具有性能預設的多機編隊目標跟蹤控制

張 毅, 方國偉, 楊秀霞

(1.海軍航空大學航空作戰(zhàn)勤務學院, 山東 煙臺 264001; 2.海軍航空大學岸防兵學院, 山東 煙臺 264001)

0 引 言

當前,無人機(unmanned aerial vehicle, UAV)編隊控制[1-3]是學者們研究的熱點問題之一。

UAV編隊常被應用在執(zhí)行類似人員搜救、對地面和海面目標偵查探測等一些特殊的任務,目標跟蹤就是其中一項重要的任務[4-6]。因此,一些學者將目標跟蹤與編隊控制問題結(jié)合起來進行研究[7-9]。文獻[7,9]分別基于Leader-Follower結(jié)構(gòu)和虛擬結(jié)構(gòu)編隊,設計了Leader無人機趨近目標的制導律和Follower無人機跟蹤Leader無人機的制導律,實現(xiàn)UAV編隊對目標的Standoff跟蹤。文獻[10]中呈現(xiàn)了基于卡爾曼濾波器的多UAV目標編隊控制,利用Laplacian矩陣刻畫UAV間的通信連接,并應用卡爾曼濾波器實現(xiàn)了多UAV編隊對目標軌跡的跟蹤。

隨著對控制要求的提高,對于編隊控制性能也有了更高的要求,不僅對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能有所要求,對瞬態(tài)性能也有一定的要求,并且很多情況下還對系統(tǒng)收斂的時間,即編隊形成時間也有一定的要求[11-13]。在這種背景下,希臘學者Bechlioulis等[14]首次提出預設性能控制(prescribed performance control, PPC)的概念,作為一種能夠預先描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)性能的方法,其核心的控制思想就是在確保目標跟蹤的誤差能夠收斂到預設的任意小的區(qū)域的同時,還能夠保證對超調(diào)量以及收斂速度的要求[15]。許多學者在此基礎上又進行了研究,并將其應用在一些實際的場景下[16-18]。文獻[16]將預設控制應用到二階的多智能體Leader-Follower編隊結(jié)構(gòu)的控制中,并在一致性控制的基礎上,通過單獨對Leader智能體設計性能控制律,實現(xiàn)編隊整體的性能控制。文獻[17]將該理論應用到無人車編隊的性能控制上,結(jié)合自適應控制實現(xiàn)了編隊隊形控制,既避免了碰撞,又確保了編隊的性能。文獻[19]基于預設性能控制研究了多導彈編隊控制問題,通過設計預設性能編隊控制器保證了編隊的精度,并提出了具有性能預設的主動避碰策略,避免了導彈間的碰撞。

隨著該理論的發(fā)展,部分學者提出了有限時間性能控制(finite-time performance control, FTPC)的概念[20-22]。文獻[20]針對嚴格反饋的非線性系統(tǒng),在反步法的基礎上定義了有限時間性能函數(shù),實現(xiàn)了在有限時間間隔內(nèi)收斂到預設的區(qū)域中。文獻[21]針對模型參數(shù)未知的歐拉-拉格朗日系統(tǒng)提出了魯棒預設性能控制,同時保證了有限時間的穩(wěn)定性和瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能。文獻[22]針對多機器人系統(tǒng),通過將有限時間與性能預設的概念融入到滑?？刂破鞯脑O計中,實現(xiàn)了分布式性能約束控制。文獻[23]提出一種預設時間的多智能系統(tǒng)控制方法,不同于傳統(tǒng)的兩種有限時間控制,它在保證所有智能體的狀態(tài)能夠趨于一致的前提下,實現(xiàn)了對收斂時間的提前預設。

結(jié)合當前對預設性能控制和UAV編隊目標跟蹤的研究現(xiàn)狀,可以得出具有性能預設的UAV編隊目標跟蹤控制存在的研究難點主要在于:① 在確保UAV間相位能夠預設的前提下,提出一種滿足UAV編隊目標跟蹤與隊形描述的方法;② 如何將編隊隊形描述方法融入到具有性能預設的編隊控制方法和控制律設計中;③ 針對不同性能需求,如何設計滿足要求的性能函數(shù),并基于同一編隊控制律實現(xiàn)對不同編隊性能的控制。

