關(guān)于“行列式”與“矩陣”的教學(xué)反思

張夢(mèng)琇 許梅蘭

【摘要】本篇文章主要從教師講授“行列式”與“矩陣”相關(guān)內(nèi)容的情況，學(xué)生掌握“行列式”與“矩陣”內(nèi)容的程度，學(xué)生章末測(cè)試成績(jī)和學(xué)生課堂反應(yīng)等方面，探究學(xué)生對(duì)“行列式”與“矩陣”相關(guān)內(nèi)容熟練程度的教學(xué)反思，有助于幫助教師更好地調(diào)整授課方式，避免學(xué)生混淆“行列式”和“矩陣”的相關(guān)概念、表示方法、性質(zhì)等.隨后，筆者通過石河子大學(xué)2019～2020年度第二學(xué)期經(jīng)濟(jì)類專業(yè)1-4班線性代數(shù)的課堂實(shí)例，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)效果進(jìn)行課后反思，剖析產(chǎn)生“行列式”與“矩陣”相關(guān)知識(shí)點(diǎn)混淆的原因.最后，筆者結(jié)合課后反思，對(duì)同行今后的“行列式”與“矩陣”的教學(xué)設(shè)計(jì)給出幾點(diǎn)意見.

【關(guān)鍵詞】行列式;矩陣;區(qū)別;聯(lián)系;教學(xué)反思

“行列式”與“矩陣”是線性代數(shù)中解決線性方程組問題的重要工具，因此，掌握“行列式”與“矩陣”的相關(guān)概念，利用“行列式”與“矩陣”解決線性方程組的相關(guān)問題是學(xué)好線性代數(shù)這門課程的基礎(chǔ)，教師在講授“行列式”與“矩陣”的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，要注意“行列式”與“矩陣”的區(qū)別和聯(lián)系.結(jié)合石河子大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系教師的授課經(jīng)驗(yàn)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于“行列式”與“矩陣”的區(qū)別掌握情況較差，多數(shù)學(xué)生出現(xiàn)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)記錯(cuò)、混淆等情況，針對(duì)這種現(xiàn)象，筆者分別從教師的授課角度與學(xué)生的學(xué)習(xí)角度剖析現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，以方便教師今后對(duì)這門課程的教學(xué).

一、關(guān)于“行列式”與“矩陣”教師的授課情況

1.行列式的講授過程

教師在講授行列式的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，主要從三個(gè)方面介紹行列式：（1）行列式是什么;（2）為什么要學(xué)行列式;（3）行列式的應(yīng)用.第一方面的內(nèi)容主要從行列式的定義、表示方法和性質(zhì)入手，在介紹行列式之前，為了引起學(xué)生對(duì)線性代數(shù)這門課程的興趣，筆者從求解二元一次方程組入手，讓學(xué)生回憶解決這類問題的方法，在學(xué)生回憶解決方法的同時(shí)，設(shè)置問題：對(duì)于這樣一類二元線性方程組，我們是如何求解方程組的解的呢，這類方程組一定有解嗎？筆者先讓學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)短的思考，在學(xué)生思考、回答問題后，根據(jù)學(xué)生回答的情況引入二階行列式，并給出二階行列式定義、表示方法和n階行列式的定義、表示方法，根據(jù)行列式的定義我們知道行列式的本質(zhì)是一個(gè)數(shù)，因此求解行列式的值是解決行列式問題的關(guān)鍵.為了求解行列式的值，主要介紹以下兩種方法：行列式的性質(zhì)和拉普拉斯展開式定理，要想較好、較快地求解行列式的值，就要熟練掌握行列式的性質(zhì)和拉普拉斯展開式定理.第二方面的內(nèi)容主要是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到行列式的價(jià)值，行列式是“線性代數(shù)”求解方程組的工具，它既可以判斷方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的方程組是否有解，也可以求解這類方程組解的具體數(shù)值.第三方面，行列式主要應(yīng)用在利用克拉默法則求解這類方程組的解和判斷方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的齊次方程組是否存在非零解上，但利用克拉默法則計(jì)算量較大，一般不做特殊要求時(shí)，我們不會(huì)選擇利用克拉默法則求方程組的解.

