探究問題本質(zhì) 提高解題能力
——以一類二元二次方程的研究為例

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

最近在教學(xué)過程中遇到一個問題，教師看起來挺容易，但是學(xué)生覺得很困難.在我所帶的實驗班中正確率才8%，幾乎全軍覆滅.于是，我對此類問題進行了深入探究.現(xiàn)分享與此，以饗讀者.

一、試題呈現(xiàn)

題目方程2x2+xy-y2-4x+5y-6=0表示( ).

A.一個圓 B.兩條平行直線

C.兩條相交直線 D.不確定

在和學(xué)生交流中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生根本無從下手，僅能根據(jù)圓的一般方程排除A.至于后面三個選項更趨向于D，我哭笑不得.學(xué)生普遍反映不知道方程左邊該怎樣處理.

二、解法探究

首先，我請同學(xué)們一起觀摩了參考答案：

由于2x2+xy-y2-4x+5y-6

=(2x-y)(x+y)-4x+5y-6

=(2x-y)(x+y)+2(x+y)-6x+3y-6

①

=(x+y)(2x-y+2)-3(2x-y+2)

②

=(2x-y+2)(x+y-3)，

所以根據(jù)(2x-y+2)(x+y-3)=0，得

2x-y+2=0，或x+y-3=0.

據(jù)此判斷原方程表示兩條相交直線，故選C.

這個解法遭到了同學(xué)們的普遍質(zhì)疑：①處的2(x+y)是怎樣想到的？②的公因式2x-y+2是偶然的，還是必然的？①中能否去拼湊2x-y呢？這種解法具有一般性嗎？調(diào)整系數(shù)還可以這樣分解嗎？

在學(xué)生急切期盼中，我給學(xué)生分析解答如下：

基于2x2+xy-y2=(2x-y)(x+y)，說明

2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x-y+m)(x+y+n).

③

否則，關(guān)于x，y的一次項和常數(shù)項沒有來源.

下面用待定系數(shù)法求解m，n.

(2x-y+m)(x+y+n)

=(2x-y)(x+y)+n(2x-y)+m(x+y)+mn

=(2x-y)(x+y)+(2n+m)x+(m-n)y+mn.

所以2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x-y+2)(x+y-3).

殊途同歸，學(xué)生基本接受了，他們認(rèn)為這種解法可以復(fù)制.事實上，這類題目有個大前提：前三項齊次式必須可以分解，否則這種辦法擱淺.

三、本質(zhì)探究

設(shè)二元二次方程為ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(abc≠0)其中a=a1×a2，c=c1×c2，b=a1c2+a2c1.

于是ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=(a1x+c1y)(a2x+c2y)+dx+ey+f.

令ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=(a1x+c1y+m)(a2x+c2y+n)=(a1x+c1y)(a2x+c2y)+n(a1x+c1y)+m(a2x+c2y)+mn=(a1x+c1y)(a2x+c2y)+(na1+ma2)·x+(nc1+mc2)y+mn,

至此，我們把這一類二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(其中a=a1×a2,c=c1×c2,b=a1c2+a2c1)問題本質(zhì)理清了.它表示的兩條相交直線是：

四、拓展延伸

我們知道，平面上兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行、重合三種.既然兩條相交線可以有這樣的表示方式，那么兩條直線平行、重合又該如何表示呢？

兩條平行直線的方程可以分別表示成：ax+by+c1=0和ax+by+c2=0(a2+b2≠0).那么仿照前文可知，它們可以用一個方程表示為

(ax+by+c1)(ax+by+c2)=0.

④

整理，得

(ax+by)2+a(c1+c2)x+b(c1+c2)y+c1c2=0.

⑤

逆向思考可知⑤表示兩條平行的直線.這里尤其需要注意：④式中兩因式變量系數(shù)對應(yīng)相等；⑤式中兩個一次項系數(shù)與二次項系數(shù)、常數(shù)項的關(guān)系.

例1方程x2+4xy+4y2+3x+6y+2=0表示____.

解析因為x2+4xy+4y2=(x+2y)2，所以x2+4xy+4y2+3x+6y+2=0可以變形為(x+2y)2+(1+2)x+2(1+2)y+1×2=0.

