考慮氣動(dòng)效應(yīng)的索橋耦合參數(shù)振動(dòng)建模及1∶1內(nèi)共振分析

閔光云，劉小會(huì)，張春霞，孫測世，蔡萌琦

（1.重慶交通大學(xué) 省部共建山區(qū)橋梁及隧道工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400074；2.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400074；3.成都大學(xué) 模式識(shí)別與智能信息處理四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610106；4.成都大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，成都 610106）

覆冰索的舞動(dòng)一直是一個(gè)備受關(guān)注的課題［1-13］，為抑制覆冰索的舞動(dòng)須研究其產(chǎn)生舞動(dòng)的原因，長時(shí)間來經(jīng)過科研學(xué)者們的努力，學(xué)術(shù)界已經(jīng)存在三大經(jīng)典的舞動(dòng)機(jī)理［14-16］。針對(duì)覆冰索的動(dòng)力學(xué)研究，學(xué)者們的研究對(duì)象一般為單檔懸索結(jié)構(gòu)，忽略了覆冰索和橋面的相互作用，只研究覆冰索的舞動(dòng)特性。郝淑英等［8］使用平均法系統(tǒng)地研究了覆冰索的瞬時(shí)固有頻率，發(fā)現(xiàn)舞動(dòng)幅值對(duì)高階瞬時(shí)固有頻率有很大的影響，且固有頻率存在“飄移現(xiàn)象”，索的檔距與風(fēng)速?zèng)Q定著飄移量的大小。晏致濤等［9］基于增量諧波平衡法推導(dǎo)了單檔覆冰懸索的舞動(dòng)方程，并求得了其舞動(dòng)方程的解，接著將之與時(shí)程積分法所得解作比較，兩者結(jié)果完美的吻合在一起，驗(yàn)證了增量諧波平衡法所得結(jié)果的正確性。劉海英等［10］將覆冰拉索簡化為連續(xù)體模型，接著基于Mathmatic程序模擬單檔覆冰拉索的舞動(dòng)軌跡圖和時(shí)間歷程曲線，最后與有限元模型的結(jié)果相對(duì)比，證明了連續(xù)體模型能良好地反應(yīng)拉索的振動(dòng)特性。朱寬軍等［11］通過覆冰拉索的張力變化理論及試驗(yàn)分析，得出了張力變化的規(guī)律，結(jié)合張力變化對(duì)拉索、金具、絕緣子等受力構(gòu)件的影響，提出了提高覆冰拉索的機(jī)械強(qiáng)度，進(jìn)而防止覆冰拉索舞動(dòng)的方法。王少華等在文獻(xiàn)［11］的基礎(chǔ)上建立了覆冰拉索舞動(dòng)的3自由度數(shù)學(xué)模型，采用Fluent軟件對(duì)覆冰拉索的空氣動(dòng)力參數(shù)進(jìn)行了數(shù)值仿真，根據(jù)舞動(dòng)引起的拉索長度變化，計(jì)算了舞動(dòng)引起的拉索張力變化，分析了舞動(dòng)幅值、半波數(shù)、檔距等參數(shù)對(duì)張力變化量的影響［12］。

近20年來，隨著中國經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，越來越多的大跨越橋梁被建立，而橋梁上的拉索易在覆冰等因素的影響下發(fā)生舞動(dòng)，長時(shí)間的舞動(dòng)會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的后果，進(jìn)而造成經(jīng)濟(jì)損失。盡管越來越多的科研學(xué)者們針對(duì)拉索的舞動(dòng)做了深入的研究，但多數(shù)學(xué)者一般只考慮了單個(gè)索的舞動(dòng)，或者只研究了索橋耦合模型的參數(shù)振動(dòng)，本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上建立了索橋耦合振動(dòng)的參數(shù)模型，并考慮了氣動(dòng)阻尼效應(yīng)對(duì)拉索振動(dòng)特性的影響，本文的研究成果能給予工程一定的指導(dǎo)。

