相干耦合非線性薛定諤方程的孤子解

趙曉瑩，宋 妮，雷宇祥

（中北大學 理學院，太原 030051）

在過去的幾十年里，對非線性薛定諤方程的研究已經引起了學者們的廣泛關注［1-2］。Hao等［3］研究了非齊次離散非線性薛定諤方程并利用達布變換法導出了該方程的調制不穩(wěn)定性條件和凝聚定律，同時在消失和非消失背景下，給出了非齊次離散非線性薛定諤方程的兩類顯式解。Mehmet Ekici等［4］在克爾定律和拋物定律這2個非線性定律的基礎上，利用擴展的雅可比橢圓函數展開法，得到了諧振非線性薛定諤方程的雅可比橢圓函數行波解。Song等［5］研究了非齊次高階非線性薛定諤方程的n階波動問題。在海森堡鐵磁自旋系統(tǒng)的基礎上，生成了高階非線性薛定諤方程。基于廣義達布變換，得到了該方程的n階怪波解，并利用數值模擬，描繪出解析解的非線性數值圖。Zhou等［6］研究了與空間參數有關的非線性薛定諤方程，模擬出具有失諧、時空色散、多模態(tài)色散和光纖增益或損耗等特性的孤子在空間非均勻光纖中的傳播。通過ansatz方法，得到了一定系數約束下的解析鐘形解、扭結解和奇異孤子解。Li等［7］研究了海森堡鐵磁鏈下的（2+1）維4階非線性薛定諤方程的孤子與怪波解。利用一種規(guī)范變換，將此方程的非零位Lax對轉換為一些常系數微分方程，再求解方程，得到了非零勢Lax對的向量解。通過線性穩(wěn)定性分析，給出了平面波解調制不穩(wěn)定的條件。然后，利用達布變換給出了N孤子解以及N階怪波解的行列式表示。

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眾所周知，非線性薛定諤方程可以描述孤子以及怪波在非均勻介質中的傳播［8］。然而，由于所研究問題的復雜性，單分量非線性薛定諤方程已經無法很好地描述孤子及怪波傳播性態(tài)的復雜性［9-11］。例如，光孤子在單模光纖中的傳播可以由非線性薛定諤方程來刻畫，而當考慮不同頻率或偏振下多個光纖元件之間的碰撞時，則需要利用耦合非線性薛定諤方程描述其傳播過程。隨著對耦合非線性薛定諤方程的深入研究，發(fā)現在非線性光學［12］、等離子體［13］、力學［14］以及玻色-愛因斯坦凝聚［15］等領域都有著廣泛的應用。利用達布變換法，Wang等［16］研究了具有非線性交替符號的相干耦合薛定諤方程的光學怪波，得到了怪波的結構族，包括具有1個波峰2個波谷的怪波以及具有1個波峰或2個波峰卻沒有波谷的亮怪波。利用高階緊化法，Kong等［17］將具有經典哈密頓形式的三分量耦合非線性薛定諤方程轉化為有限維哈密頓系統(tǒng)，采用2階平均向量場（AVF）法進行實時性分析，得到了一種高效節(jié)能方案。

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1 相干耦合非線性薛定諤方程

主要研究具有交替非線性符號的相干耦合非線性薛定諤方程

式中：q1，q2是與自變量x和t有關的光滑復包絡函數；x代表歸一化距離；t代表延遲時間；γ代表非線性強度［18］。利用非標準的Hirota雙線性法，Sakkaravarthi K等［19］獲得了方程（1）的單孤子以及雙孤子解。當γ＝2時，基于達布變換迭代算法，Zhang等［20］得到了耦合非線性薛定諤方程的單峰與雙峰孤子解。本文中利用廣義達布變換，著重研究式（1）的2階孤子相互作用的動力學特性。目前還沒有相關文獻對其進行研究。

其中hi1和hi2（i＝1…4）是復雜的參數且不全為零。將代入達布變換［17］，得到了相干耦合非線性薛定諤方程的1階半有理函數解，

2 經典達布變換及廣義達布變換

在零振幅背景下［11］，討論相干耦合非線性薛定諤方程2階孤子的動力學行為。在方程（6）中，通過選取不同的參數值，可以得到以下3種情況：

式中λ代表光譜參數，

利用Lax對的零曲率方程Ut-Vx+［U，V］＝0，可得到相干耦合非線性薛定諤方程（1）。假設種子解q1［0］＝q2［0］＝0，則Lax對式（2）（3）的解如下：

