偏振成像在光學(xué)曲率半徑測量中的應(yīng)用

（長春理工大學(xué) 光電工程學(xué)院 光電測控與光信息傳輸技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長春 130022）

引言

光學(xué)系統(tǒng)由多個(gè)光學(xué)元件組成，廣泛用于軍事、數(shù)碼相機(jī)、光學(xué)儀器等各個(gè)領(lǐng)域，光學(xué)元件的基本參數(shù)尤其是曲率半徑直接決定整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的性能。所以在生產(chǎn)過程中，對光學(xué)元件的曲率半徑進(jìn)行測量是一個(gè)必要的環(huán)節(jié)。

對于光學(xué)零件曲率半徑的測量方法頗多，例如傳統(tǒng)的方法有機(jī)械球徑儀法，即利用精密裝置通過測得矢高來計(jì)算曲率半徑[1]；利用陰影法通過刀口儀也可對待測零件進(jìn)行非接觸性測量；還有常見的利用牛頓環(huán)通過光的干涉測量曲率半徑，測量精度準(zhǔn)確，更易于觀察；光學(xué)投影法也可以讓待測物體按一定放大倍率放大成像到光屏后再進(jìn)行測量，但此法更適用于較小的待測物體如小型透鏡等不便于直接測量的物體。除了傳統(tǒng)的方法，近年來研究者們不斷創(chuàng)新新的方法，利用波前差分法來通過菲索干涉儀對待測零件曲率半徑進(jìn)行測量[2]；利用菲索干涉儀結(jié)合高精度測長干涉儀的干涉測量方法，也可對典型的凸球面和凹球面光學(xué)元件進(jìn)行曲率半徑檢測[3]；或者利用分布式反饋激光二極管對透鏡進(jìn)行波數(shù)掃描,對CCD 相機(jī)采集到的干涉圖像依次進(jìn)行隨機(jī)采樣傅里葉變換和解卷繞算法,最終通過計(jì)算得出透鏡的三維輪廓數(shù)據(jù)[4]；或者利用高精度曲率半徑干涉測量技術(shù)在各個(gè)方面進(jìn)行誤差分析和補(bǔ)償來檢測曲率半徑大小并提高精度[5]；而對于特殊的光學(xué)零件如隱形眼鏡也可以利用低相干干涉測量技術(shù)和光柵尺來確定角膜頂點(diǎn)等參數(shù)，從而得到其曲率半徑[6]；或者將一定方式排布的點(diǎn)光源準(zhǔn)直后投射到角膜前表面，反射圖像經(jīng)物方遠(yuǎn)心光路成像，求出反射圖像中2個(gè)點(diǎn)光源的距離，進(jìn)而求得角膜曲率[7]；也可以球面鏡成像原理為基礎(chǔ),將環(huán)形光源投射到人眼角膜,再由成像物鏡同心圓環(huán)成像在CCD上,通過圖像處理計(jì)算出CCD上各圓環(huán)到角膜中心的高度,求出角膜曲率半徑[8]。

本文考慮到由于機(jī)械球徑儀精度較高且測量范圍廣，與光學(xué)投影法結(jié)合后可以通過先對其機(jī)械定位、再光學(xué)成像的步驟對光學(xué)零件的矢高進(jìn)行測量。由于涉及光學(xué)成像，所以確定光學(xué)零件成像圖的邊界極為重要，直接影響到光學(xué)零件的曲率半徑的精度?，F(xiàn)有的成像方式大多是利用普通光成像到接收屏然后進(jìn)行邊界確定，避免不了有較大誤差。而偏振成像在抑制背景噪聲、細(xì)節(jié)特征獲取、增強(qiáng)對比度等方面更具優(yōu)勢[9]，所以針對此問題本文利用了偏振成像來進(jìn)一步提高測量精度，并對兩者測量精度作了具體分析。

