開拓通融視界，營造通融課堂

周瑤菁

【摘要】如何開拓學(xué)生的通融視界，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)理法融通，使算理和算法相得益彰，助力知識(shí)的內(nèi)化，從而營造通融課堂呢？本文從三個(gè)方面闡述理法融合的策略：一、建構(gòu)聯(lián)系，把握本質(zhì);二、辨析交流，活化思維;三、凸顯思想，理法相融。

【關(guān)鍵詞】算法? 算理? 理法融通? 通融課堂

【課題項(xiàng)目】本文系泉州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃（第一批）立項(xiàng)課題《小學(xué)數(shù)學(xué)“通融課堂”的教學(xué)策略研究》研究成果，立項(xiàng)號(hào)：QG1451-234。

【中圖分類號(hào)】G623.5 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2021）33-0107-02

許貽亮名師的小學(xué)數(shù)學(xué)“通融課堂”的教學(xué)主張里指出：教與學(xué)必須求“通”、求“融”，以師之“通”達(dá)成生之“通”，以師之“融”達(dá)成生之“融”。怎樣將“通融課堂”的追求扎根于課堂，開出“具體的花”？本課以運(yùn)算教學(xué)為例，談?wù)勛约旱乃伎寂c實(shí)踐?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中指出：“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題[1]?！睆闹锌梢越庾x出兩個(gè)關(guān)鍵詞：正確運(yùn)算和理解算理。如何開拓學(xué)生的通融視界，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)理法融通，使算理和算法相得益彰，助力知識(shí)的內(nèi)化，從而營造通融課堂呢？

一、建構(gòu)聯(lián)系，把握本質(zhì)

許貽亮名師說過：發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，看清聯(lián)系，揭示聯(lián)系，有機(jī)地把它們?nèi)诤掀饋恚湍芙o學(xué)生的發(fā)展提供更多助力[2]。計(jì)算教學(xué)中，算理是內(nèi)化，算法是外顯，將二者作為交流的過程恰恰是最有意義和價(jià)值的。在教學(xué)中，溝通算法間的橫縱聯(lián)系，可幫助學(xué)生在對(duì)比聯(lián)系中感悟算理，抵達(dá)計(jì)算的本質(zhì)。因此，溝通交流不同算法之間的聯(lián)系是學(xué)生深刻理解算理的推力。

如，北師大版三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法”這一課，本課學(xué)習(xí)的目標(biāo)之一是經(jīng)歷探索兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算方法的過程，會(huì)筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的方法。教材以算式14×12為例，安排了三個(gè)層層遞進(jìn)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。第一個(gè)活動(dòng)是嘗試獨(dú)立計(jì)算14×12，第二個(gè)活動(dòng)是解釋算式的道理，并結(jié)合點(diǎn)子圖說明豎式每一步的意思，第三個(gè)活動(dòng)是總結(jié)歸納兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算法和需要提醒的事項(xiàng)。其中第二個(gè)活動(dòng)是學(xué)習(xí)重點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生結(jié)合點(diǎn)子圖對(duì)算理已經(jīng)基本理解，這個(gè)時(shí)候可以把學(xué)生展示的幾種算法進(jìn)行聯(lián)系，讓學(xué)生觀察其中的異同，就會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)：“每一種方法都需要把這兩個(gè)兩位數(shù)中的每一位上的數(shù)進(jìn)行相乘，然后把乘得的結(jié)果加起來，其中的道理是一樣的?！蓖ㄟ^橫向?qū)Ρ茸寣W(xué)生明白三種方法殊途同歸，溝通了圖示表征、算式表達(dá)與計(jì)算過程之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生清晰地梳理“關(guān)鍵點(diǎn)”與“關(guān)鍵點(diǎn)”之間的關(guān)系，從更高的層面領(lǐng)悟算理的本質(zhì)。

二、辨析交流，活化思維

在教學(xué)中，不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生“說清楚”比“做正確”難得多，“說清楚”意味著思維結(jié)構(gòu)清晰、邏輯關(guān)系明確、表達(dá)清晰有序[3]。因此要經(jīng)常鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深入思考、靈活辨析、積極辯論，并把自己的思維過程用合適的方式表達(dá)出來，由辯促思。

如，在高年級(jí)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題教學(xué)中，這樣的教學(xué)方法司空見慣：從帶有分率的那個(gè)條件中判斷誰是單位“1”，如果單位“1”已知，用乘法計(jì)算;如果求單位“1”，就用除法計(jì)算。但是解決實(shí)際的問題，學(xué)生往往不知從何下手。尤其在解決有關(guān)“增加幾分之幾”和“減少幾分之幾”的問題時(shí)，學(xué)生更是容易混淆。

