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    乘法概念的二重性及其教學(xué)啟示

    2021-04-02 10:13:47孫姝佳李明蘭
    關(guān)鍵詞:過(guò)程性對(duì)象性教學(xué)啟示

    孫姝佳 李明蘭

    [摘 要]乘法概念在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同階段多次出現(xiàn),然而學(xué)生對(duì)乘法概念的掌握并不理想。從概念二重性理論對(duì)乘法概念進(jìn)行分析,得出對(duì)乘法的理解應(yīng)具有過(guò)程性和對(duì)象性,而且過(guò)程性意義先于對(duì)象性意義,過(guò)程性意義也是掌握概念的必要條件,而對(duì)象性意義是在操作階段逐步反省后形成的。

    [關(guān)鍵詞]乘法;概念二重性;過(guò)程性;對(duì)象性;教學(xué)啟示

    [中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068(2021)11-0052-02

    一、問(wèn)題的提出

    小學(xué)數(shù)學(xué)中對(duì)于乘法的學(xué)習(xí)是從整數(shù)乘法開(kāi)始的,后經(jīng)過(guò)小數(shù)乘法再到分?jǐn)?shù)乘法,可以說(shuō)乘法的學(xué)習(xí)貫穿于小學(xué)的各個(gè)階段。如果學(xué)生對(duì)乘法概念沒(méi)有一個(gè)很好的理解,那么他們對(duì)于乘法的學(xué)習(xí)將會(huì)變?yōu)闄C(jī)械的記憶。

    比如,在學(xué)習(xí)整數(shù)乘法時(shí),學(xué)生普遍將乘法理解為連加。如“3×5”表示3個(gè)5相加,即“5+5+5”。然而在以后的學(xué)習(xí)中,遇到小數(shù)乘法,如“1.34×2.7”時(shí),學(xué)生便不知該如何理解這個(gè)式子。

    是什么原因?qū)е逻@種現(xiàn)象出現(xiàn)呢? 這涉及乘法概念的特征及對(duì)乘法概念的理解問(wèn)題。本文將嘗試從一個(gè)全新的角度來(lái)探討這一問(wèn)題。

    二、 問(wèn)題的研究——乘法概念的二重性

    本文對(duì)于乘法概念的研究借助的是A.Sfard在20世紀(jì)90年代提出的數(shù)學(xué)概念二重性理論。該理論認(rèn)為許多概念既表現(xiàn)為一種過(guò)程操作,又表現(xiàn)為對(duì)象結(jié)構(gòu),概念往往兼有這樣的二重性。比如三角函數(shù)sinα,既可以看作直角三角形中銳角的對(duì)邊與斜邊之比 x/r , 此時(shí)三角函數(shù)概念被理解為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算,體現(xiàn)過(guò)程性特點(diǎn);也可以將其當(dāng)成計(jì)算的一個(gè)結(jié)果,此時(shí)概念具備對(duì)象性特點(diǎn)。

    我們也可以將乘法理解為具有這樣二重性的概念。乘法的學(xué)習(xí)是從整數(shù)乘法開(kāi)始的,學(xué)生對(duì)乘法的理解局限在“連加”的意義上,而這種理解體現(xiàn)了一種過(guò)程性,學(xué)生仍把乘法看作幾個(gè)幾相加,并沒(méi)有把乘法概念與加法概念做本質(zhì)的區(qū)分。學(xué)生只有將乘法作為一種新的運(yùn)算來(lái)理解時(shí),乘法概念才成為一種具有結(jié)構(gòu)性的對(duì)象。

    鞏子坤曾將對(duì)乘法概念的理解分為兩部分:乘法意義的理解和乘法運(yùn)算的理解(乘法運(yùn)算的理解又包括對(duì)運(yùn)算算理和運(yùn)算法則的理解)。事實(shí)上,意義的理解體現(xiàn)了乘法概念過(guò)程性的一面,運(yùn)算的理解則體現(xiàn)了乘法概念對(duì)象性的一面。