即(x+2y+1)(x+2y+2)=0.

所以x2+4xy+4y2+3x+6y+2=0表示兩條平行直線x+2y+1=0和x+2y+2=0.

同理，兩條重合的直線表示為(ax+by+c)2=0.

即a2x2+2abxy+b2y2+2acx+2bcy+c2=0.

例2方程x2+2xy+y2+2x+2y+1=0表示____.

解析因為x2+2xy+y2+2x+2y+1=(x+y+1)2，所以x2+2xy+y2+2x+2y+1=0表示兩條重合的直線x+y+1=0，也可以看成一條直線.

五、牛刀小試

練習(xí)方程2x2+3xy+y2+5x+3y+2=0表示____.

解析因為 2x2+3xy+y2=(2x+y)(x+y)，兩個因子的x，y系數(shù)不成比例，所以2x2+3xy+y2+5x+3y+2=0表示兩條相交直線.

由前文知a1=2，a2=1，c1=1，c2=1，d=5，e=3.

所以2x2+3xy+y2+5x+3y+2=(2x+y+1(x+y+2).

所以方程2x2+3xy+y2+5x+3y+2=0表示兩條相交直線2x+y+1=0和x+y+2=0.

六、教后反思

1.教學(xué)中務(wù)必注重通性通法教學(xué)，學(xué)生方可“復(fù)制”

所謂通性通法是指具有某種規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)解題方法.建構(gòu)主義認(rèn)為,教學(xué)應(yīng)以使學(xué)生形成對知識的深刻理解為目標(biāo).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》也指出:“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真,努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).”《2020年數(shù)學(xué)科考試說明》也指出:“數(shù)學(xué)知識考查時,要從學(xué)科整體意義和思想含義上立意,注重通性通法,淡化特殊技巧,要有效地檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度.”因此,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視對通性通法的深層次理解,強化基礎(chǔ)知識、基本技能的訓(xùn)練,深入理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,提高實踐能力.只有學(xué)生掌握了通解通法，才不可能短時間就“忘了”，才能做到舉一反三，靈活應(yīng)用，避開題海戰(zhàn)術(shù)，并且提升能力.

2.教學(xué)中，比答案更重要的是揭示問題本質(zhì)

高中學(xué)生學(xué)得辛苦,但由于缺乏對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的認(rèn)識,常常事倍功半,在重復(fù)與茫然的訓(xùn)練中效率不高．因此,教師的指導(dǎo)作用應(yīng)該體現(xiàn)在“講清數(shù)學(xué)道理,揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)”上．通過教師自身或集體研究,幫助學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)背景,從數(shù)學(xué)知識的根源開始,理清每一類問題的來龍去脈,使得數(shù)學(xué)知識“拎起來成一串、撒下去鋪一片”,這樣才能讓學(xué)生真正學(xué)懂弄通,學(xué)習(xí)和應(yīng)試都不再迷茫．

3.適當(dāng)拓寬教學(xué)內(nèi)容，擴大學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

我們知道，現(xiàn)行初中教材中，因式分解只介紹了提公因式法和公式法.事實上，因式分解有很多方法，但是初中學(xué)生精力有限，為了減負(fù)，沒有全面鋪開，同時也是教材編寫的原則：螺旋上升.但是到了高中，我們需要更多的因式分解方法以應(yīng)對各種復(fù)雜的問題.此時我們有必要做好拓寬補充工作，否則學(xué)生跟不上教學(xué)節(jié)奏，聽不成課，做不成作業(yè)，學(xué)習(xí)積極性會受到創(chuàng)傷.

另外，二元二次方程在高中現(xiàn)行教材中僅在《圓的一般方程》一節(jié)提到過，也沒有詳細(xì)介紹.但是圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是它的特例，在大學(xué)中還會深入全面研究它.在高中教學(xué)過程中有機會給學(xué)生適度引入介紹，增加一些了解，對學(xué)生來說，不僅從知識的層面有收獲，更重要的是可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，對數(shù)學(xué)充滿期望，對未來的大學(xué)學(xué)習(xí)也是一個鋪墊.何樂而不為呢！