四邊形內(nèi)勃羅卡角的三個公式

山東省濱州市沾化區(qū)第一實驗小學(xué) (256800) 曹景云山東省濱州學(xué)院理學(xué)院 (256600) 尹 櫪

圖1

若在四邊形ABCD內(nèi)，存在點P使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么點P叫做四邊形的勃羅卡點，而角α稱為四邊形的勃羅卡角.(見圖1)

關(guān)于四邊形內(nèi)勃羅卡點的存在性問題在文[1]中有詳細的討論.本文假設(shè)所討論四邊形的勃羅卡點總是存在的.文獻[2]中利用楊學(xué)枝的一個性質(zhì).給出了凸四邊形內(nèi)勃羅卡角的一個計算公式，之后文獻[3]中利用正弦與余弦定理給出了四邊形內(nèi)勃羅卡角的幾個計算公式.本文給出勃羅卡角的三個重要公式,進一步豐富了四邊形內(nèi)關(guān)于勃羅卡角的性質(zhì).為了敘述方便，假設(shè)四邊形邊AB,BC,CD,DA的長度為a,b,c,d，邊AP,BP,CP,DP的長度分別為m,n,s,t，四邊形ABCD的面積為△.

引理2[2]設(shè)a,b,c,d為四邊形ABCD的四條邊長，四邊形ABCD的面積為△，則a2+b2+c2+d2≥4△.

定理2 設(shè)角α為四邊形ABCD的勃羅卡角，則sin4α=sin(∠A-α)sin(∠B-α)sin(∠C-α)·sin(∠D-α).

證明:在三角形ABP,BCP,CDP,DAP中利用正弦定理可得

將這八個等式相乘可得