對(duì)《銳角三角函數(shù)》教學(xué)問題的再思考

陳方勇 劉清清 阮征 孫業(yè)勤

【摘要】以高中生在學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)時(shí)常常出現(xiàn)的理解偏差為出發(fā)點(diǎn)，分析并探尋出現(xiàn)這種偏差原因，據(jù)此提出思考.在借鑒高中學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的思想基礎(chǔ)上，根據(jù)初中教材提供的探究材料，以函數(shù)的觀念看待銳角三角函數(shù)的教學(xué)，最后強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)在初中階段的必要性所在.

【關(guān)鍵詞】銳角三角函數(shù);任意角三角函數(shù);初高中銜接1問題背景

銳角三角函數(shù)是初高中銜接教學(xué)的體現(xiàn)之一，初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)是高中學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)，高中的銳角三角函數(shù)學(xué)習(xí)是初中所學(xué)內(nèi)容的繼續(xù)深入和擴(kuò)展.初中只涉及銳角三角函數(shù)和解直角三角形，且知識(shí)點(diǎn)少、內(nèi)容比較簡單，而高中研究任意角三角函數(shù)的內(nèi)容豐富復(fù)雜，理論性強(qiáng)、實(shí)踐性廣.那么三角函數(shù)在不同學(xué)段是如何呈現(xiàn)的呢？

以人教版和滬科版的初中教材為例，兩者均是在Rt△ABC中，∠C=90°，利用三角形相似，說明“只要銳角∠A的角度不變，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是不會(huì)變化的”，接著在直角三角形中利用“比值”給出銳角三角函數(shù)的定義.高中以人教版A版為例，教材中以初中定義為引入，由弧度的學(xué)習(xí)，借助于單位圓對(duì)初中銳角三角函數(shù)重新定義，接著教材中有這樣一段話：銳角三角函數(shù)可以用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示.同樣的，我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù).最后，教材給出類似于解釋說明的一段文字：所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，所以我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)[1].由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù).認(rèn)真研讀不難發(fā)現(xiàn)，最后一段話才是三角函數(shù)的本質(zhì)，高中的三角函數(shù)教學(xué)的進(jìn)行是建立在初中的基礎(chǔ)上的，那么初中教師該如何進(jìn)行此內(nèi)容的教學(xué)呢？

2問題的發(fā)現(xiàn)與提出

在初中教學(xué)時(shí)，教師常常以“銳角∠A的角度不變，∠A的對(duì)邊與鄰邊（斜邊）的比值是不會(huì)變化的”為突破口認(rèn)識(shí)與探究銳角三角函數(shù)，事實(shí)上這種認(rèn)知是有偏差的，這并不是銳角三角函數(shù)的本質(zhì).由于初中階段是通過直角三角形認(rèn)識(shí)和定義銳角三角函數(shù)，所以在高中階段的學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生的思維定勢(shì)和根深蒂固的思考習(xí)慣會(huì)不自覺把任意角三角函數(shù)的定義局限于直角三角形中，因此對(duì)任意角的三角函數(shù)定義感到困惑和不解，導(dǎo)致很多學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)這一章時(shí)對(duì)概念不明確、不能真正理解其含義，乃至在實(shí)際運(yùn)用中因混淆概念而解題失誤[1].例如，在高中初次學(xué)習(xí)tanα（如圖1所示），即使教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)任意角的正切函數(shù)的定義，但學(xué)生的解題習(xí)慣依然會(huì)停留在圖2，因此常常遇到學(xué)生困惑地問：為什么比值是負(fù)數(shù)？教師可能會(huì)迫于無奈地說“因?yàn)辄c(diǎn)A在負(fù)半軸上，所以O(shè)A是負(fù)值”——這種解釋顯然是無稽之談，更會(huì)讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)與理解滑向無底深淵.那么，為什么學(xué)生在高中學(xué)習(xí)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)圖2的情形和疑問呢？

3問題分析

陳曦在《HPM視角下“任意角三角函數(shù)的概念”教學(xué)研究》一文中詳細(xì)介紹到：教材（人教A版）只是在第一節(jié)內(nèi)容上安排了任意角與弧度制的內(nèi)容，接下來就用單位圓給出了任意角的三角函數(shù)定義，教師的普遍講法是回顧初中銳角三角函數(shù)的定義，然后讓學(xué)生考慮如何將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù).這種講法無疑是讓學(xué)生陷入一個(gè)誤區(qū)，即任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的推廣，自然有很多學(xué)生認(rèn)為任意角三角函數(shù)仍然是研究三角形三邊關(guān)系的工具，只是不再局限于銳角三角形，也有很多學(xué)生排斥單位圓的定義，覺得不如初中階段所給的“比值法”好，既不直觀、也難以用來計(jì)算[3].于是就出現(xiàn)了開頭的圖2，產(chǎn)生這一現(xiàn)象主要原因是：（1）教師沒有講明高中階段學(xué)習(xí)的三角函數(shù)與初中階段學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)研究的內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)思考存在的不同，容易造成學(xué)生對(duì)于概念的混淆.章建躍對(duì)兩者的發(fā)展歷史和區(qū)別進(jìn)行了詳細(xì)的介紹;（2）學(xué)生在初中階段首次接觸銳角三角函數(shù)時(shí)還沒有樹立正確的認(rèn)識(shí)觀，導(dǎo)致他們狹隘地認(rèn)為銳角三角函數(shù)就是一個(gè)“比值”[3].可見這種片面的認(rèn)知對(duì)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著明顯的阻礙作用.既然銳角三角函數(shù)是函數(shù)，那么教師在教學(xué)中就應(yīng)該找到適切的教學(xué)方法，讓學(xué)生以“函數(shù)的眼光”看待“銳角三角函數(shù)”、讓其具有函數(shù)的味道、避免片面的“比值”認(rèn)識(shí)與理解、減少在后續(xù)學(xué)習(xí)中的認(rèn)知障礙，從而順利銜接高中階段的“任意角三角函數(shù)”學(xué)習(xí).最后，學(xué)生初次接觸銳角三角函數(shù)時(shí)，有何折中的辦法避免以上的認(rèn)知誤區(qū)，讓高中學(xué)習(xí)更為流暢和自然，真正達(dá)到學(xué)習(xí)知識(shí)的螺旋式上升，體現(xiàn)出明顯的階段需求呢？以筆者之見，高中教材中“借助于單位圓對(duì)初中銳角三角函數(shù)重新定義”也許可以緩解初中生對(duì)銳角三角函數(shù)的認(rèn)知偏向，為問題的解決提供一種廣闊的視角.