本文在基于3種運動方式的編隊隊形描述方法的基礎上,提出一種滿足預設性能的UAV編隊目標跟蹤算法。首先基于編隊隊形描述與目標跟蹤策略,構(gòu)建UAV編隊誤差模型,利用一致性控制思想將編隊誤差控制轉(zhuǎn)換為編隊鄰接誤差控制,同時通過誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)將受性能約束狀態(tài)下的誤差轉(zhuǎn)換為無約束狀態(tài)的誤差,并基于此給出一致性性能預設編隊控制律。其次針對不同性能需求,分別給出兩種不同類型的性能函數(shù),以結(jié)合控制律實現(xiàn)對編隊性能的預設控制,并進行了相應的穩(wěn)定性證明。最后，通過仿真證實了本文所設計的預設性能控制律能夠在兩種不同類型的性能函數(shù)約束下,實現(xiàn)對編隊性能的控制,達到目標跟蹤性能可控的目的。

1 問題描述和預備知識

1.1 問題描述

1.1.1 模型建立

本文主要研究的是多UAV編隊目標跟蹤問題,主要考慮UAV在定高狀態(tài)下,通過追蹤目標,并在目標上空周圍均勻分布跟蹤或進行360°盤旋跟蹤。針對問題背景,可將三維空間問題轉(zhuǎn)換為二維平面上進行問題討論,因此本文考慮采用如下模型作為UAV系統(tǒng)的研究模型:

(1)

式中,Θ={1,2,…,N};pi=[xi,yi]T和vi=[vix,viy]T分別為UAVi的位置與速度;ui=[uix,uiy]T為控制輸入。

本文將采用一種基于3種運動方式的編隊隊形描述策略,這其中需要引入兩架虛擬UAV,記為UAVl與UAVb,定義二者的動態(tài)模型分別為

(2)

(3)

式中,pl、vl和ul分別表示UAVl的位置、速度和控制輸入;pb、vb和ub分別表示UAVb的基準向量、基準變化量和基準控制量,需要注意的是此處的pb并非實際位置,僅表示相對位置。

1.1.2 圖論相關定義

本文以有向圖來表示UAV間以及UAV與虛擬UAV間的通信拓撲關系。定義有向圖G1=(V1,ε1),其中V1表示UAV的集合;ε1表示UAV間的通信關系集合,當(UAVi,UAVj)∈ε1時,表示UAVi可獲取來自UAVj的信息,并稱二者是鄰接的。定義鄰接矩陣A=[ai j]∈RN×N,ai j為(UAVi,UAVj)的權(quán)值,并滿足:

(4)

定義有向圖G2=(V2,ε2),其中V2表示UAVk與UAVi的集合,k∈{l,b};ε2表示UAVi與UAVk間的通信關系集合,當(UAVi,UAVk)∈ε2時,稱UAVi可獲取來自UAVk的信息,并定義矩陣A2=[aik]∈RN×2,aik表示(UAVi,UAVk)的權(quán)值,且

(5)

同時從式(5)中也可注意到,aki不存在,即UAVk不具備接收來自UAVi信息的能力。需要注意的是,當不考慮UAV間通信質(zhì)量時,ai j與aik取值為0或1。

定義G1的Laplacian矩陣L∈RN×N為

L=[li j]=D-A

(6)

1.1.3 目標跟蹤與編隊隊形描述方法

在對方法介紹之前,首先給出一個針對UAV間信息傳輸?shù)募僭O。

假設 1對于多UAV系統(tǒng)式(1)～式(3),UAVl與UAVb至少存在一條能夠到達所有UAVi的有向信息通路,且滿足所有UAVi接收到UAVl與UAVb的信息相同。

本文基于平移運動、旋轉(zhuǎn)運動以及縮放運動,給出一種隊形描述的方法,將3種基本運動作為描述隊形的基本變量,并定義編隊隊形參數(shù)組為

S(N)=[pl(t),pb(t),C1(t),…,CN(t)]

(7)

為實現(xiàn)編隊目標跟蹤期間的隊形保持,考慮pb=[cos(θ(t)),sin(θ(t))]T,且θ(t)=ω(t-t0),其中ω為旋轉(zhuǎn)角速度,表示目標跟蹤期間編隊盤旋運動的角速度,t0為編隊跟蹤上目標的時刻,即UAVl追蹤上目標的時間。

