新疆少數(shù)民族地區(qū)大學(xué)物理中幾個(gè)公式的教法探討

李華振 杜偉偉 蔣相站 李文亮 魏成偉

（1.新疆工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830023；2.新疆工程學(xué)院 能源工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830023；3.新疆工程學(xué)院教務(wù)處，新疆 烏魯木齊 830023）

大學(xué)物理始終是高等院校工科各專業(yè)的一門(mén)重要的通識(shí)必修課，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力和基本技能具有重要作用。新疆少數(shù)民族地區(qū)大學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)普遍薄弱，學(xué)習(xí)興趣不足，需要采用有針對(duì)性的教學(xué)方法，增強(qiáng)學(xué)生的獲得感，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，從而能夠達(dá)到用物理原理解決工程問(wèn)題的培養(yǎng)目標(biāo)。物理公式是對(duì)各種物理現(xiàn)象、規(guī)律的高度概括，在對(duì)新疆少數(shù)民族地區(qū)基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué)中，更需要對(duì)于物理公式進(jìn)行“庖丁解?！笔降姆治?，學(xué)生只有掌握公式的物理意義，了解每一個(gè)符號(hào)的物理含義及其表達(dá)的物理內(nèi)涵，才能夠應(yīng)用物理理論正確的解決實(shí)際問(wèn)題[1]。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類(lèi)問(wèn)題

運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的位置矢量按一定的規(guī)律隨時(shí)間而變化，這個(gè)位置矢量隨時(shí)間變化的函數(shù)表示即為該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。速度等于位置矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，加速度等于速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)[2-3]。 即：

運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類(lèi)問(wèn)題是指已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求質(zhì)點(diǎn)速度與加速度。 學(xué)生解題過(guò)程中，首先代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程計(jì)算出該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置矢量（常矢量），計(jì)算速度與加速度時(shí)直接對(duì)該常矢量求導(dǎo)，得到速度與加速度皆為0。 若已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，求解某一確切時(shí)刻的速度與加速度時(shí)， 學(xué)生能夠通過(guò)求導(dǎo)計(jì)算速度， 代入該確切時(shí)刻得到該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度 （常矢量），接著計(jì)算加速度時(shí)再次出現(xiàn)對(duì)常矢量求導(dǎo)，得到加速度為0 的錯(cuò)誤結(jié)果。

1.1 錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因

此處學(xué)生出錯(cuò)的原因不在于函數(shù)求導(dǎo)，而是對(duì)求導(dǎo)對(duì)象的混淆。 在這部分內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中，為簡(jiǎn)單方便，書(shū)寫(xiě)時(shí)會(huì)將任意t時(shí)刻的位置矢量r（t）簡(jiǎn)寫(xiě)為r；將任意t時(shí)刻的速度v（t）簡(jiǎn)寫(xiě)為v；將任意t時(shí)刻的加速度a（t）簡(jiǎn)寫(xiě)為a。 求導(dǎo)對(duì)象的混亂由此產(chǎn)生。

學(xué)生從(1)式能夠得到的信息是：速度等于位置矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，加速度等于速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，正是此處求導(dǎo)對(duì)象的不明確。 當(dāng)學(xué)生由任意時(shí)刻的位置矢量求得某確定時(shí)刻的位置矢量后，會(huì)直接應(yīng)用（1）式對(duì)該確切時(shí)刻的位置矢量求一階導(dǎo)數(shù)，認(rèn)為就得到該確切時(shí)刻的速度。 同理，當(dāng)由任意時(shí)刻的速度求得某確切時(shí)刻的速度后，計(jì)算該時(shí)刻加速度時(shí)也會(huì)犯相同的錯(cuò)誤：將某時(shí)刻的位置矢量、速度作為求導(dǎo)對(duì)象。

1.2 解決方案

針對(duì)此類(lèi)錯(cuò)誤，在教學(xué)中完整書(shū)寫(xiě)公式中的自變量，要求學(xué)生也書(shū)寫(xiě)自變量，能夠有效地幫助學(xué)生確定公式中的求導(dǎo)對(duì)象是函數(shù)表達(dá)式，而不是常量：

任意t時(shí)刻的速度表達(dá)式等于任意t時(shí)刻的位置矢量（運(yùn)動(dòng)學(xué)方程）對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，任意t時(shí)刻的加速度表達(dá)式等于任意t時(shí)刻的速度表達(dá)式對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，書(shū)寫(xiě)自變量，可以有效地降低學(xué)生在該類(lèi)錯(cuò)誤上出現(xiàn)的頻率，也為后續(xù)解決其他運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類(lèi)問(wèn)題打下良好的基礎(chǔ)。

2 矢量與矢量微分之間標(biāo)積的運(yùn)算

矢量與矢量微分之間標(biāo)積運(yùn)算，在推導(dǎo)萬(wàn)有引力做功，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理等情況時(shí)經(jīng)常會(huì)用到。 初學(xué)者會(huì)對(duì)這一等式產(chǎn)生困惑[4]：

兩個(gè)矢量的標(biāo)積等于兩矢量各自的模長(zhǎng)與兩個(gè)矢量的夾角的余弦值的乘積，此式缺少余弦值項(xiàng)。

2.1 困惑產(chǎn)生原因

r=|r|是大學(xué)物理中公認(rèn)的簡(jiǎn)寫(xiě)，式（3）中同時(shí)出現(xiàn)r與r，且對(duì)二者進(jìn)行微分運(yùn)算，造成學(xué)生混淆了該運(yùn)算中的|dr|與dr。

圖1 矢量與矢量微分之間的標(biāo)積

物理中矢量r 的大小用|r|表示，簡(jiǎn)寫(xiě)為r。dr 表示r的微分，是矢量；而dr表示矢量r 大小的微分，是標(biāo)量。 dr與dr意義不同，如圖1 所示，dr 的大小等于PM長(zhǎng)度，dr原本就等于NM 長(zhǎng)度， 二者滿足|dr|≥dr 的關(guān)系。

2.2 解決方案

對(duì)矢量微分公式的講解可以先采用模長(zhǎng)符號(hào)講解。 如圖2，矢量微分的大小|dr|等于PM 的長(zhǎng)度，矢量大小的微分d|r|等于NM 的長(zhǎng)度。 因此有：

圖2 矢量與矢量微分之間的標(biāo)積模長(zhǎng)表示

由此式引導(dǎo)學(xué)生得到：

然后再講矢量大小的簡(jiǎn)寫(xiě)， 從而得到矢量微分公式，打消學(xué)生對(duì)矢量與矢量微分標(biāo)積運(yùn)算公式的困惑。

3 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)新疆少數(shù)民族地區(qū)學(xué)生物理基礎(chǔ)知識(shí)較為薄弱，本著因材施教的原則，以學(xué)生為主體，教學(xué)方法跟著學(xué)生聽(tīng)課狀況不斷做出調(diào)整，將內(nèi)涵豐富的物理公式以最適合他們的方式來(lái)講授，對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類(lèi)問(wèn)題求導(dǎo)公式、矢量與矢量微分標(biāo)積公式，通過(guò)添加公式自變量標(biāo)識(shí)，采用矢量模長(zhǎng)的符號(hào)的方法，將易于混淆的公式及其應(yīng)用原理清晰地講授給學(xué)生，幫助學(xué)生學(xué)懂學(xué)會(huì)基本理論和基本知識(shí)，為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。