基于負(fù)熵最大化的壓縮感知信道估計算法

趙迎新, 王長峰, 吳 虹,*, 張 銘, 黃英杰, 王樂耕, 劉之洋

(1.南開大學(xué)電子信息與光學(xué)工程學(xué)院, 天津 300350;2.天津市光電傳感器與傳感網(wǎng)絡(luò)技術(shù)重點實驗室, 天津 300350)

0 引 言

隨著大規(guī)模機(jī)器通信與物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展,通信技術(shù)向著“全覆蓋、全頻譜、全應(yīng)用”的方向發(fā)展,未來通信網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)將向著蜂窩移動通信和衛(wèi)星通信結(jié)合的方向發(fā)展,這就不可避免地增大無線通信頻譜使用范圍,使得信道的稀疏性變得尤其明顯[1-2]。壓縮感知技術(shù)可以對存在稀疏性的信號進(jìn)行采樣編碼,并且利用信號重構(gòu)算法恢復(fù)原始稀疏信號。有研究[3]表明,可以利用壓縮感知技術(shù)對存在稀疏表現(xiàn)的信道進(jìn)行估計,獲取信道狀態(tài)信息。利用壓縮感知的傳統(tǒng)信道估計算法,主要分為貪婪算法,凸優(yōu)化類算法以及組合優(yōu)化算法3類。以匹配追蹤(matching pursuit, MP)算法、正交MP(orthogonal MP, OMP)算法為代表的貪婪類算法進(jìn)行信道估計時,需要提前了解稀疏信道的稀疏度等先驗信息,往往難以直接獲取[4]。而以基追蹤(basic pursuit, BP)算法、最小絕對值收斂和選擇(least absolute shrinkage and selection operation, LASSO)算法為代表的凸優(yōu)化類算法對信道中的非高斯噪聲難以適應(yīng),對復(fù)雜噪聲缺乏足夠的魯棒性[5-6]。針對這種情況,國內(nèi)外學(xué)者提出了若干種LASSO改進(jìn)算法,其中包括加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)LASSO算法[7]等。選取加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)LASSO算法作為本文提出算法的對照算法之一,加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)LASSO算法在傳統(tǒng)的LASSO算法基礎(chǔ)上,通過循環(huán)迭代優(yōu)化l1范數(shù)前的權(quán)重w,從而達(dá)到更高的迭代速度與精度。組合優(yōu)化算法雖然對于信道狀態(tài)信息的求解精度高,但是對于觀測向量的需求量極大,并且求解迭代收斂速度緩慢。

本文針對凸優(yōu)化類算法面對信道復(fù)雜噪聲時魯棒性差的問題,通過利用負(fù)熵最大化算法替代誤差函數(shù)最小化的同時，將稀疏約束優(yōu)化為更為精確的lp范數(shù),提出了一種新的基于LASSO的改進(jìn)算法。

1 傳統(tǒng)基于壓縮感知的信道估計方法

隨著海量機(jī)器通信的發(fā)展,無線通信傳輸帶寬大大變寬,此時信道表現(xiàn)出明顯的稀疏特性。能充分利用稀疏性的壓縮感知技術(shù)被引入到信道估計領(lǐng)域中。壓縮感知是一種新的信號采樣原理,該理論指出只要信號在某一變換域中是稀疏的,就可以通過構(gòu)造觀測矩陣將該稀疏信號映射到低維空間,進(jìn)而通過求解優(yōu)化問題還原出原稀疏信號[8]。根據(jù)壓縮感知的理論描述,對于稀疏信號的壓縮采樣過程可以描述為

y=Φs

(1)

式中,Φ是大小為M×N的觀測矩陣,作用是對信號進(jìn)行降維;s是N×1的稀疏向量,稀疏度為K。在δk∈(0,1)的條件下,觀測矩陣需要滿足[9]有限等距(restricted isometry propetry, RIP)準(zhǔn)則:

(2)

壓縮感知算法的目的是利用觀測向量y與觀測矩陣Φ還原出稀疏信號。利用原信號的稀疏性,可以將壓縮感知的求解問題模型表示為

s.t.y=Φs

(3)