1 索橋耦合動(dòng)力學(xué)建模

為研究索橋之間的耦合非線性參數(shù)振動(dòng)，須建立對(duì)應(yīng)的索橋耦合參數(shù)振動(dòng)模型。圖1為索橋耦合參數(shù)振動(dòng)模型，即將橋面理想化為一個(gè)質(zhì)量塊，進(jìn)而研究拉索的索與橋面之間復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。

圖1 參數(shù)振動(dòng)模型

圖1中y表示靜平衡位置處拉索的拋物線構(gòu)型，w表示拉索偏離靜平衡位置的動(dòng)態(tài)位移，θ表示拉索與水平方向的夾角，K表示橋面的剛度，C表示橋面的黏性阻尼，X為橋面端部的位移。

將拉索當(dāng)作連續(xù)體，根據(jù)牛頓定律可得拉索面內(nèi)的動(dòng)態(tài)平衡方程為

式中：T表示拉索的初始張力；τ表示拉索的動(dòng)態(tài)張力；m表示拉索單位長度的質(zhì)量；g表示重力加速度；s表示弧坐標(biāo)。

拉索的重力平衡方程為

將式（2）代入（1）可得

分別在拉索靜態(tài)平衡構(gòu)型上與偏移平衡位置的動(dòng)態(tài)平衡構(gòu)型上取出一微元段，基于該微元段求解拉索的動(dòng)態(tài)張力，見圖2。

圖2 微元段

圖2中d s為靜平衡構(gòu)型上的微元段，d s′為動(dòng)態(tài)平衡構(gòu)型上的微元段。根據(jù)上述微元可得拉索單位長度上的動(dòng)張力的表達(dá)式

式中EA為拉索的拉伸剛度。

根據(jù)索橋耦合參數(shù)振動(dòng)模型，橋面端部的位移也會(huì)影響拉索單位長度上的動(dòng)張力，因此式（4）轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

式中l(wèi)為拉索的跨徑。

實(shí)際工程中拉索的跨徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其直徑，因此拉索軸向的振動(dòng)很微弱，當(dāng)忽略拉索軸向的慣性力可將動(dòng)張力表示為

將式（6）代入式（3），且考慮拉索所受阻力、氣動(dòng)荷載可得

式中：fc表示拉索的阻尼系數(shù)；Fair表示拉索所受氣動(dòng)荷載。

2 氣動(dòng)力動(dòng)力學(xué)建模

在冬季季風(fēng)的作用下拉索的表面會(huì)結(jié)冰，覆冰會(huì)使拉索表面產(chǎn)生一定大小的氣動(dòng)荷載，為分析氣動(dòng)荷載對(duì)拉索的作用形式，首先須建立拉索橫截面模型，見圖3。

圖3 覆冰拉索橫截面

圖3中FL表示氣動(dòng)升力，F(xiàn)D表示氣動(dòng)阻力，α表示攻角，α0表示初始攻角，U表示風(fēng)速。

可得到

式中：αt為相對(duì)風(fēng)攻角；ρ為空氣密度；D為拉索的迎風(fēng)直徑；Cy（α）為氣動(dòng)參數(shù)，其表達(dá)式根據(jù)三次曲線擬合為

式中：α1、α2、α3為待定系數(shù)；α為瞬時(shí)攻角，且滿足

式中θt為拉索的扭轉(zhuǎn)角。

拉索的振動(dòng)特征主要由基本模態(tài)決定，因此基于一階模態(tài)截?cái)喾蓪?dòng)態(tài)位移寫為

式中：φ（x）表示振型函數(shù)；q（t）為振動(dòng)函數(shù)。

將式（8）（9）（10）（11）代入式（7）并結(jié)合Galerkin離散法可得

式（12）中系數(shù)的表達(dá)式分別為

根據(jù)牛頓第二定律可得橋面的振動(dòng)方程為

其中M為橋面的質(zhì)量。

將式（11）代入式（13）可得

聯(lián)立式（12）與式（14）可得考慮氣動(dòng)效應(yīng)影響的索橋耦合振動(dòng)方程組，即

只要能確定拉索的三分力氣動(dòng)參數(shù)，那么就可以基于四階Runge-Kutta法求解式（15）。

3 多尺度分析

近幾十年來，隨著非線性振動(dòng)領(lǐng)域的蓬勃發(fā)展，越來越多的求解非線性常微分方程組的定量分析方法被完善，其中多尺度法［17-21］最受學(xué)者們的青睞，本文亦使用多尺度法來確定索橋耦合系統(tǒng)可能存在的共振模式。