1 測量原理

本文所研究的是機(jī)械球徑儀法與光學(xué)投影法相結(jié)合的新型測量方法，其原理與上述2種方法都有相似之處。

對于機(jī)械球徑儀法，如圖1所示，測量時(shí)需使用適當(dāng)?shù)臏y量環(huán)將待測零件進(jìn)行定位。測量過程中，曲率半徑R、矢高S、弦長L在定位后的關(guān)系如圖2所示。

弦長L由測量環(huán)半徑確定，是一個(gè)已知量，矢高S由測桿測出，通過以下關(guān)系即可得到待測曲率半徑的大?。?/p>

圖1 機(jī)械球徑儀法Fig.1 Method of mechanical spherometer

圖2 曲率半徑R、矢高S、弦長L之間的關(guān)系Fig.2 Relations of R、S and L

對于光學(xué)投影法，也需要通過對待測光學(xué)零件進(jìn)行圖1所示的定位，從而保證準(zhǔn)確度。弦長L已知，但矢高不能通過測桿直接測出，需要對其進(jìn)行投影成像到接收屏，通過接收屏上的光電接收器方能確定矢高[10]。如圖3所示，在接收屏上測量出矢高大小，同時(shí)通過（1）式中的關(guān)系求出曲率半徑大小。

圖3 光學(xué)投影法Fig.3 Method of optical projection

本文所研究方法是將機(jī)械球徑儀法與光學(xué)投影法結(jié)合后，對待測光學(xué)零件經(jīng)過圖1所示定位后進(jìn)行普通成像與偏振成像。由于成像后的圖片像素個(gè)數(shù)與對應(yīng)的實(shí)際長度存在一定關(guān)系，設(shè)已知的弦長真實(shí)長度為L，待求的矢高真實(shí)長度為S，待測的矢高像素個(gè)數(shù)為S′，待測的底座弦長像素個(gè)數(shù)為L′，則四者存在如下關(guān)系：

相關(guān)待求參數(shù)、待測參數(shù)和已知參數(shù)如表1所示。

表1 像素個(gè)數(shù)與真實(shí)長度Table1 Number of pixels and true length

利用圖像處理對其進(jìn)行檢測，可得弦長的像素個(gè)數(shù)L′和檢測矢高的像素個(gè)數(shù)S′。然后將（2）式代入（1）式可得到如下關(guān)系：

即可分別求得普通成像與偏振成像下的待測光學(xué)零件曲率半徑，相比傳統(tǒng)機(jī)械球徑儀法與光學(xué)投影儀法，此方法不僅可測得曲率半徑的大小，更進(jìn)一步研究了偏振成像在測量領(lǐng)域所具有的重要價(jià)值。

2 矢高測量結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)

通過此原理我們不僅可以對傳統(tǒng)光學(xué)零件進(jìn)行測量，也可以對隱形眼鏡進(jìn)行測量。由于大多數(shù)隱形眼鏡具有軟性親水性，暴露在空氣中會產(chǎn)生變形，所以對隱形眼鏡進(jìn)行測量時(shí)應(yīng)將其放置于裝有生理鹽水的測量容器中以保證其精確性[11]。為了保證測量實(shí)驗(yàn)順利，本研究選擇了2個(gè)曲率半徑不同的光學(xué)零件進(jìn)行測量驗(yàn)證。由于對矢高進(jìn)行測量時(shí)應(yīng)該使其長度盡量準(zhǔn)確，即讓測頭剛好碰到光學(xué)零件，所以測量前需要對光學(xué)零件進(jìn)行定位。在定位過程中，若利用壓力傳感器，則當(dāng)測頭上的壓力傳感器碰到光學(xué)零件時(shí)就會有一定輸出值，表明此時(shí)測頭長度即為測得的矢高長度。由于本實(shí)驗(yàn)需對定位好的結(jié)構(gòu)進(jìn)行成像，應(yīng)拿走光學(xué)零件后再進(jìn)行拍攝。而壓力傳感器利用材料某些特性將所需壓力信號轉(zhuǎn)化為電信號[12]，其中壓力信號大多都是利用形變而得到，如把零件拿走會發(fā)生一定的回彈，使其矢高長度測得值增大從而影響精確度。所以針對此問題設(shè)計(jì)了一種測量結(jié)構(gòu)來代替壓力傳感器進(jìn)行定位，如圖4所示。