定義 1對任意給定的UAV初始狀態(tài),若

(8)

則稱通過控制編隊參數(shù)組S(N),實現(xiàn)了對UAV編隊的控制。

基于式(7)的編隊隊形描述方法是各UAVi以UAVb為基準,分別進行縮放與旋轉(zhuǎn)運動,以形成期望的幾何編隊隊形,其中ri決定了跟蹤期間UAV與目標間的間距,Ri決定了UAV與UAVl間的相位間距,確保相位的提前預設。同時UAV編隊保持與UAVl的相對位置,以保證跟蹤期間的編隊隊形,當UAVl追蹤上目標時,此時各UAV可保持預先設定的相位值分布在目標周圍,實現(xiàn)對目標的跟蹤。軌跡導引無人機UAVl追蹤目標軌跡如圖1所示。

圖1 UAVl跟蹤目標軌跡

定義UAVl跟蹤目標軌跡的運動規(guī)則如下。

步驟 3重復步驟2,直至UAVl追蹤上目標,且運動軌跡與目標軌跡重合。

結(jié)合上述目標跟蹤模型及編隊隊形描述方法,考慮本文的控制目標為針對多UAV系統(tǒng)式(1)～式(3),在編隊隊形參數(shù)組式(8)的控制下,通過設計一致性預設性能編隊控制律,并給出具備穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)性能約束的性能函數(shù),以確保編隊誤差能夠被約束在所設計的性能函數(shù)邊界內(nèi),實現(xiàn)性能預設的控制目的。

1.2 預備知識

引理1[24]在假設1存在的前提下,考慮一個非奇異M-矩陣W∈RN×N,W-1存在且非負,同時存在一個對角正定矩陣P=diag{p1,p2,…,pN},使得PW+WTP是對角且正定的,其中P=(diag(q))-1,q=[q1,q2,…,qN]T=W-11N。

考慮初值問題[25-26]:

(9)

式中,t∈R+;Ωy為非空開集;f:R+×Ωy→Rn。若式(9)的解y(t)的任意的右擴展都不是式(9)的解,則稱y(t)是式(9)的最大解。

引理 2[25](定理54) 考慮初值問題式(9),若f(t,y)滿足:① 對于?t∈R+,在y上是局部Lipschitz連續(xù)的;② 對每個固定的y∈Ωy在t上是分段連續(xù)的;③ 對固定的y∈Ωy在t上是局部可積的,那么在時間區(qū)間[0,tmax),tmax>0存在唯一的最大解y(t),使得對于?t∈[0,tmax),y(t)∈Ωy成立。

2 預設性能控制律設計

由式(8)可得編隊的誤差為

(10)

定義UAV編隊中的鄰接誤差為

(11)

以矩陣形式表示鄰接誤差為

(12)

由式(12)可得

(13)

式中,λ(QTQ)表示Q的奇異值,因此可將編隊誤差控制問題轉(zhuǎn)換為編隊鄰接誤差控制問題,由定義2、式(11)和式(13)可對編隊隊形的一致性控制進行重新定義如下。

本文考慮具有性能預設的編隊控制方法,其控制目的是為了使編隊鄰接誤差始終保持在預設的性能區(qū)域Dm i,m∈{p,v}內(nèi),即

(14)

圖2展示了本文所采用的兩種性能函數(shù)的示意曲線,曲線中可以看到兩種性能函數(shù)均由初始值ρ0下降到預設的穩(wěn)態(tài)誤差ρ∞內(nèi),對于兩種性能函數(shù)的具體介紹將在下文進行敘述。

圖2 兩種性能函數(shù)示意圖

對鄰接誤差epi和ev i進行關于性能函數(shù)ρm的歸一化處理,可得

(15)

則此時式(14)所示的預設性能區(qū)域Dm i可變換為

(16)

由式(14)和式(16)可發(fā)現(xiàn),誤差在對應的性能區(qū)域內(nèi)受到取值范圍的約束,而這對于后續(xù)設計是十分不便的。因此,為消除加性能約束的誤差,采取一種誤差轉(zhuǎn)換技術(shù),將受約束的誤差轉(zhuǎn)換為不受約束的轉(zhuǎn)換誤差[27]。

(17)

即轉(zhuǎn)換后的誤差為

(18)

對εm i關于t求導可得

(19)