比如，可以圍繞這個(gè)以下問題進(jìn)行辨析交流：

（1）一盞臺(tái)燈漲價(jià)10元，又降價(jià)10元，結(jié)果不變。

（2）一盞臺(tái)燈漲價(jià)1/10，又降價(jià)1/10，結(jié)果不變。

這樣的問題設(shè)置，引發(fā)對(duì)比、突顯矛盾，引發(fā)學(xué)生想辨清楚的欲望。對(duì)于第一個(gè)問題學(xué)生很容易理解。第二個(gè)問題由絕對(duì)量改成相對(duì)量，結(jié)果是變還是不變呢？學(xué)生必然會(huì)去思考分析其中數(shù)學(xué)含義的變化。針對(duì)第二個(gè)問題展開說理：

生：我認(rèn)為結(jié)果會(huì)變。我的理由：我把百格圖視為單位1，并平均分成10份。先漲價(jià)1/10就是把單位1增加了1份也就是增加了1列。而降價(jià)了1/10就是把現(xiàn)在的圖看作單位1，平均分成10份，而現(xiàn)在有11列，10行，所以減少了其中的1行就是1份，最后剩下11列9行，一共99格，與原來的100格比少了1格，所以結(jié)果變小了。

生：首先我把一個(gè)完整的圓也就是原價(jià)當(dāng)作單位1，把單位1平均分成10份，漲價(jià)了1/10，所以有11份。現(xiàn)在降價(jià)了1/10，降價(jià)的是11份的1/10。降價(jià)后發(fā)現(xiàn)并不是一個(gè)完整的圓，所以結(jié)果變小了。通過帶有沖突性的問題來鼓勵(lì)學(xué)生開展思辯的的過程，表面上解決了學(xué)生說的問題，實(shí)質(zhì)是解決了學(xué)生歸納、總結(jié)、明道理的問題，使得思考過程更加清晰，計(jì)算更加自信。

三、凸顯思想，理法相融

1.數(shù)形結(jié)合，深入理解

計(jì)算教學(xué)中，直觀模型的應(yīng)用必不可少。直觀模型是架起算理與算法之間的一座橋梁，使學(xué)生能夠直觀體悟計(jì)算的道理。通過數(shù)形結(jié)合，將“枯燥的算法”和“神奇的算理”盡量揭示透徹，讓學(xué)生明確地意識(shí)到“法中見理，理中得法，原本不可剝離”。

例如，北師大版五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法（二）”這節(jié)課，當(dāng)教師提出問題：“有4張同樣大的餅，每張分1份，可分成幾份？”學(xué)生不難得出結(jié)果是“8份”，很明顯可以看出學(xué)生對(duì)整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算法有一定的了解。但僅僅“會(huì)算”是不夠的，而要追問得到這個(gè)結(jié)果的理由，引發(fā)學(xué)生尋找算法背后隱含的本質(zhì)道理。此時(shí)教師鼓勵(lì)學(xué)生通過畫圖的方式來輔助說明自己的想法。學(xué)生邊展示自己畫的圖示，邊用算式記錄分餅的操作過程。圖示、算式和表達(dá)合為一體，直觀地展現(xiàn)4÷就是表示4里面有幾個(gè)。學(xué)生經(jīng)歷用圖示表征求解計(jì)算的步驟，主動(dòng)將數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的過程、方法、結(jié)果與圖示相結(jié)合，使抽象的算理變得直觀形象。老師的角色很清晰，幫助學(xué)生從直觀的角度感悟計(jì)算道理，在交流和實(shí)踐中促使學(xué)生的思維走向知識(shí)的內(nèi)涵，從而深層次理解算理。

2.滲透轉(zhuǎn)化，促進(jìn)聯(lián)結(jié)

轉(zhuǎn)化不僅是一種解決問題的策略，更是一種意義重大的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想方法是蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)背后的隱性知識(shí)，不能像顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)那樣直接告知。那么，如何在平衡算理與算法的關(guān)系中，引導(dǎo)學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想呢？

羅鳴亮老師在《小數(shù)乘整數(shù)》這節(jié)課中，轉(zhuǎn)化思想滲透得淋漓盡致。這節(jié)課教學(xué)內(nèi)容非常簡單，幾乎所有同學(xué)都能正確地進(jìn)行小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算。那么這節(jié)課教什么就成了老師要認(rèn)真思考的問題。因此羅老師在課一開始讓學(xué)生提出自己想了解想研究的問題。不出所料，學(xué)生都想知道小數(shù)乘整數(shù)和整數(shù)乘整數(shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系等等。