該問題是一個非線性問題,求解過程復(fù)雜,針對這個問題,學(xué)者提出了一系列算法來求解,其中以凸優(yōu)化算法中的LASSO算法[10]最具代表性,在LASSO算法中,使用l1范數(shù)來替代l0范數(shù),將求解模型轉(zhuǎn)化為

s.t.y=Φs

(4)

將稀疏約束作為懲罰項:

(5)

式中,非負(fù)數(shù)λ為正則化參數(shù),用于權(quán)衡約束項與誤差項。

隨著無線通信傳輸帶寬的增加,信道響應(yīng)呈現(xiàn)出明顯的稀疏性,以正交頻分單用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)系統(tǒng)為例,當(dāng)相干時間大于一個符號周期時,信道響應(yīng)可以被稀疏表示為

(6)

式中，ηi表示多徑中第i條路徑的衰減系數(shù);τi表示多徑中第i條路徑的時延;k表示多徑的數(shù)量。大多數(shù)多徑信道能量較小,可以認(rèn)為多徑系數(shù)為零,只有幾個能量較大的多徑且相隔較遠(yuǎn)。設(shè)信源發(fā)送信號為X′=[x0,x1,x2,…,xN-1],經(jīng)過無線多徑信道可得到頻域信宿接收的信號，壓縮感知信道估計模型為

Y=XH+N=X(Wh)+N

(7)

式中，X=diag(x0,x1,x2,…,xN-1);Y=[y0,y1,y2,…,yN-1]T;W為快速傅立葉變換(fast Fourier transform, FFT)矩陣;N為信道加性噪聲干擾。導(dǎo)頻處的接收信號為

Yp=(XpWp)h+Np

(8)

由于信道噪聲Np在頻域不具有稀疏性,故在利用壓縮感知中的LASSO算法的過程中可自然忽略。類比壓縮感知模型y=Φs,即可重構(gòu)出稀疏信道響應(yīng)h(τ):

(9)

2 基于負(fù)熵最大化并結(jié)合lp正則化的壓縮感知信道估計算法

隨著研究發(fā)現(xiàn),只有當(dāng)信道干擾噪聲為高斯型噪聲時,上述壓縮感知信道估計算法通常才具有比較優(yōu)越的性能。但是在后5G時代,隨著地面網(wǎng)絡(luò)與天基衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)的結(jié)合,引入的雨衰與頻率峰值吸收現(xiàn)象,給無線信道帶來了大量的脈沖噪聲[11]。針對這些情況,傳統(tǒng)的LASSO算法并不能高性能地恢復(fù)出信道信息。為了提高信道估計的精確度,本文依據(jù)信息論中的最大負(fù)熵理論和稀疏編碼策略,從以下兩個方面提出新型壓縮感知信道估計思路與方案。

2.1 稀疏約束:lp正則化

信道估計中的壓縮感知算法為了保證重構(gòu)出的信道信息具有稀疏性,通常在基本模型中加入正則化條件進(jìn)行稀疏約束,傳統(tǒng)的LASSO算法使用l1范數(shù)進(jìn)行稀疏約束。從賦范空間的角度考慮,圖1是二維向量在lp(0≤p≤1)范數(shù)下定義的單位球。

圖1 lp(0≤p≤1)范數(shù)下定義的單位球

雖然用l1范數(shù)替代l0范數(shù)能夠使問題簡化,但不可避免地引入稀疏性精確度的誤差,但是如果使用lp(0≤p≤1)范數(shù)卻能夠極大程度地減小該誤差。因此本文將引入lp(0≤p≤1)范數(shù)作為問題的稀疏約束,并比較其與傳統(tǒng)的利用l1范數(shù)作為稀疏約束的LASSO算法的性能差異。

lp(0≤p≤1)范數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(10)

研究[12]表明，當(dāng)0.5≤p≤1,p值越小,稀疏性表達(dá)準(zhǔn)確度越高,但是當(dāng)0≤p≤0.5時,p值的減小卻沒有明顯帶來稀疏性表達(dá)準(zhǔn)確度的提高,反而極大地提高了計算的復(fù)雜度,故本文采用l0.5范數(shù)作為稀疏約束進(jìn)行壓縮感知信道估計。

在傳統(tǒng)利用l1范數(shù)作為稀疏約束的LASSO信道估計算法[13-14]中,通過定義一個替代函數(shù)g(h,hk-1)估計信道狀態(tài)信息:

(11)

通過求解函數(shù)g(h,hk-1)的極值即可達(dá)到求得函數(shù)f(h)的極值的目的,估算出稀疏信道的狀態(tài)信息。

通過對式(11)的化簡可得

(12)

可以發(fā)現(xiàn)這是一個經(jīng)典的軟閾值函數(shù)求解極值問題,根據(jù)軟閾值函數(shù)求解極小值的模型[15-16],由式(12)可以求解出稀疏向量的每一個元素,即得到式(12)的最優(yōu)解:

(13)

式中，βk-1=hk-1+η(XpWp)T[Yp-(XpWp)hk-1]。

同理,采用lp(0≤p≤1)范數(shù)作為稀疏約束時,求解稀疏信道向量h可以表示為

(14)

根據(jù)LASSO算法的求解過程可以將其轉(zhuǎn)化為

(15)

(16)

當(dāng)p=0.5時有

可得

hopt=

(17)

2.2 誤差函數(shù):負(fù)熵最大化

根據(jù)香農(nóng)信息論,在所有等方差的隨機(jī)變量中,高斯變量的熵值最大,即可以用熵值來衡量變量的高斯性。由此可得負(fù)熵值是衡量變量的非高斯性的一個重要指標(biāo),負(fù)熵越大,變量的非高斯性就越強(qiáng)。

為了提高傳統(tǒng)的LASSO算法對于復(fù)雜信道噪聲的魯棒性,增強(qiáng)其對信道非高斯型噪聲的適應(yīng),本文提出以負(fù)熵為誤差函數(shù)的建模思路。算法在迭代運(yùn)算過程中,通過最大化誤差函數(shù)的負(fù)熵使得其高斯性得到增強(qiáng),并且可以容忍小的分量誤差的存在,以此換來在顯著非零分量上的高精度,提高模型對誤差的容錯能力。通過最大化誤差函數(shù)的負(fù)熵使得算法能夠更好地適應(yīng)信道脈沖噪聲等復(fù)雜噪聲的干擾,從而更加有效而精確地進(jìn)行稀疏信道重建。

負(fù)熵的定義式為

N(e)=H(eGuass)-H(e)

(18)

N(e)={E[G(e)]-E[G(eGuass)]}2

(19)

式中，E(·)表示數(shù)學(xué)期望；G(·)表示非線性函數(shù)運(yùn)算,常用的非線性函數(shù)有tanh(c·e),e3log(cosh(c·e))等,c為仿真選用的隨機(jī)參數(shù)。

根據(jù)最大負(fù)熵理論,可以將壓縮感知信道估計模型式(8)表示為

(20)

根據(jù)最大負(fù)熵理論可知E[G(e)]≤E[G(eGuass)],故式(20)等價于

(21)

針對式(21)的求解,本文通過多次迭代求取局部最小解使得目標(biāo)函數(shù)收斂于全局最小值。首先，令函數(shù)在初始向量h0對其進(jìn)行一階泰勒展開:

(22)

通過求取h0鄰域函數(shù)的極小值點hk,將其作為下一次迭代的起始點。通過多次迭代,使得局部最小值點收斂于全局最小值點,即可求出信道狀態(tài)信息。其數(shù)學(xué)模型可表示為

(23)

為求解式(23),根據(jù)文獻(xiàn)[18]提出的近似點算法,構(gòu)造一個替代函數(shù)J(h,hk-1)取代目標(biāo)函數(shù)f(h)：

(24)

(25)

采用G(e)=log(cosh(c·e))作為負(fù)熵中的非線性函數(shù),可求得迭代結(jié)果為

(26)

加入稀疏約束l0.5范數(shù),式(26)進(jìn)一步表達(dá)為

(27)

令βk-1=hk-1-η(XpWp)Ttanh[c(XpWp)hk-1-Yp],由l0.5正則化的計算過程及軟閾值函數(shù)的求解模型可知,求得的稀疏信道響應(yīng)為

(28)