如圖5所示，探頭是已伸出的狀態(tài)。定位時(shí)把一定曲率半徑的光學(xué)零件放在圓筒底座上后，首先調(diào)節(jié)升降臺，接觸到光學(xué)零件邊緣后繼續(xù)上升，直到所有邊緣都已和升降臺接觸，此時(shí)光學(xué)零件剛好已是水平狀態(tài)且中心對準(zhǔn)測微頭中心；然后緩慢下降，當(dāng)光學(xué)零件邊緣再次與圓柱底座接觸上時(shí)，由于下降升降臺時(shí)不可能鏡片剛好接觸圓柱底座時(shí)就停止，所以繼續(xù)下降升降臺一定距離后再緩慢升高升降臺使其剛好與鏡片邊緣接觸；兩者接觸狀態(tài)可以通過手輕微晃動鏡片檢驗(yàn)，若沒接觸上，即鏡片與升降臺還有一定距離，鏡片會產(chǎn)生晃動，當(dāng)不再晃動時(shí)即為完全接觸上；最后開始擰動測微頭使測桿上升，頂住鏡片頂部后繼續(xù)上升一段距離后下降，使鏡片邊緣剛好接觸升降臺，接觸狀態(tài)同樣可以通過手輕微晃動鏡片來檢驗(yàn)，此時(shí)測桿凸出底座的距離就是矢高。

圖4 光學(xué)零件定位結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure for positioning the optical components

圖5 未進(jìn)行定位時(shí)的結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Structure before positioning the optical components

3 測量實(shí)驗(yàn)中的圖像處理方法

在光學(xué)零件定位完成后需對其進(jìn)行成像，成像方式采用普通成像和偏振成像對比進(jìn)行。為了保證測量實(shí)驗(yàn)順利進(jìn)行，成像之后進(jìn)行的圖像處理技術(shù)起著關(guān)鍵的作用，其中邊緣檢測和直線識別在測量過程中起著核心作用。

邊緣檢測是圖像處理中的基本問題，目的是識別數(shù)字圖像中亮度變化明顯的點(diǎn)，傳統(tǒng)的邊緣檢測算法主要是基于像素梯度分布來反映邊緣的位置。具體做法是先選取合適的閥值分割圖像的目標(biāo)與背景，再對圖像的各個(gè)像素及其領(lǐng)域進(jìn)行一階或二階微分運(yùn)算，得到該圖像中最大梯度或者二階導(dǎo)數(shù)為零的位置即為目標(biāo)。但通常是使用模板卷積來近似運(yùn)算提取邊緣，一般的做法是對不同的方向各使用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的模板，然后組合起來構(gòu)成一個(gè)梯度算子，比較常用的有Robert算子、Sobel算子、Perwitt算子、Laplacian算子和Canny算子等[13-14]。其中Canny算子不易受到噪聲干擾，能夠盡量多地保留成像圖片的邊緣細(xì)節(jié)，因此對以后的矢高和底座的直線檢測有利，所以選用Canny算子進(jìn)行邊緣檢測。

對于直線檢測，可以利用Hough變換來進(jìn)行，Hough變換用于檢測圖像中能夠用一定函數(shù)關(guān)系描述的直線、圓、拋物線、橢圓等，其容錯性和魯棒性較好,能夠較好地處理局部遮擋、覆蓋,是圖像處理中識別與檢測幾何形狀的關(guān)鍵方法之一[15-16]。所以利用Hough變換即可達(dá)到本實(shí)驗(yàn)測量的目的。

