對(duì)三角形中的最值問題的解法探究

宗 仲

(江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)國(guó)際分校 213161)

解三角形中的最值問題，在近幾年各類考試中頻繁出現(xiàn)，頗受命題者的青睞.要求學(xué)生們有較強(qiáng)的邏輯思維能力、準(zhǔn)確的計(jì)算能力才能順利解答.這類問題的實(shí)質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，主要運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、正余弦定理、面積公式、三角恒等變形、三角函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)解題.下面舉例說(shuō)明三角形中的最值問題的常見解法，供各位參考.

例1在銳角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanA·tanB·tanC的最小值為____.

分析本題僅涉及三個(gè)角變量，優(yōu)先考慮利用內(nèi)角和定理實(shí)現(xiàn)消元，并結(jié)合兩角和的正切公式挖掘出整體，從而實(shí)現(xiàn)整體消元.

解析因?yàn)閟inA=2sinBsinC，

所以sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.

兩邊同除以cosBcosC，得tanB+tanC=2tanBtanC.

設(shè)tanAtanB=x(x>0)，則tanA+tanB=2x.

分析本題雖然依舊涉及三個(gè)角變量，但與例1相比較，所求的cosC不易表示，因此利用解三角形的基本思想：邊角互化，將三個(gè)角變量轉(zhuǎn)化成三個(gè)邊變量，從而實(shí)現(xiàn)消元，再利用基本不等式求解.

由余弦定理，得

分析本題依舊是三個(gè)角變量，與變式1相似，用角無(wú)法實(shí)現(xiàn)消元，依然利用邊角互化和三角恒等變形進(jìn)行求解.

解析由正弦定理，得2a2+b2=2c2.

因?yàn)?a2+2b2-2c2=b2，

所以4abcosC=b2.

所以4acosC=b.

所以4sinAcosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.

所以3sinAcosC=cosAsinC.

所以3tanA=tanC.

分析本題與前面三題相比較，最困難的地方就是角關(guān)系的挖掘，需要借助于正余弦定理的混合使用才能實(shí)現(xiàn).另外本題與前三題有一個(gè)本質(zhì)區(qū)別，本題是求取值范圍，所以自變量范圍的確定需要精確，這點(diǎn)也是本題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).

解析由余弦定理，得a2+b2-2abcosC-b2=ab.

所以a2-2abcosC=ab.

所以a-2bcosC=b.

由正弦定理，得sinA-2sinBcosC=sinB.

所以sin(π-B-C)-2sinBcosC=sinB.

所以sin(B+C)-2sinBcosC=sinB.

所以sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=sinB.

所以cosBsinC-sinBcosC=sinB=sin(C-B).

在銳角△ABC中，B=C-B，所以C=2B.

例2設(shè)△ABC的面積為2，若A，B，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則a2+2b2+3c2的最小值為____.

分析1 依舊采取例1的消元、正余弦定理的結(jié)合，本題比較困難的地方在于融合了放縮的思想，等號(hào)滿足同時(shí)取得，最終最值的求解還需要借助于導(dǎo)數(shù).

由余弦定理，得

a2+2b2+3c2=a2+2b2+3(a2+b2-2abcosC)

分析2 以上的題目都是將幾何問題代數(shù)化解決，而幾何問題本身可以從幾何的角度考慮.因此聯(lián)想坐標(biāo)化來(lái)實(shí)現(xiàn)，本題坐標(biāo)化后再轉(zhuǎn)化成方程有解，簡(jiǎn)單易操作.

當(dāng)然，題目千變?nèi)f化，具體處理手法還需要按照題目具體分析研究.但不管如何變化，解決的思想始終是：幾何問題代數(shù)化、消元思想、邊角互化思想、正余弦定理的合理轉(zhuǎn)化思想等，抓住這些，在遇到此類問題時(shí)，學(xué)生們可以從容應(yīng)對(duì).