2.矩陣的講授過程

在講授矩陣相關(guān)內(nèi)容時(shí)，除了介紹矩陣的知識(shí)點(diǎn)外，還要注意講述清楚“行列式”與“矩陣”的區(qū)別和聯(lián)系，主要從以下兩個(gè)方面介紹：（1）矩陣的基本知識(shí)點(diǎn);（2）“行列式”與“矩陣”的區(qū)別和聯(lián)系.在介紹第一部分內(nèi)容時(shí)，要注意矩陣相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的講解，從矩陣的定義入手，介紹矩陣的運(yùn)算法則及相關(guān)的性質(zhì)，最后介紹矩陣的作用.矩陣不同于行列式，矩陣是一個(gè)數(shù)表，它具有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值.在介紹矩陣的運(yùn)算法則時(shí)，要注意運(yùn)算法則的適用條件，不是所有矩陣都能進(jìn)行矩陣運(yùn)算，要利用矩陣運(yùn)算條件先進(jìn)行判斷，再進(jìn)行矩陣的相關(guān)計(jì)算;對(duì)于矩陣的性質(zhì)是針對(duì)矩陣的運(yùn)算法則而言的，利用矩陣的性質(zhì)可以減少矩陣運(yùn)算的難度;生活中矩陣的應(yīng)用很廣泛，例如，上課的課表，如果用數(shù)字代表課程，課表就是一個(gè)典型的矩陣，在“線性代數(shù)”中，矩陣是求解一般線性方程的工具，利用矩陣可以判斷方程組是否存在解，若方程組存在解，解的結(jié)構(gòu)又是怎么樣的呢？第二部分主要從概念、運(yùn)算等角度區(qū)別“行列式”和“矩陣”，從概念的本質(zhì)、表示方式和比較大小三個(gè)方面進(jìn)行介紹.運(yùn)算主要從加法、減法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等角度進(jìn)行區(qū)別.

二、關(guān)于“行列式”與“矩陣”學(xué)生的學(xué)習(xí)情況

1.學(xué)生對(duì)行列式的學(xué)習(xí)情況

筆者從三個(gè)方面介紹學(xué)生對(duì)行列式的掌握情況：（1）行列式的基本概念：學(xué)生能熟練地掌握行列式的本質(zhì)，行列式的實(shí)質(zhì)是一個(gè)數(shù)，根據(jù)行列式的定義，我們知道行列式是一個(gè)行數(shù)和列數(shù)相等的數(shù)表，根據(jù)規(guī)則計(jì)算出來的一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是行列式的本質(zhì)，行列式是一種特殊數(shù)表的值，它要求這個(gè)數(shù)表的行數(shù)和列數(shù)相等，但多數(shù)學(xué)生利用行列式的定義求解行列式的值時(shí)，會(huì)有慣性思維，主要體現(xiàn)在高階行列式的計(jì)算上，由于二階、三階行列式的計(jì)算我們采用對(duì)角線法則求解行列式的值，隨著行列式行數(shù)和列數(shù)的增加，對(duì)角線法則不能解出高階行列式的值，多數(shù)同學(xué)將對(duì)角線法則推廣到高階行列式上，這說明多數(shù)學(xué)生沒有真正理解行列式的定義，因此在講授行列式的定義時(shí)，要注意強(qiáng)調(diào)行列式概念中容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方;（2）行列式值的計(jì)算過程：行列式值的計(jì)算是學(xué)習(xí)行列式這部分內(nèi)容的關(guān)鍵，利用行列式的性質(zhì)和拉普拉斯展開式定理是求解行列式的值的重中之重，學(xué)生對(duì)行列式性質(zhì)和拉普拉斯展開式定理的內(nèi)容掌握得不錯(cuò)，但利用行列式的性質(zhì)和拉普拉斯定理求解行列式的值的熟練程度不夠，在求解高階行列式的值時(shí)，多數(shù)學(xué)生無從下手，學(xué)生觀察行列式特點(diǎn)的能力較差，課后總結(jié)解題方法和舉一反三的能力較差，多數(shù)學(xué)生一看到行列式的題，就利用行列式的性質(zhì)開始化簡(jiǎn)，這樣做題消耗時(shí)間多，遇到較復(fù)雜的行列式、計(jì)算量較多的行列式，他們經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，從而徒勞無功，在求解行列式的值時(shí)，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生觀察行列式，總結(jié)行列式的特點(diǎn)，結(jié)合行列式的特點(diǎn)，選擇合適的方面進(jìn)行求解，而不是盲目解題;（3）行列式的應(yīng)用：學(xué)生利用克拉默法則判斷未知量的個(gè)數(shù)和方程組個(gè)數(shù)相等的方程組解的情況掌握得不錯(cuò)，但利用克拉默法則求解方程組時(shí)，多數(shù)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，不細(xì)心，由于利用克拉默法則求解方程組的計(jì)算量較大，多數(shù)學(xué)生不愿意采用此方法進(jìn)行計(jì)算.