式中,

αm=diag{ρm 1(t),ρm 2(t),…,ρmN(t)}

因此,由式(19)可得轉(zhuǎn)換誤差動態(tài)方程為

(20)

基于轉(zhuǎn)換后的鄰接誤差,本文給出的一致性性能控制律為

ui(t)=-k1iεv i(t)-k2iεpi(t)-k3iev i(t)

(21)

式中,k1i,k2i,k3i>0。

3 穩(wěn)定性分析

本節(jié)針對性能的不同需求,提出兩種不同類型的性能函數(shù),并基于性能函數(shù)對編隊性能的約束,對式(21)在兩種性能函數(shù)下的穩(wěn)定性進行分析。

3.1 指數(shù)型性能函數(shù)

本文選取的指數(shù)函數(shù)為

(22)

(23)

式中,ki=diag{ki1,ki2,…,kiN},i∈{1,2,3}。定義非空開集Ωη為

(24)

步驟 2由引理1可知,Q為非奇異M-矩陣,又ki(i∈{1,2,3})為對角矩陣,則Qki也為非奇異M-矩陣。又由引理1可知,存在正定對角矩陣Pi=(diag(qi))-1,其中i∈{p,v,3},j∈{1,2,…,N},qi=[qi1,qi2,…,qiN]=(Qki)-11N。

選擇Lyapunov函數(shù)為

即:

(25)

顯然式(25)為二次型形式,因此要令V>0,僅需滿足二次型矩陣正定即可,即滿足Pp>Pv。易證得,當滿足k2>k1時,即k2i>k1i時,V>0。

對V進行求導可得

利用Jv,Pi(i∈{p,v,3})和ki(i∈{1,2,3})的對角性,展開PiQki可得

(26)

(27)

(28)

式中,g0,g1i,g2,g3,g4,g5i,g6為未知正常數(shù)。

由引理1可知,Qv=PvQk1+k1QTPv、Q3=P3Qk3+k3QTP3為正定的,則式(27)變換為

(29)

令

則式(29)可表達為

(30)

由于Qi(i∈{p,v,3})是正定的,易證得H是正定的,因此式(30)可表示為

(31)

由式(31)可知εp與εv是有界的,因此當t∈[0,tmax)時,通過對式(17)進行逆運算可得

(32)

則當em i(0)≥0,m∈{p,v}時,

(33)

當em i(0)<0,m∈{p,v}時,

(34)

步驟 3以下利用反證法進行證明。

基于式(33)和式(34),定義Ωη的非空緊集為

(35)

對式(33)和式(34)兩邊同乘ρm可得到預設的性能區(qū)域Dm,即證得性能函數(shù)選擇為式(22)時,在控制律(21)作用下,實現(xiàn)具有預設性能的無人機編隊控制。

證畢

3.2 預設時間型性能函數(shù)

以下提出一種預設時間型性能函數(shù),不同于第3.1節(jié)所設計的指數(shù)型性能函數(shù),該函數(shù)能夠保證性能邊界在特定的時間內(nèi)到達預設的穩(wěn)態(tài)值,下面對預設時間型性能函數(shù)進行定義。

本文給出預設時間型性能函數(shù)為

(36)

式中,Tm為預設收斂的時間值;h>2為一個正實數(shù)。

對式(36)求導可得

(37)