以此為契機(jī)，羅老師問，有個(gè)同學(xué)畫了這樣一幅圖，四組圓，每組3個(gè)，你覺得是表示30×4=120還是表示0.3×4=1.2的道理呢？十分輕松、看似無意的一問卻催生了轉(zhuǎn)化的需要。一開始學(xué)生的注意力都聚焦在圖示上，都習(xí)慣性地認(rèn)為應(yīng)該表示3×4，可是算式選項(xiàng)中卻沒有出現(xiàn)這個(gè)算式。在豐富的交流和思維碰撞中，學(xué)生恍然大悟，發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖不僅可以表示30×4=120的道理，也可以表示0.3×4=1.2的道理。羅老師沒有讓學(xué)生停下思考的步伐，繼續(xù)追問：這個(gè)圖還能表示哪些算式的道理？他巧妙地抓住了學(xué)生思考的支撐點(diǎn)，學(xué)生理解道理的生長點(diǎn)如芝麻開花節(jié)節(jié)高。羅老師把這幅圖用活了，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，無論是0.3×4，0.003×4，還是300×4等等，都是先轉(zhuǎn)化成3×4來計(jì)算。巧妙地將計(jì)數(shù)單位引入到小數(shù)乘整數(shù)的計(jì)算中，“計(jì)算、計(jì)算，就是計(jì)一計(jì)、算一算有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位”，將抽象的計(jì)算原理變得形象化，學(xué)生腦海中的轉(zhuǎn)化思想從朦朧走向明晰，發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘整數(shù)是基于之前掌握的整數(shù)乘法來解決，充分感受了轉(zhuǎn)化思想的價(jià)值。

3.變與不變，達(dá)成融合

張奠宙先生在《返璞歸真? 正本清源》一文中談到：“比這一概念的本源是比較?！北鹊臄?shù)學(xué)本質(zhì)是表示和度量兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，若結(jié)合比的由來與發(fā)展，便不難發(fā)現(xiàn)這一數(shù)學(xué)概念的“生長點(diǎn)”與“擴(kuò)展點(diǎn)”：比從除法、倍、分?jǐn)?shù)中生成，最后再回歸到比例與函數(shù)中去，在感受知識(shí)內(nèi)在關(guān)聯(lián)性的同時(shí)體驗(yàn)變與不變的思想。

《生活中的比》一課，從探究分?jǐn)?shù)的比，到圓的比，再到生活問題的解決，在同類量比較中經(jīng)歷比的形成過程，體會(huì)認(rèn)識(shí)比的必要性，理解比的意義，是實(shí)現(xiàn)概念教學(xué)從表層記憶走向數(shù)學(xué)理解。在探索蜜水的甜度的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，教師通過設(shè)計(jì)層層問題，不斷追問，如“你發(fā)現(xiàn)什么在變？什么一直不變”、“兩杯蜜水確定一樣甜嗎？怎么就知道一樣甜呢？”“這杯蜜水倒進(jìn)另一個(gè)杯子里，甜度一樣嗎？”加強(qiáng)學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量關(guān)系的理解和認(rèn)識(shí)，潛移默化地滲透變與不變及函數(shù)等數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解和追溯。

許貽亮名師指出：在追尋“通融課堂”的教學(xué)與學(xué)習(xí)實(shí)踐中，學(xué)生所建構(gòu)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)穩(wěn)固、靈活、有張力，學(xué)習(xí)后勁大，學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，學(xué)習(xí)成效優(yōu);教師既關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)在，更著眼于學(xué)生學(xué)習(xí)的未來，以能力帶動(dòng)知識(shí)，以思維提升學(xué)力，充分享受為師者的教學(xué)之樂?！巴ā迸c“融”的開始是不知不覺的，在計(jì)算教學(xué)中，我們應(yīng)該充分關(guān)注學(xué)生計(jì)算背后的思想活動(dòng)，努力嘗試多種方式促進(jìn)學(xué)生對(duì)算理的理解和對(duì)算法的掌握，力求算理和算法合二為一：建構(gòu)聯(lián)系、辨析交流、凸顯思想，從而實(shí)現(xiàn)理法融通，營造通融課堂，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實(shí)、自然地發(fā)生。

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[2]許貽亮.小學(xué)數(shù)學(xué)“通融課堂”的教學(xué)實(shí)踐[M].福建人民出版社，2019.

[3]陳淑娟.核心問題引領(lǐng)下的說理課堂[M].遼寧大學(xué)出版社，2021.