4問題解決

高中認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)有兩種方法即是“單位圓定義法”和“終邊定義法”.按照滬科版的內(nèi)容編排，銳角三角函數(shù)在圓之前，因此利用單位圓認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)已然行不通，所以采用“終邊定義法”.

4.1正確認(rèn)識(shí)正切函數(shù)的概念

由于銳角三角函數(shù)是一種函數(shù)，教師在講解本節(jié)課，出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)應(yīng)是對(duì)銳角三角函數(shù)概念的初步理解，這樣才能避免學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)狹隘的認(rèn)知.直角三角形只是認(rèn)知銳角三角函數(shù)的一種特殊形式，并不能成為理解銳角三角函數(shù)的基石，更不能直接探究“銳角∠A的角度不變，∠A的對(duì)邊與鄰邊（斜邊）的比值是不會(huì)變化的”，前面還需要一些準(zhǔn)備工作.筆者根據(jù)上述分析，設(shè)計(jì)滬科版初中數(shù)學(xué)的《銳角三角函數(shù)》教學(xué)探究過程.

教師：請(qǐng)同學(xué)們看大屏幕，你看到了什么？見圖3.

學(xué)生（共同）：坐標(biāo)系和線段OA，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（x，y）.圖3

5教學(xué)問題的再思考

既然高中會(huì)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)，那么初中學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)是否有必要呢？初中階段為什么要學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)呢？以筆者之見，初中階段學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)是必不可少的.

5.1知識(shí)系統(tǒng)性的必要性

初中階段，學(xué)生解三角形均是轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用勾股定理、三角形內(nèi)角和與銳角三角函數(shù)解三角形.勾股定理與三角形內(nèi)角和分別反映的是三角形三邊與三角的數(shù)量關(guān)系，邊和角的數(shù)量關(guān)系就涉及到銳角三角函數(shù)，因此銳角三角函數(shù)是解三角形中邊角關(guān)系的紐帶與橋梁，有了該部分的知識(shí)，勾股定理與三角形內(nèi)角和才不會(huì)“孤立無援”、才會(huì)讓解三角形的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)更為完整.如此，邊、角以及邊角關(guān)系三者自成一體、互相融合與補(bǔ)充，體現(xiàn)了解三角形知識(shí)的系統(tǒng)性.

5.2義務(wù)教育階段的必要性

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》課程性質(zhì)可了解到：義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性.數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，而《課標(biāo)》對(duì)本節(jié)的要求是“能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡單的實(shí)際問題”[4].銳角三角函數(shù)在生活生產(chǎn)、軍事、地理、工業(yè)、物理等方面都有著廣泛的應(yīng)用，無疑更明確學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)是義務(wù)教育階段學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，銳角三角函數(shù)從實(shí)際生活中產(chǎn)生，又運(yùn)用到實(shí)際生活中去，因此是必不可少的.

5.3銳角函數(shù)與任意角三角函數(shù)內(nèi)容區(qū)別的必要性

章建躍《為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)》中對(duì)銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的描述：銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之間的關(guān)系發(fā)展起來的，任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實(shí)中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來的.它們研究的對(duì)象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同.我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角的三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”[5].由此可見，銳角三角函數(shù)與任意角的三角函數(shù)同中有異，兩者的數(shù)學(xué)思想、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)內(nèi)容均有差異，并且銳角三角函數(shù)易接受、易理解、易掌握，若把銳角三角函數(shù)放在高中階段學(xué)習(xí)，不僅不符合數(shù)學(xué)史發(fā)展的階段性，也不符合高中生的認(rèn)知規(guī)律（即學(xué)習(xí)內(nèi)容的難度低于學(xué)生的認(rèn)知水平），所以在初中階段學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)是合情合理的.

6總結(jié)

綜合以上分析，初中教師完全按照高中學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的方法教學(xué)銳角三角函數(shù)是強(qiáng)人所難，并且銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)有一定的區(qū)別，所以教師遵照“銳角∠A的角度不變，∠A的對(duì)邊與鄰邊（斜邊）的比值是不會(huì)變化的”進(jìn)行探究也無可厚非.但站在高中的學(xué)生課堂反饋來看，這種直接的探究確實(shí)帶來了“后遺癥”，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生嚴(yán)重的思考障礙.因此，教師需要在認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)之初，借鑒高中任意角三角函數(shù)學(xué)習(xí)的思想進(jìn)行探究，對(duì)初中的知識(shí)進(jìn)行加工處理，讓學(xué)生經(jīng)歷一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)，親身經(jīng)歷銳角三角函數(shù)的發(fā)生、形成、發(fā)展的過程，使得學(xué)生有相對(duì)充足的時(shí)間思考、認(rèn)識(shí)、理解銳角三角函數(shù)，更好助力高中任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)

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[4]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[5]章建躍.為什么用單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（1）：15-18.