2.學(xué)生對(duì)矩陣的學(xué)習(xí)情況

學(xué)習(xí)行列式后，多數(shù)學(xué)生對(duì)矩陣的基本概念掌握得較快，但同樣會(huì)出現(xiàn)這樣的問題，學(xué)生容易用行列式的表示方法來表示矩陣，行列式用“| |”表示，而矩陣用“（）”或者“[ ]”表示，在教師講授過程中，要注意區(qū)別“行列式”與“矩陣”，它們二者有本質(zhì)上的不同.在學(xué)生搞清楚二者本質(zhì)后，對(duì)矩陣的加、減、數(shù)乘和轉(zhuǎn)置運(yùn)算掌握得不錯(cuò)，容易出錯(cuò)的就是矩陣的乘法運(yùn)算，學(xué)生對(duì)于矩陣乘法運(yùn)算所出現(xiàn)的問題，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一，學(xué)生根據(jù)定義能判斷什么樣的矩陣可以進(jìn)行乘法運(yùn)算，但少數(shù)學(xué)生不能準(zhǔn)確地確定積矩陣的行數(shù)和列數(shù);第二，學(xué)生在確定積矩陣的行數(shù)和列數(shù)后，不知道如何確定積矩陣的元素.因此，教師在講授這部分內(nèi)容時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生探究矩陣乘法的應(yīng)用價(jià)值，用生活中的實(shí)例來方便學(xué)生理解矩陣乘法的概念，例如，已知一個(gè)廠商一年內(nèi)每個(gè)月的銷售量和每月的平均銷售單價(jià)求一年的銷售額，這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)就是矩陣的乘法，同時(shí)要注意二者的聯(lián)系，方陣的行列式運(yùn)算，它的實(shí)質(zhì)就是行列式的計(jì)算.

三、針對(duì)“行列式”與“矩陣”的教學(xué)反思

在2019-2020年度第二學(xué)期的授課過程中，經(jīng)濟(jì)類1-4班的學(xué)生在章末測(cè)試和期末考試中，多數(shù)學(xué)生出現(xiàn)行列式與矩陣表示方法的混用，用“| |”表示矩陣，沒有從本質(zhì)上搞清楚“行列式”與“矩陣”的概念和表示方法的不同.另外，方陣的行列式運(yùn)算的性質(zhì)與行列式性質(zhì)的混用，例如，多數(shù)學(xué)生看到|2A|，知道這道題考的是方陣的行列式運(yùn)算，直接就在測(cè)試卷子上寫|2A|=2|A|，出現(xiàn)這樣錯(cuò)誤的同學(xué)很多，占四個(gè)班學(xué)生的80%以上，這些學(xué)生沒有考慮行列式符號(hào)里面的研究對(duì)象是什么，A是指矩陣，2A表示矩陣A的每個(gè)元素都與數(shù)字2相乘，這樣我們知道“| |”里面的元素每一行（或每一列）都有公因數(shù)2，再做行列式的運(yùn)算時(shí)，我們把公因數(shù)2提出來時(shí)要考慮矩陣的行數(shù)（或列數(shù)），若題目已知矩陣A的階數(shù)為3，則|2A|=8|A|.少數(shù)學(xué)生的試卷上還會(huì)出現(xiàn)行數(shù)和列數(shù)不等的行列式等，針對(duì)上述現(xiàn)象，教師要做以下課后反思：（1）針對(duì)學(xué)生概念不扎實(shí)、表示方法亂用，教師應(yīng)在課堂上做出強(qiáng)調(diào)，強(qiáng)調(diào)“行列式”與“矩陣”二者概念、表示方式和運(yùn)算上的不同，注重學(xué)生對(duì)“行列式”與“矩陣”基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，例如，什么是行列式，什么是矩陣，用什么表示行列式、表示矩陣，這些看似不常見的問題，往往多數(shù)學(xué)生會(huì)在基礎(chǔ)知識(shí)上丟分;（2）在“行列式”與“矩陣”的應(yīng)用上，“行列式”與“矩陣”解決線性方程組的類型不同，行列式適用于解決未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相等的線性方程組，而矩陣適合求解一般的線性方程組，利用矩陣求解方程組，判斷方程組解的情況應(yīng)用更廣、使用價(jià)值更高;教師在講述求解線性方程組時(shí)，要嘗試以學(xué)生為主，讓學(xué)生自己探究適用行列式求解線性方程組的使用條件及什么樣的線性方程組適合用矩陣的方法求解;（3）在求解方陣的行列式運(yùn)算時(shí)，多數(shù)學(xué)生沒有搞清楚哪一塊是矩陣，哪一塊是行列式，在講授方陣的行列式運(yùn)算時(shí)，要先強(qiáng)調(diào)“數(shù)”與“行列式”相乘及“數(shù)”與“矩陣”相乘的區(qū)別，然后，從方陣的行列式運(yùn)算的本質(zhì)入手進(jìn)行說明.為了提高線性代數(shù)教師的授課質(zhì)量，教師應(yīng)該學(xué)會(huì)從學(xué)生的角度出發(fā)，設(shè)想學(xué)生會(huì)遇到的問題，再考慮合適地解決方法，從而提高教師的工作效率.