結構安排如下：在第2節(jié)中，引入式（1）的Lax對，利用經典達布變換以及廣義達布變換，得到方程的1階以及2階孤子的表達式。根據所給出的種子解q1［0］和q2［0］以及矢量本征函數 Φ［0］，利用泰勒級數和達布迭代法，求出1階與2階孤子解。在第3節(jié)中，基于2階孤子解，利用數值模擬，得到了2階孤子相互作用的動力學行為三維圖。在第4節(jié)中，給出了相干耦合非線性薛定諤方程的一些結論。

① 當Re（λ1）≠Re（λ2）（Re表示復數的實部），如圖1（a）所示，在q1分量中單峰孤子之間發(fā)生相互作用，呈”十”字交匯狀并在兩峰交匯處會產生大振幅孤子。在q2分量中孤子的形態(tài)由單峰變?yōu)殡p峰并發(fā)生相互碰撞，呈雙“十”字交疊在一起并在兩峰交匯處產生2個大振幅孤子。值得注意的是，q1與q2分量的振幅存在很大差異但它們的相位并未發(fā)生任何改變。q1分量振幅在5左右，而q2分量振幅在0.4左右。如果改變λ1的取值，孤子之間會發(fā)生相互吸引的現象，如圖1（b）所示。當增大γ的取值，會使孤子的振幅變大。

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3 孤子的相互作用及結論

方程（1）的Lax對如下：

② 當lm（λ1）≠lm（λ2）（lm表示復數的虛部），如圖1（c）所示，在q1分量中單峰亮孤子之間形成束縛態(tài)，并發(fā)生了周期性的相互吸引或排斥。在q2分量中雙峰孤子之間的動力學性態(tài)與q1類似。與①類似，q1與q2分量的振幅變化很大，但其相位沒有發(fā)生任何改變。

圖1 2階孤子的動力學性態(tài)圖

學?？梢蚤_展針對任務型教學法的觀課、評課比賽。通過學習其他教師的教學優(yōu)勢，提高自身素質，定期檢查教案，評比教案。教師需要反復收集材料，處理材料，設定任務，精算時間。這是一個班級成功的關鍵。備課是一項艱苦的心理活動，教師必須在有限的時間內計劃好所有的步驟，準備應對緊急情況的策略。與沒有任何準備的純教學相比，它有不同的效果。在任務的設計上，一個課時的任務數量要根據教學內容來設置。它不能太多或太少。Skehan曾說過，“任務型教學的核心是讓學生通過學習語言完成任務?！盵1]任務設置必須有針對性。通過完成這項任務，學生將掌握一些技能。老師應該掌握這項工作的困難程度。

2）當h21＝h32＝h41＝0，lm（λ1）≠lm（λ2），如圖2（a）所示，在q1與q2分量中，孤子之間發(fā)生相互碰撞。其中，在q1分量中一組單峰孤子與一組雙峰孤子之間形成周期性相互作用，其傳播方向與t軸平行。在q2分量中一組單峰孤子變?yōu)殡p峰孤子并與另一組雙峰孤子之間發(fā)生周期性的相互吸引與排斥，其傳播方向仍與t軸平行。

簡化檢定法要點：在每個儀器站上用望遠鏡盤左和盤右對每個目標點進行觀測，獲取目標點的三維坐標（x，y，z），這樣在2個儀器站上共獲得16組目標點的三維坐標測量數據。每次設立儀器站，儀器度盤的初始方向無特定要求，可以是任一數值，但在整個觀測期間，需要保持目標點穩(wěn)定可靠。

圖2 2階孤子的動力學性態(tài)圖

4 結論

主要利用廣義達布變換求解相干耦合非線性薛定諤方程的2階孤子解。通過改變參數的取值研究了2階孤子之間相互碰撞的動力學特征。利用數值模擬，做出了一系列孤子相互作用的三維圖并對其進行了分析。