。對于GBAS的每個測距源,可將測距誤差視為服從對稱穩(wěn)定分布:

ρi～SαS(α,σi),i=1,2,…,n

(13)

根據(jù)式(8),測距誤差的投影值即定位誤差也服從具有相同參數(shù)的對稱穩(wěn)定分布:

(14)

根據(jù)式(9),參數(shù)σi的加權和為

(15)

歸一化定位誤差為εv/σ=SαS(α,1),則

VPL/σ=QSαS(Prisk;α,1)

(16)

式中,QSαS(Prisk;α,1)是Prisk下穩(wěn)定分布的分位數(shù)。

2.3 四參數(shù)穩(wěn)定分布包絡模型

兩參數(shù)穩(wěn)定分布包絡模型可以很好地代替零均值高斯模型,解決了樣本 “厚尾性”的問題,但是在實際情況中,不同衛(wèi)星的偽距誤差還可能會表現(xiàn)為“非零均值”和“不對稱”的現(xiàn)象。因此,面對這些問題,需要更加精確的模型。

在前文中介紹過,參數(shù)β和δ決定了分布的形狀,如圖2所示,兩幅圖分別描述了參數(shù)β和δ對于穩(wěn)定分布的影響。因此,將參數(shù)β和δ加入到PL的計算過程中可以有效提高計算的精度。

圖2 β和δ參數(shù)對穩(wěn)定分布的影響

可以看到,β參數(shù)會影響所描述的誤差樣本的對稱性,而δ參數(shù)會影響所描述的誤差樣本的均值大小。因此,這兩個參數(shù)的加入可以配合α和σ參數(shù),更加精確地描述誤差樣本。

對于GBAS每個衛(wèi)星的每個測距源,將測距誤差及建模為四參數(shù)穩(wěn)定分布[27]:

ρi～SαS(α,βi,σi,δi),i=1,2,…,n

(17)

則加權的定位域誤差為

(18)

在確定每個測距源的特征指數(shù)α后,根據(jù)式(9)～式(11),可以得到通過Sv,i加權后的β、σ、δ,因此

P(εv≥VPL)≤Prisk

(19)

VPL=QS(Prisk;α,β,γ,δ)

(20)

值得注意的是,穩(wěn)定分布的相加穩(wěn)定性要求所有隨機變量的特征指數(shù)α相同,因此在對每個衛(wèi)星的測距誤差進行處理時,可以指定α參數(shù)相同并取值為所有衛(wèi)星測距源估計得到的所有α值的平均值。此外,由于在參數(shù)估計過程中σ和δ的估計和α、β相互獨立,所以不同衛(wèi)星的α參數(shù)的變化不會影響β和δ的值。

3 實驗驗證及分析

3.1 實驗流程

分別采用仿真數(shù)據(jù)和實驗數(shù)據(jù)對于上述理論進行檢驗。實驗流程如圖3所示,步驟如下:

步驟 1獲取衛(wèi)星星歷并解碼衛(wèi)星信號,計算仰角、用戶位置和衛(wèi)星位置等信息;

步驟 2載波平滑偽距[28],并計算每個衛(wèi)星的偽距校正信息;

步驟 3根據(jù)采樣時衛(wèi)星和用戶的信息計算G矩陣和W矩陣,并根據(jù)可見星的數(shù)目確定采樣時刻對應的S矩陣;

步驟 4對于誤差模型,建立穩(wěn)定分布并選用最大似然估計法進行參數(shù)估計,將估計得到的參數(shù)進行加權以得到定位域中的參數(shù)[29];

步驟 5進行分位數(shù)及PL計算。

3.2 模擬數(shù)據(jù)仿真結(jié)果

基于圖3流程,對GBAS單個歷元的誤差進行蒙特卡羅仿真[30],其中測距誤差模型使用了航空無線電技術委員會DO-245A標準,通過設置不同的可見星數(shù)目,得到高斯包絡與穩(wěn)定包絡計算的PL對比如圖4所示。

圖3 實驗流程圖

圖4 模擬數(shù)據(jù)仿真結(jié)果

可以看到在不同的可見星數(shù)目的情況下,PL有較大的波動,但穩(wěn)定包絡理論計算的保護級始終比高斯包絡法計算得到的PL更加精確,消除了高斯包絡過于保守的問題。

如圖5所示,通過穩(wěn)定分布計算的VPL(粉紅色線條)在5.4 m左右,高斯分布計算的VPL則在5.8 m左右。通過對比可以看出,使用穩(wěn)定分布包絡的PL計算方法提高了導航系統(tǒng)的完好性。

圖5 垂直保護級計算結(jié)果

3.3 實驗數(shù)據(jù)計算結(jié)果

使用多個接收機模擬GBAS地面站以及機載系統(tǒng),測量得到一段時間內(nèi)的星歷數(shù)據(jù)以及觀測數(shù)據(jù)并對數(shù)據(jù)進行處理,對穩(wěn)定包絡的計算方法進行評估,分別使用兩參數(shù)與四參數(shù)的方法計算VPL。

通過實驗,可以得到如下的散點圖及其局部放大圖(見圖6和圖7),圖中色溫越高的地方樣本密度就越大,結(jié)果表明在過程中未出現(xiàn)定位誤差大于PL的狀況,證明誤差都被完美包絡在保護級內(nèi)。

圖6 穩(wěn)定包絡保護級散點圖

圖7 高斯包絡PL散點圖

使用3種不同的包絡模型在一段連續(xù)時間內(nèi)的計算的保護級如圖8所示,在99%置信度下使用3種方法計算得到的PL均值如表1所示。結(jié)果表明兩參數(shù)與四參數(shù)穩(wěn)定包絡理論計算得到的保護級更加精確,解決了高斯包絡法計算PL時過于保守的問題。

圖8 PL與定位誤差

表1 通過3種分布計算的VPL

通過選取了第200組的加權參數(shù)估計的結(jié)果來進行比較,結(jié)果如表2所示,穩(wěn)定分布的尾部分布情況如圖9所示。結(jié)果顯示四參數(shù)穩(wěn)定分布包絡的尾部相比兩參數(shù)包絡的更厚,更加符合PL計算環(huán)境的實際情況,更精準地描述了誤差樣本。同時，由于四參數(shù)穩(wěn)定包絡理論中新加入?yún)?shù)β和δ的特性,不但解決了在高斯包絡理論中誤差樣本“厚尾性”的問題,還解決了在兩參數(shù)穩(wěn)定包絡理論中誤差樣本存在的“不對稱性”“非零均值”的問題。

表2 兩種理論估計得到的參數(shù)

圖9 穩(wěn)定包絡概率密度

4 結(jié)束語

本文使用一種穩(wěn)定分布替代高斯分布包絡GBAS系統(tǒng)誤差的方法,通過模擬數(shù)據(jù)和實驗測量數(shù)據(jù)對于穩(wěn)定包絡算法進行了驗證。結(jié)果表明,多參數(shù)穩(wěn)定包絡理論解決了高斯包絡理論計算過于保守的問題,且在同樣的計算復雜度下提高了GBAS系統(tǒng)的PL計算精度和完好性。此外,四參數(shù)穩(wěn)定分布相比于兩參數(shù)還具有更好的包絡效果。在下一步的工作中將致力于將穩(wěn)定分布與多星座、多頻率導航系統(tǒng)完好性進行更深度的結(jié)合,探索在更少計算復雜度的情況下提升系統(tǒng)完好性的方法。