四、針對(duì)“行列式”與“矩陣”的教學(xué)意見

根據(jù)自身的教課經(jīng)驗(yàn)，筆者特提出以下五點(diǎn)教學(xué)建議：

（1）強(qiáng)調(diào)“行列式”與“矩陣”的區(qū)別，并注重它們的聯(lián)系，教師要進(jìn)行課程的學(xué)情分析，分析、考慮學(xué)生已有的知識(shí)，學(xué)生在學(xué)習(xí)“矩陣”這一章內(nèi)容時(shí)，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“行列式”的相關(guān)內(nèi)容，在已有學(xué)習(xí)行列式經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上易出現(xiàn)記錯(cuò)、記混的情況，容易出現(xiàn)用已有的行列式的表示形式表示矩陣，認(rèn)為二者都和一些數(shù)字有關(guān)，沒有從本質(zhì)上區(qū)別“行列式”“矩陣”和數(shù)字三者的關(guān)系.

（2）強(qiáng)調(diào)“行列式”與“矩陣”二者的應(yīng)用價(jià)值，教師要培養(yǎng)學(xué)生自己探究問題的能力，結(jié)合生活中的實(shí)例，探究行列式與線性方程，矩陣與線性方程的關(guān)系，讓學(xué)生通過生活中的實(shí)際問題，結(jié)合問題的數(shù)學(xué)背景找到問題與“行列式”“矩陣”的關(guān)系，學(xué)會(huì)用“行列式”與“矩陣”的相關(guān)知識(shí)解決問題.

（3）多數(shù)學(xué)生不細(xì)心、不踏實(shí)，遇到較復(fù)雜的行列式的計(jì)算題就放棄求解行列式的值，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生觀察“行列式”和“矩陣”特點(diǎn)的能力，只有觀察好“行列式”與“矩陣”的特點(diǎn)，才能選擇合適的解題方法，有效地解決問題.

（4）注重“行列式”與“矩陣”知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系性，教師要在強(qiáng)調(diào)區(qū)別的同時(shí)，注重各章節(jié)知識(shí)的銜接性，在教課過程中做好各章節(jié)知識(shí)的過渡工作.

（5）線性代數(shù)中矩陣的知識(shí)，貫串在各個(gè)章節(jié)，教師要注重矩陣基礎(chǔ)知識(shí)的講解，只有打好“地基”，才能建造穩(wěn)固的“大樓”.

教師在教學(xué)過程中，不僅要注重教學(xué)方式、學(xué)生的課堂反應(yīng)情況，更要注重課后反思工作.教師要結(jié)合學(xué)生課堂的反應(yīng)情況，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況和學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的情況，來充實(shí)自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這樣才能提高教師的工作效率.教師要學(xué)會(huì)從學(xué)生的角度考慮問題，剖析問題產(chǎn)生的原因，在教學(xué)過程中，注重與學(xué)生課上、課下的互動(dòng)，不要認(rèn)為有些知識(shí)點(diǎn)是很簡(jiǎn)單就一語(yǔ)帶過，例如，行列式的概念、表示方法等，這些看似很容易的知識(shí)點(diǎn)，往往多數(shù)學(xué)生都會(huì)出錯(cuò)，因此，教師要總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，通過書寫課后反思提高自己的教學(xué)水平.

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