在確定邊緣檢測和直線檢測所需函數(shù)后，即可對成像后的圖片進(jìn)行處理。處理過程中首先需要對成像圖片進(jìn)行灰度處理，使成像圖片每個(gè)像素只需一個(gè)字節(jié)存放灰度值且灰度范圍為0～255，然后在最多有256個(gè)亮度等級的灰度圖像上通過適當(dāng)?shù)拈撝颠x取，從而獲得仍然可以反映圖像整體和局部特征的二值化圖像。若二值化圖像效果欠佳，可在灰度處理后進(jìn)行灰度反轉(zhuǎn)再進(jìn)行二值化處理，之后再對二值化圖像使用canny算子進(jìn)行邊緣檢測，使其邊緣輪廓展現(xiàn)出來，最后對其進(jìn)行Hough變換直線檢測，即可精確檢測出本實(shí)驗(yàn)需要測得的矢高像素個(gè)數(shù)S′以及圓筒底座像素個(gè)數(shù)L′。

4 圖像判讀誤差分析

在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)之前，有必要先在理論層次分析偏振成像和普通成像相對于真實(shí)值的圖像判讀誤差對測得曲率半徑的影響情況。如圖6所示，邊緣陰影部分即為對邊緣模糊的成像圖進(jìn)行圖像直線檢測時(shí)導(dǎo)致的圖像判讀誤差。設(shè)在普通成像測量過程中，相對于真實(shí)值的誤差?D可分為測頭頂部邊緣誤差?D1、圓筒兩側(cè)邊緣誤差?D2、圓筒上邊緣誤差ΔD3。同理，偏振成像測量過程中的誤差?D′亦可分為測頭頂部邊緣誤差?D1′、圓筒兩側(cè)邊緣誤差?D2′、圓筒上邊緣誤差ΔD3′。

圖6 邊緣誤差示意圖Fig.6 Schematic diagram of marginal error

由于實(shí)驗(yàn)測量條件相同，3 處誤差是近似相等的，即有如下2個(gè)關(guān)系：

但因?yàn)槠裣鄼C(jī)相對普通相機(jī)拍攝的邊緣更加尖銳，誤差更小，即有如下關(guān)系：

有了上述的邊緣誤差，必定會影響測得的弦長L′和矢高S′大小,導(dǎo)致有誤差的弦長LE′和有誤差的矢高SE′，也應(yīng)分普通成像與偏振成像。

普通成像情況下，測得弦長加入弦長誤差即圓筒左右兩側(cè)邊緣誤差相加后得：

測得矢高加入矢高誤差即圓筒上邊緣誤差和測頭頂部邊緣誤差相減后得：

將含有誤差的弦長與矢高代入（2）式后變?yōu)?/p>

由于?D1與?D3近似相等，所以（9）式中的?D1??D3被消去后可轉(zhuǎn)化為

偏振成像情況下同理存在如下關(guān)系：

由此可知，圓筒兩側(cè)邊緣的誤差?D2與?D2′會影響矢高與曲率半徑測量的精度。為了進(jìn)行對比，將真實(shí)無誤差情況下的（2）式、普通成像情況下的（10）式、偏振成像情況下的（11）式分別代入（1）式中，可得到曲率半徑真實(shí)值RT、偏振成像測得曲率半徑值RP，及普通成像測得曲率半徑值RO的表達(dá)式：

為了更好地對三者進(jìn)行比較，RP與RO統(tǒng)稱為在有誤差情況下的曲率半徑RE。RE表達(dá)式如下：

式中：弦長的誤差?D2與?D2′以δ表示。三者比較的大致步驟是：首先通過比較RT與RE的大小求出實(shí)驗(yàn)允許的相關(guān)范圍，再通過RE關(guān)于誤差δ的函數(shù)在實(shí)驗(yàn)允許范圍內(nèi)的單調(diào)性得到RP與RO的大小關(guān)系。