以下參照定理1,給出基于性能函數(shù)(36)的編隊控制定理及其證明。

證明與定理1證明類似,分別考慮t∈[0,Tm)以及t∈[Tm,+∞)的情況。

證畢

本文基于一致性預設性能控制律,僅通過設計兩種不同類型的性能函數(shù)即可實現(xiàn)對不同性能需求的預先設定,這一點在定理1與定理2得到了充分的說明。

4 仿真驗證

為了進一步驗證本文所設計的基于兩種性能函數(shù)下的編隊目標跟蹤性能預設控制方法的有效性,以下分別針對不同性能函數(shù)下的編隊控制進行仿真驗證。

利用4架UAV(即N=4)對本文所提出的預設控制算法進行驗證。為更好地展示算法,僅針對ω=0時的情況,即無盤旋運動進行說明。令4架UAV初始位置pi(0)分別為(-50,0)Tm、(0,60)Tm、(10,-50)Tm和(50,20)Tm;初始速度vi(0)分別為(0,-2)Tm/s、(-2,0)Tm/s、(1,-1)Tm/s和(2,-1)Tm/s;UAVl相關參數(shù)為pl(0)=(0,0)T,vl=(1,1)Tm/s;UAVb相關參數(shù)為θ(0)=0,即pb(0)=(1,0)T,vb(0)=(0,0)T,ub(0)=(0,0)T;編隊旋轉(zhuǎn)因子R中參數(shù)θ=(π,π/2,3π/2,0);縮放因子r為(10,10,10,10);目標初始位置為(15,15)Tm,考慮目標做勻速直線運動,速度為(-1,1)Tm/s。本文考慮UAV間通信拓撲關系如圖3所示,不考慮UAV間的通信質(zhì)量權(quán)重,即對應的鄰接矩陣為

圖3 UAV間通信拓撲關系圖

4.1 基于指數(shù)型性能函數(shù)

基于指數(shù)型性能函數(shù)的編隊目標跟蹤控制仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 基于指數(shù)型性能函數(shù)的編隊控制仿真結(jié)果

從上述仿真結(jié)果可得,在預設的指數(shù)型性能邊界與最大穩(wěn)態(tài)誤差的約束下,編隊各誤差均能按照設定的衰減速率lm達到預設的穩(wěn)態(tài)誤差范圍內(nèi),達到了一定的穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)性能,實現(xiàn)了預期的控制目標。

4.2 基于預設時間型性能函數(shù)

令Tp=Tv=20 s,h=2.5;其余參數(shù)保持不變?；陬A設時間型的性能函數(shù)的編隊目標跟蹤控制仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 基于預設時間型性能函數(shù)的編隊控制仿真結(jié)果

從上述的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),通過預設時間型性能邊界約束,編隊各項誤差值能夠在預設時間內(nèi)減小到預期的穩(wěn)態(tài)誤差范圍內(nèi),同樣實現(xiàn)了預期的控制目標。從兩種類型性能函數(shù)的仿真結(jié)果中也可以得出,指數(shù)型性能函數(shù)決定了誤差的收斂速度,預設時間型函數(shù)決定了誤差收斂到穩(wěn)態(tài)值的時間,這是二者在預設控制中所發(fā)揮作用的最大不同之處。

4.3 編隊跟蹤機動目標

為了更進一步說明本文所提方法的有效性,以下基于指數(shù)型性能函數(shù),通過對機動目標進行跟蹤來驗證跟蹤效果。設目標的加速度為(0.1cos(t/4),0.1sin(t/2))m/s2,其余參數(shù)不變。仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 編隊跟蹤機動目標仿真結(jié)果

圖6(a)展示了UAV編隊跟蹤機動目標的飛行軌跡,顯然從圖中可以觀察得到,無人機編隊具備對機動目標跟蹤的能力;圖6(b)展示了編隊鄰接位置誤差曲線,從圖中可以觀察到當目標機動時,UAV編隊依舊能夠在預設的性能邊界約束下達到期望的性能要求;圖6(c)為編隊位置誤差曲線,從曲線中可以發(fā)現(xiàn),大約在28 s時,曲線出現(xiàn)了小幅抖動,此時編隊已跟蹤上了目標。

5 結(jié) 論

在提出一種參數(shù)組控制的時變編隊隊形描述與目標跟蹤方法的基礎上,本文針對具有性能預設的UAV編隊目標跟蹤問題,提出了一種適應不同需求的分布式性能控制方法。該方法解決了UAV編隊目標跟蹤過程中,對于收斂時間與編隊誤差不可控的問題。不同于傳統(tǒng)方法中對于不同性能需求需要對應不同的控制律,本文僅通過采用不同形式的性能函數(shù)即可達到對性能控制的不同,方法適用性強。

同時本文所設計的兩種性能函數(shù),分別保證了系統(tǒng)性能收斂速度呈指數(shù)形式與收斂時間可預設。所設計的一致性性能控制律,確保了編隊目標跟蹤誤差具有較好的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)性能,仿真結(jié)果證實了所設計的控制律的有效性。本文的研究結(jié)果還可以用于解決編隊隊形重構(gòu)等問題,方法可塑性強,工程價值較大。

本文考慮了在UAV間無時間延遲的情況下的編隊預設性能控制,下一步將考慮在時間延遲情況下的UAV編隊目標跟蹤的性能控制。