基于結(jié)構(gòu)化思維的單元整合教學(xué)
——以“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”教學(xué)為例

□鄭建鋒 沈正會(huì)

【教材分析】

（一）編排結(jié)構(gòu)

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中整數(shù)筆算除法的學(xué)習(xí)分三個(gè)階段進(jìn)行：從二下“有余數(shù)除法”（一層豎式）開始，到三下“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”（兩層、三層的分層豎式），最后到四下“除數(shù)是兩位數(shù)的筆算除法”（兩層、三層的分層豎式）。從知識(shí)之間的前后聯(lián)系可以看出，在三下“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”的教學(xué)中，學(xué)生將經(jīng)歷從一層豎式跨越到兩層、三層分層豎式的過程，這是學(xué)習(xí)整數(shù)筆算除法的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)和關(guān)鍵期。

“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”內(nèi)容豐富，包含了被除數(shù)是兩位數(shù)和三位數(shù)以及有關(guān)0的除法，教材安排了5個(gè)課時(shí)進(jìn)行新課教學(xué)（如圖1）。

圖1

教材的編排結(jié)構(gòu)非常清晰：先編排一般情況的除法，再編排特殊情況的除法。但細(xì)致分析后會(huì)發(fā)現(xiàn)，教材中前4 個(gè)例題均指向“除哪商哪”（也就是“除到哪位就商在哪位”）的教學(xué)，在這3 個(gè)課時(shí)學(xué)習(xí)中，學(xué)生只需要關(guān)注并掌握這一個(gè)法則。而后面2 課時(shí)容量明顯增加，如第4 課時(shí)，既要學(xué)習(xí)“除0商0”（也就是被除數(shù)首位剛好被除盡而被除數(shù)中間有0要商0，或被除數(shù)前兩位剛好被除盡，而被除數(shù)末尾有0要商0），又要學(xué)習(xí)“不夠商1就商0”（也就是“除到哪位不夠商1 就商0”）。同一個(gè)課時(shí)中要掌握兩個(gè)法則，對(duì)于學(xué)生而言極具挑戰(zhàn)性。

（二）呈現(xiàn)方式

筆者從序、材兩個(gè)方面，對(duì)“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”的例題進(jìn)行了梳理，在材料呈現(xiàn)上除關(guān)注是否編排情境外，還特別關(guān)注了是否有直觀的、能夠支撐算理解釋的小棒圖（如表1）。

表1

從表1中可以看出，教材在筆算除法中分別安排了植樹、相冊(cè)、購(gòu)書、購(gòu)物等不同的情境，以有利于學(xué)生溝通數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。但教材只在“兩位數(shù)除以一位數(shù)”學(xué)習(xí)時(shí)編排了小棒圖輔助學(xué)生理解算理，掌握算法，而在更具挑戰(zhàn)性的“三位數(shù)除以一位數(shù)”學(xué)習(xí)中，卻僅僅提供情境，沒有呈現(xiàn)有關(guān)算理支撐的信息。學(xué)生掌握“三位數(shù)除以一位數(shù)”遠(yuǎn)比“兩位數(shù)除以一位數(shù)”困難，他們能基于前一節(jié)課的直觀理解快速轉(zhuǎn)換到“三位數(shù)除以一位數(shù)”的“就式論理”嗎？這一點(diǎn)值得商榷。另外，教材中輔以理解的小棒圖以“累加式”呈現(xiàn)（如圖2），在分的每一步中，都會(huì)把前面分得的結(jié)果累加到下一次分的過程中。這樣做的優(yōu)點(diǎn)是能一下看出分得的最后結(jié)果，但對(duì)學(xué)生直觀感知分了幾次，每次分得多少卻容易產(chǎn)生干擾。而除法是講究一步一步除的，在除第二次的時(shí)候需要把第一次除掉的部分剝離出去，小棒圖以“分離式”呈現(xiàn)（如圖3）更有助于學(xué)生理解，即不同次分小棒的過程彼此分離，上一次分得的結(jié)果不再累加到下一次中。這樣學(xué)生能更清楚地看到每次分小棒的情況，并將每次分小棒的情景對(duì)應(yīng)到除法每層豎式的書寫中，有利于學(xué)生對(duì)除法豎式意義的理解。