首先設(shè) ?為RT與RE之差，則有：

當(dāng)2S′≧L′時(shí)，?≧0，但此范圍內(nèi)出現(xiàn)矢高大于或等于曲率半徑大小的情況，在實(shí)驗(yàn)操作中不會出現(xiàn)，應(yīng)舍棄。

當(dāng)2S′0的情況下，RT

然后對RE關(guān)于誤差δ的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得到：

由于求導(dǎo)后的函數(shù)在有效范圍2S′

即曲率半徑真實(shí)值RT、偏振成像測得曲率半徑值RP、普通成像測得曲率半徑值RO是從小到大的關(guān)系，通過對其進(jìn)行理論分析后，需要對其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

5 曲率半徑測量實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證推導(dǎo)過程的正確性，選擇2個(gè)不同的光學(xué)零件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，需要對其進(jìn)行普通成像與偏振成像的比對測量。測量前需對其進(jìn)行機(jī)械定位，之后需要在四周盡可能昏暗但背景盡可能光亮的環(huán)境下進(jìn)行成像，這樣可以使對比度更高，更加方便測量。

5.1 普通成像對曲率半徑的測量實(shí)驗(yàn)

對其進(jìn)行定位后進(jìn)行普通成像，得到光學(xué)零件定位后的圖像，然后對圖像進(jìn)行處理。測量長度時(shí)，按圖像處理步驟首先進(jìn)行灰度處理、灰度反轉(zhuǎn)且找到準(zhǔn)確閾值，從而得到二值化圖像如圖7所示。

圖7 二值化圖像Fig.7 Binary image

然后用Canny算子對二值化圖像進(jìn)行邊緣檢測，結(jié)果圖像如圖8所示。即使Canny算子檢測的邊緣連續(xù)性好，但由于普通成像的邊緣模糊度也導(dǎo)致了檢測的邊緣斷斷續(xù)續(xù)。

圖8 邊緣檢測結(jié)果Fig.8 Results of edge detection

為了減少邊緣斷裂的影響，需要進(jìn)行取點(diǎn)連線處理，在矢高頂端和底部進(jìn)行取點(diǎn)連線即為測得矢高的像素個(gè)數(shù)S′，在圓筒兩端進(jìn)行取點(diǎn)連線即為測得弦長的像素個(gè)數(shù)L′，輸出圖像如圖9所示。

圖9 連線后的圖像Fig.9 Image after wiring

然后對其進(jìn)行長度檢測得出矢高和弦長的像素個(gè)數(shù)后，代入（2）式和（3）式即可求出待測的矢高長度S以及曲率半徑R。對選取的2個(gè)不同的光學(xué)零件重復(fù)實(shí)驗(yàn)5次，得到的結(jié)果分別如表2和表3所示。

表2 光學(xué)零件1普通成像測得結(jié)果Table2 Measurement results of general imaging for optical parts 1

表3 光學(xué)零件2普通成像測得結(jié)果Table3 Measurement results of general imaging for optical parts 2

光學(xué)零件1測得結(jié)果取平均值得R=20.100 9 mm，光學(xué)零件2測得結(jié)果取平均值得R=24.829 3 mm，即分別為普通成像下測得的光學(xué)零件曲率半徑值。

5.2 偏振成像對曲率半徑的測量實(shí)驗(yàn)

進(jìn)行普通成像測量后，在同樣的測量環(huán)境下對其進(jìn)行偏振成像，然后進(jìn)行灰度處理、灰度反轉(zhuǎn)且找到準(zhǔn)確閾值進(jìn)行二值化處理后的二值化圖像如圖10所示。

圖10 二值化圖像Fig.10 Binary image

然后利用Canny算子對二值化圖像進(jìn)行邊緣檢測，結(jié)果如圖11所示。我們將普通成像和偏振成像下的邊緣檢測結(jié)果進(jìn)行對比，可以看出偏振成像的表面細(xì)節(jié)更加平整，而普通成像可以很明顯看出表面凹凸不平并且連續(xù)性更差，這就使得偏振圖像邊緣檢測的誤差會更小。