綜上所述,本文提出的信道估計算法模型由lp正則化稀疏約束以及誤差函數(shù)的負(fù)熵最大化兩部分構(gòu)成。算法的求解過程通過在目標(biāo)函數(shù)的初始點上進(jìn)行一階泰勒展開,進(jìn)而利用近似點算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行添加配方項,將其轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)二次函數(shù)的形式,最后利用lp正則化稀疏約束,通過利用軟閾值函數(shù)求解模型,多次迭代使得目標(biāo)函數(shù)收斂于全局最小值點,即可估計出信道狀態(tài)信息。算法1具體步驟如下。

算法1 基于負(fù)熵最大化與lp正則化的稀疏信道估計算法輸入 接收信號導(dǎo)頻處信息Yp,發(fā)送信號導(dǎo)頻處信息Xp,FFT矩陣Wp輸出 稀疏信道狀態(tài)信息h初始化η∈(0,1‖(XpWp)T(XpWp)‖2),λ>0,h0∈RN,k=1循環(huán)執(zhí)行步驟1～步驟3步驟1 βk-1=hk-1-η(XpWp)Ttanh[c(XpWp)hk-1-Yp]步驟2 hki=γsign(max(0,|βk-1i|-32λη23))步驟3 k=k+1當(dāng)誤差函數(shù)收斂于全局最優(yōu)解時停止循環(huán)迭代

3 系統(tǒng)仿真與性能比較

為了驗證基于負(fù)熵最大化和lp正則化的壓縮感知信道估計算法的有效性，本文搭建了一個OFDM無線傳輸系統(tǒng)，在發(fā)送端采用插入導(dǎo)頻的方式，估計不同噪聲類型干擾下的信道信息，并與傳統(tǒng)的最小均方(least square, LS)信道估計算法，LASSO 壓縮感知算法以及加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)LASSO算法進(jìn)行對比，分析不同算法的信道估計性能。信道模型為瑞利信道，信道干擾噪聲分別為加性高斯噪聲和脈沖噪聲。系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，算法參數(shù)如表2所示。

表1 OFDM系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

表2 算法參數(shù)設(shè)置

在系統(tǒng)信噪比(signal to noise ratio, SNR)為16 dB的情況下，不同算法估計的信道沖擊響應(yīng)與真實信道沖擊響應(yīng)的對比圖如圖2和圖3所示。其中，圖2和圖3分別為信道干擾噪聲為高斯型噪聲與非高斯型噪聲的情況，Error表示估計信道沖擊響應(yīng)與真實信道響應(yīng)的相對誤差值。從圖2和圖3可以看出,LS算法，LASSO算法、加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)LASSO算法以及基于負(fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法雖然均基本估計出了稀疏信道響應(yīng)的位置，但是LS算法卻未能較好地體現(xiàn)出信道的稀疏性，在真實信道響應(yīng)為0的位置存在一個微小的數(shù)值，LASSO在非零位置的信道估計幅度精度存在較大誤差，加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)LASSO算法能較準(zhǔn)確地估計出狀態(tài)信息，但與本文提出的算法相比，無論在估計稀疏信道位置或信道響應(yīng)幅度上，基于負(fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法均展現(xiàn)出更優(yōu)良的性能。

圖2 高斯噪聲下估計信道與真實信道對比

圖3 脈沖噪聲下估計信道與真實信道對比

在高斯噪聲干擾下，LASSO算法、加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)LASSO算法和基于負(fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法的精度相差不大，然而在脈沖噪聲干擾的情況下，LASSO算法信道估計的精度明顯下降，加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)LASSO算法信道狀態(tài)估計表現(xiàn)不佳，顯示出其在復(fù)雜噪聲條件下的魯棒性較差。本文提出的算法在脈沖噪聲條件下表現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢，信道估計相對誤差值低，表現(xiàn)了該算法對于非高斯型噪聲良好的適應(yīng)性。

本文搭建的系統(tǒng)在發(fā)送端的子載波中等間隔地插入13個導(dǎo)頻，利用LS算法、LASSO算法、加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)LASSO算法和基于負(fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法進(jìn)行信道估計。圖4和圖5為信道干擾噪聲為高斯噪聲情況下，在上述兩種情況下，不同算法的信道估計均方誤差(mean square error, MSE)和信號傳輸誤比特率(bit error rate, BER)情況。