圖2

圖3

基于以上分析，筆者在教學(xué)時(shí)考慮了以下兩點(diǎn)：（1）在更具挑戰(zhàn)性的“三位數(shù)除以一位數(shù)”學(xué)習(xí)中，增加輔助直觀的小棒圖。（2）變小棒圖的“累加式”呈現(xiàn)為“分離式”呈現(xiàn)。

【學(xué)生情況】

通過前、后測(cè)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”的學(xué)習(xí)過程中容易出現(xiàn)以下4個(gè)方面的典型情況。

（一）受負(fù)面經(jīng)驗(yàn)遷移影響大

負(fù)面經(jīng)驗(yàn)遷移的影響主要來自于：（1）將加、減、乘法的豎式書寫經(jīng)驗(yàn)遷移到除法豎式中。（2）在首位沒余數(shù)的除法中受一層豎式的負(fù)面遷移。具體如表2所示。

表2

（二）商0常會(huì)不簡(jiǎn)寫

為了幫助學(xué)生理解商中間、商末尾有0的特殊除法豎式簡(jiǎn)便寫法的原理，教材完整呈現(xiàn)了復(fù)雜豎式，并在豎式上用一層的空間詳細(xì)表示了有關(guān)0 的計(jì)算全過程。并在右側(cè)呈現(xiàn)簡(jiǎn)單豎式，以對(duì)比的方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)（如圖4）。但在后測(cè)中發(fā)現(xiàn)，基于由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的教學(xué)路徑，學(xué)生明白了除法豎式在書寫時(shí)省掉“計(jì)算0 這一層”會(huì)更簡(jiǎn)單的道理之后，仍然會(huì)有一定比例（不同班級(jí)學(xué)生占比有所不同）的學(xué)生豎式書寫時(shí)停留在了復(fù)雜的狀態(tài)，常常會(huì)出現(xiàn)商0的除法豎式不簡(jiǎn)寫的情況（如圖5）。

（三）商0除法錯(cuò)誤多

商有0的除法是學(xué)生特別容易出錯(cuò)、不易掌握的知識(shí)點(diǎn)。前測(cè)中學(xué)生的錯(cuò)誤情況如圖6 所示。這部分內(nèi)容比較復(fù)雜，如從0在商中所處的位置上看，有“商中間有0”“商末尾有0”“商中間和末尾同時(shí)有0”的不同情況；從計(jì)算方法上看，既有“除0商0”又有“不夠商1就商0”兩種情況。因此教材在這部分內(nèi)容的例題安排上，將近一半數(shù)量的例題編排在了商0的除法中。

圖6

圖4

圖5

（四）首位不夠定位難

首位不夠除的除法難就難在商的定位上。首位夠除的三位數(shù)除以一位數(shù)豎式計(jì)算中，被除數(shù)和商都是三位，不存在商的定位問題，所以前測(cè)答題中雖然豎式計(jì)算步驟有所錯(cuò)誤（虛線框部分），但商的定位并沒有什么問題。而首位不夠除的三位數(shù)除法中，商定位出錯(cuò)的占比較大（如表3）。

表3

【教學(xué)建議】

根據(jù)對(duì)教材編排及學(xué)生情況的分析，提出如下教學(xué)建議。

（一）局部調(diào)整建議

1.調(diào)序——減少負(fù)面遷移

教材例題編排的順序是從“被除數(shù)是兩位數(shù)，被除數(shù)首位能被除盡”的例題，到“被除數(shù)是兩位數(shù)，被除數(shù)首位不能被除盡”的例題（如圖7，情境圖已略去）。

圖7

由于學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)就是一層豎式，面對(duì)首位沒余數(shù)的兩位數(shù)除法，學(xué)生能輕易獲得計(jì)算結(jié)果，從而容易受弱需求和負(fù)遷移影響寫成一層豎式，反而覺得寫兩層豎式麻煩。因此，教師不妨調(diào)整學(xué)習(xí)序列，先教學(xué)例2再教學(xué)例1，這樣更能激發(fā)學(xué)生對(duì)列兩層除法豎式的強(qiáng)需求，減少一層豎式的負(fù)遷移。