為便于多尺度法的使用，首先轉(zhuǎn)化式（15）的形式為

其中ε為量綱為一化的小參數(shù)，式（16）涉及的其他參數(shù)表達(dá)式見下：

將式（16）的解設(shè)為

式中：T0、T1表示時(shí)間尺度，T0＝t為時(shí)間的快變化，T1＝εt為時(shí)間的慢變化，x10、x20為索橋耦合系統(tǒng)的周期解，x11、x21為索橋耦合系統(tǒng)的修正解。

將式（17）代入式（16），并按照ε的階次由低到高整理可得

可將式（18）的解設(shè)為

式（20）中的cc表示共軛項(xiàng)。

將式（20）代入式（19）可得

觀察式（21）可知索橋耦合共振系統(tǒng)存在ω1≈ω2這種共振模式。

4 算例分析

拉索的拉伸剛度EA＝13.3×106，直徑d＝18.80×10-3，張力H＝21.73×103，單位質(zhì)量m＝1.53 kg／m，y＝（m×g×x×cosθ／（2×H））（lx）。橋面的質(zhì)量M＝14×105，剛度K＝5×106。當(dāng)選定以上參數(shù)時(shí)索橋耦合系統(tǒng)剛好滿足1∶1內(nèi)共振，接著參考文獻(xiàn)［22］所得的三分力氣動(dòng)參數(shù)，并通過4階Runge-Kutta可求解得到考慮氣動(dòng)效應(yīng)的索橋耦合系統(tǒng)的位移響應(yīng)曲線，見圖4。

圖4 位移響應(yīng)曲線

通過觀察圖4可知：800 s之前索橋耦合系統(tǒng)并不穩(wěn)定，此時(shí)因?yàn)?∶1內(nèi)共振的影響，索橋耦合系統(tǒng)的位移響應(yīng)具有“拍”的特點(diǎn)，能量在索橋耦合系統(tǒng)之間往復(fù)傳遞，當(dāng)拉索上的能量達(dá)到波峰時(shí)，橋面的能量就達(dá)到波谷，當(dāng)橋面的能量達(dá)到波峰時(shí)，拉索的能量就達(dá)到波谷；800 s之后索橋耦合系統(tǒng)基本趨于穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定后拉索的幅值大約為0.374 48 m，橋面的幅值大約為0.009 94 m。

圖5為索橋耦合體系處于穩(wěn)定狀態(tài)后所得的相平面圖，橋面、拉索的相平面圖都近似為橢圓，這一點(diǎn)與文獻(xiàn)［8］所得結(jié)論吻合。

下面進(jìn)一步通過傅里葉變換得到索橋耦合系統(tǒng)的頻譜分析圖，見圖6。

圖5 索橋耦合體系的相平面圖

圖6 索橋耦合體系的頻譜分析圖

通過觀察圖6可知：在拉索和橋面的頻譜分析圖中，該系統(tǒng)在接近1個(gè)半波固有頻率0.325 Hz處有明顯的峰值，表明橋面、拉索的舞動(dòng)模式皆為1個(gè)半波的舞動(dòng)。

5 結(jié)論

通過本文建立的索橋耦合參數(shù)振動(dòng)模型可得：當(dāng)索橋耦合體系的物理參數(shù)滿足一定的條件使得其自身能發(fā)生1∶1內(nèi)共振時(shí)，索橋耦合體系在800 s之前是不穩(wěn)定的狀態(tài)，能量在該體系之間往復(fù)傳遞，橋面上的能量位于波峰時(shí)，拉索上的能量剛好位于波谷，且能量具有“拍”的特點(diǎn)，800 s之后該體系逐漸趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定后其極限環(huán)為橢圓形，舞動(dòng)模式接近1個(gè)半波的舞動(dòng)。