同理，對邊緣檢測結(jié)果圖像進(jìn)行取點(diǎn)連線后的結(jié)果圖像如圖12所示。

圖11 邊緣檢測結(jié)果Fig.11 Results of edge detection

圖12 連線后的圖像Fig.12 Image after wiring

然后對其進(jìn)行長度檢測得出矢高和弦長的像素個(gè)數(shù)后，同樣代入（2）式和（3）式即可求出待測的矢高長度S以及曲率半徑R。利用光學(xué)零件1與光學(xué)零件2重復(fù)實(shí)驗(yàn)5次，得到曲率半徑測量結(jié)果及其均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差分別如表4 和表5所示。

表4 光學(xué)零件1的偏振成像測得結(jié)果Table4 Measurement results of polarization imaging for optical parts 1

表5 光學(xué)零件2的偏振成像測得結(jié)果Table5 Measurement results of polarization imaging for optical parts 2

光學(xué)零件1測得結(jié)果取平均值得R=20.000 2 mm，光學(xué)零件2測得結(jié)果取平均值得R=24.658 mm，即分別為偏振成像下測得的光學(xué)零件曲率半徑值。

6 普通圖像與偏振圖像測量結(jié)果對比

待測件在由TRIOPTICS 生產(chǎn)的測量精度為0.05%的Spherocompact 緊湊型球徑儀上進(jìn)行多次測量后，取平均值可以得到光學(xué)零件1的曲率半徑為19.815 mm，光學(xué)零件2的曲率半徑為24.55 mm，再對比2種成像方式下2個(gè)光學(xué)零件的實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)，如圖13和圖14所示。

圖13 光學(xué)零件1測量結(jié)果對比Fig.13 Comparison of measurement results for optical parts 1

圖14 光學(xué)零件2測量結(jié)果對比Fig.14 Comparison of measurement results for optical parts 2

在2種成像方式下2個(gè)不同光學(xué)零件的實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，通過2個(gè)獨(dú)立樣本檢驗(yàn)方法，利用SPSS 統(tǒng)計(jì)分析軟件分別對不同成像方法下的2 組測量數(shù)據(jù)的顯著性差異進(jìn)行分析，測得零件1的2 組數(shù)據(jù)分析結(jié)果為P=0.001 386<0.01；測得零件2的2 組數(shù)據(jù)分析結(jié)果為P=0.000 025<0.01。2個(gè)零件分析得出的結(jié)果均為P<0.01，說明同一零件下不同成像方式的2 組數(shù)據(jù)差異顯著。

通過2種不同的方法測得的數(shù)據(jù)差異顯著，可以看出在測量同一個(gè)光學(xué)零件時(shí)，偏振成像測得的曲率半徑值小于普通成像測得的曲率半徑值，且都大于曲率半徑真實(shí)值。從而說明偏振成像測得值的精確度大于普通成像測得值的精確度，進(jìn)一步證實(shí)在同一條件下偏振成像相比普通成像能更好地呈現(xiàn)物體邊緣細(xì)節(jié)。

7 結(jié)論

本文基于機(jī)械球徑儀法與光學(xué)投影法兩者的結(jié)合，提出先機(jī)械定位，后偏振成像，再對邊緣特征進(jìn)行判定的方法來測量光學(xué)零件矢高，從而計(jì)算出其曲率半徑。以普通光學(xué)零件為例，對其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測量，偏振成像相對于普通成像使曲率半徑測得值的精度提升了0.5%以上，驗(yàn)證了公式推導(dǎo)及測量方法的正確性。此測量方法除了可對普通光學(xué)零件曲率半徑進(jìn)行檢驗(yàn)以外，也可在適當(dāng)選擇測量環(huán)境后，對隱形眼鏡等特殊的光學(xué)零件曲率半徑進(jìn)行檢驗(yàn)，對光學(xué)零件測量檢驗(yàn)領(lǐng)域具有重要價(jià)值。