圖4 高斯噪聲情況下信道估計MSE隨SNR的變化曲線

圖5 高斯噪聲情況下信息傳輸BER隨SNR的變化曲線

從圖4和圖5可以看出，總體來說當(dāng)信道干擾噪聲為高斯型噪聲時，LASSO算法、加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)LASSO算法與基于負(fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法對于信道狀態(tài)信息的估計性能相差不大，但是在低SNR的情況下，基于負(fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法有著更好的信道估計性能。

圖6和圖7是信道干擾噪聲為非高斯型脈沖噪聲情況下，不同算法信道估計MSE和信號傳輸BER情況。為了突出說明基于負(fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法在信道噪聲為非高斯噪聲時的性能優(yōu)勢，在原有仿真基礎(chǔ)上額外加入在發(fā)送端的72個子載波之間等間隔的插入25個導(dǎo)頻，利用LS算法進(jìn)行信道狀態(tài)信息估計的仿真對照。從圖6和圖7可以看出，當(dāng)信道干擾噪聲為脈沖噪聲時，此時基于負(fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法表現(xiàn)出相比于LS算法、LASSO算法以及加權(quán)范數(shù)LASSO算法更明顯的優(yōu)勢，體現(xiàn)為更低的信道估計MSE和信息傳輸BER，表現(xiàn)了更強(qiáng)的抗非高斯噪聲的性能?；谪?fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法使用13個導(dǎo)頻達(dá)到了比LS算法使用25個導(dǎo)頻更低的BER和信道估計MSE，充分體現(xiàn)了算法在提高信道估計性能的前提下，在降低導(dǎo)頻開銷，節(jié)省系統(tǒng)資源，提高頻帶利用率方面的優(yōu)越性。

圖6 脈沖噪聲下信道估計MSE隨SNR的變化曲線

圖7 脈沖噪聲下信號傳輸BER隨SNR的變化曲線

圖8為SNR為14dB，信道干擾噪聲為脈沖噪聲時，隨著信道稀疏度的變化，不同算法進(jìn)行信道估計時MSE的變化情況。

圖8 信道估計MSE隨信道稀疏度的變化曲線

隨著信道稀疏度的增加，不同算法對于稀疏信道的估計效果均在變差，但是基于負(fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法相較于其他算法均具有一定的優(yōu)勢，信道估計MSE仍然能夠保持在10-2數(shù)量級內(nèi)，反映出本文提出的算法對于信道稀疏度變化擁有良好的適應(yīng)性。

通過采取比較傳統(tǒng)LASSO算法、加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)LASSO算法以及基于負(fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法在同一平臺上的運(yùn)行時間，評估以上算法不同的算法復(fù)雜度對于通信系統(tǒng)整體性能的影響。仿真系統(tǒng)平均運(yùn)行時間如表3和表4所示。

表3 高斯噪聲情況下算法平均運(yùn)行時間

表4 非高斯噪聲情況下算法平均運(yùn)行時間

表3和表4表明,不論信道噪聲是高斯噪聲還是非高斯噪聲,基于負(fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法相較于傳統(tǒng)LASSO算法,算法系統(tǒng)平均運(yùn)行時間并沒有明顯增長,卻能夠顯著提升信道狀態(tài)信息估計精度。同時相較于加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)LASSO算法,基于負(fù)熵最大化及l(fā)p正則化的壓縮感知信道估計算法不僅在信道估計系統(tǒng)平均運(yùn)行時間上占據(jù)優(yōu)勢,同時信道狀態(tài)信息的估計也更為準(zhǔn)確。

4 結(jié) 論

本文提出一種基于負(fù)熵最大化并結(jié)合lp正則化的壓縮感知信道估計算法,仿真表明該算法能夠在不對通信系統(tǒng)造成明顯影響的前提下,對于非高斯信道噪聲條件下的信道估計具有更好的性能。同時該算法可以使用更少的導(dǎo)頻達(dá)到比傳統(tǒng)信道估計方法更好的效果,在適應(yīng)復(fù)雜噪聲干擾的同時,節(jié)約導(dǎo)頻開銷,提高頻譜利用率,為后5G時代全覆蓋、全頻譜、全應(yīng)用的無線通信所導(dǎo)致的稀疏信道估計提供了一個高效可行的技術(shù)方案。