2.調(diào)徑——化煩瑣為簡(jiǎn)單

如前文所述，學(xué)生在商有0 的除法豎式書寫中，常會(huì)出現(xiàn)除法豎式不簡(jiǎn)寫的情況。仔細(xì)閱讀教材可以發(fā)現(xiàn)，教材在商0的章節(jié)中多處編排了如圖8所示的從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的教與學(xué)的路徑，讓學(xué)生充分經(jīng)歷復(fù)雜豎式書寫的“煩瑣”與“沒必要”，從而更好地接受簡(jiǎn)便寫法。如果借助小棒圖從算理的角度學(xué)習(xí)，學(xué)生還需要這一“復(fù)雜”的過程嗎？既然十位上一根小棒都沒有，還要分嗎？前測(cè)中，幾乎沒有學(xué)生會(huì)把單獨(dú)的0 搬下來除一次，然后再商0 乘0 減0。既然如此，教師不妨根據(jù)學(xué)生實(shí)際調(diào)整教學(xué)路徑，避開這一“煩瑣”的過程。當(dāng)然，這并不是說完全拋棄復(fù)雜豎式，而是當(dāng)學(xué)生結(jié)合小棒圖從算理角度理解了簡(jiǎn)單豎式的寫法之后，再?gòu)乃惴ń嵌茸寣W(xué)生理解簡(jiǎn)單豎式書寫的道理，進(jìn)行繁簡(jiǎn)豎式的溝通就可以了。

圖8

3.重組——集中突破重難點(diǎn)

商中間或商末尾有0 的除法，學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤比較多。結(jié)合前文教材分析，建議重組學(xué)習(xí)內(nèi)容，將法則應(yīng)用相同的內(nèi)容歸為一類，即“除0 商0”一節(jié)課，“不夠商1 就商0”一節(jié)課（如圖9）。這樣重組，可以集中突破重難點(diǎn)，更利于學(xué)生對(duì)法則的掌握。

圖9

4.整合——促進(jìn)算理理解

教材編排中，首位不夠除的除法是“三位數(shù)除以一位數(shù)”第二課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容。建議將這種情況理解成“首位商0”的除法，把它后移到商0 的除法中（如圖10）。這樣學(xué)生更容易理解既然百位上商是0，商首位（非0）就要寫在十位上的道理?？紤]到例7（2）245÷8 是首位和末尾同時(shí)商0 的情況，因此可以將例7（2）改為只有末尾商0的情況，如542÷3，而將245÷8首位和末尾同時(shí)商0的情況作為練習(xí)再呈現(xiàn)。

圖10

（二）單元框架調(diào)整建議

綜上內(nèi)容，本單元教學(xué)的整體框架設(shè)計(jì)調(diào)整如下（圖11）。

圖11

教學(xué)課時(shí)調(diào)整如下（表4）。

表4

這樣調(diào)整，教學(xué)內(nèi)容以“法則”為主線，將相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容進(jìn)行整合教學(xué)，在結(jié)構(gòu)上形成了“算理探討、算法形成、算法技巧和靈活運(yùn)用”這4 個(gè)板塊；在關(guān)聯(lián)內(nèi)容整合上進(jìn)行“除哪商哪”“除0 商0”和“不夠商1 就商0”的框架設(shè)計(jì)，并在整體遵循教材編排邏輯順序的同時(shí)，將原來5節(jié)新課的教學(xué)內(nèi)容整合成4 節(jié)新課進(jìn)行教學(xué)?？粘龅囊粋€(gè)課時(shí)可以本單元課后的思考題為素材，進(jìn)行一題一課拓展，安排一節(jié)算理算法的靈活運(yùn)用課，拓展學(xué)生思維，進(jìn)一步培養(yǎng)和提升學(xué)生的運(yùn)算能力，從而實(shí)現(xiàn)“讓教師更有結(jié)構(gòu)地教，學(xué)生更有關(guān)聯(lián)地學(xué)”的目標(biāo)。