    對(duì)于乘法意義的理解表現(xiàn)為實(shí)現(xiàn)乘法各個(gè)表征之間的轉(zhuǎn)化。比如對(duì)于用符號(hào)表達(dá)的式子“15×4”,學(xué)生可將其理解為一種現(xiàn)實(shí)情境的表征:小鵬有15個(gè)玻璃球,小紅的玻璃球的個(gè)數(shù)是小鵬的4倍,小紅有多少個(gè)玻璃球;也可以用語(yǔ)言表征來(lái)敘述式子的意義:4個(gè)15相加是多少;當(dāng)然也可以用連續(xù)型或離散型圖像來(lái)表示式子的意義;又或是用實(shí)物操作來(lái)解釋式子的含義。這些都是學(xué)生對(duì)乘法意義的理解,我們不難看出,這些表征都體現(xiàn)了一種操作性,是動(dòng)態(tài)的、有步驟的。

    而對(duì)于乘法運(yùn)算的理解則是在對(duì)乘法運(yùn)算算理理解的基礎(chǔ)上,掌握乘法運(yùn)算法則,從而達(dá)到對(duì)乘法概念的整體性理解,并將乘法概念看作一種不同于加法的新運(yùn)算,從而將乘法概念看作一種結(jié)構(gòu)化的對(duì)象。這種結(jié)構(gòu)化的對(duì)象作為一種運(yùn)算,不僅形成具有運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算定律等層次性和關(guān)系性的內(nèi)部組織,而且能打破本身的局限性,伸展出一些“觸角”,比如與其他概念(如冪運(yùn)算)的縱橫聯(lián)系,編織成網(wǎng)絡(luò)。

    因此,對(duì)于文章開(kāi)頭的現(xiàn)象,也許我們可以歸因于學(xué)生未真正理解乘法的概念,但更深層次的原因在于乘法概念具有二重性的特征,而學(xué)生只停留在乘法過(guò)程性的理解,沒(méi)有將其作為一個(gè)結(jié)構(gòu)化的對(duì)象。

    三、進(jìn)一步研究——過(guò)程性意義先于對(duì)象性意義

    學(xué)習(xí)一種運(yùn)算,首先要讓學(xué)生理解運(yùn)算的意義,因?yàn)橹挥欣斫饬诉\(yùn)算的意義,才能知道何時(shí)使用這種運(yùn)算,也才能從意義出發(fā)推導(dǎo)運(yùn)算的法則。加之上述對(duì)乘法概念特征的分析不難看出,乘法概念過(guò)程性意義的學(xué)習(xí)確實(shí)應(yīng)先于對(duì)象性意義的學(xué)習(xí)。

    閆云梅等人曾在論文中分析乘法的現(xiàn)實(shí)模型,提出了實(shí)現(xiàn)乘法概念建構(gòu)的教學(xué)建議。筆者整理分析得出如圖1所示的教學(xué)示意圖。可以看出,對(duì)于乘法概念的學(xué)習(xí)需經(jīng)歷兩次建構(gòu),第一次建構(gòu)從乘法的現(xiàn)實(shí)模型中逐步實(shí)現(xiàn);第二次建構(gòu)通過(guò)數(shù)系的擴(kuò)展來(lái)實(shí)現(xiàn)。

    對(duì)于第一次建構(gòu),是經(jīng)歷多種現(xiàn)實(shí)模型后逐步實(shí)現(xiàn)的,剛開(kāi)始對(duì)乘法概念的理解依靠于現(xiàn)實(shí)情境,這具有操作性特點(diǎn);經(jīng)過(guò)“同數(shù)連加”,到“加法結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ńY(jié)構(gòu)”,再到慢慢理解算理,直到最后總結(jié)出乘法運(yùn)算律,乘法概念才開(kāi)始成為一個(gè)較完整的對(duì)象。這個(gè)轉(zhuǎn)變不經(jīng)一定數(shù)量的操作是得不出本質(zhì)規(guī)律的,更無(wú)法將概念發(fā)展成為對(duì)象,因此過(guò)程性意義要先于對(duì)象性意義去掌握且很有必要。

    第一次乘法概念的建構(gòu)為小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ),隨后通過(guò)數(shù)系的拓展,又將乘法概念的系統(tǒng)做了第二次完善。如果在整數(shù)乘法的學(xué)習(xí)中沒(méi)有理解到概念的對(duì)象層面,那么學(xué)生將無(wú)法理解小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的意義,對(duì)運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)也將變?yōu)闄C(jī)械記憶。對(duì)于“1.34×2.7”這個(gè)式子,只有經(jīng)過(guò)對(duì)象化過(guò)程后,不再將乘法看作“連加”的過(guò)程,而是依照乘法運(yùn)算規(guī)律,將乘法看作一種新的獨(dú)立的運(yùn)算,才可以從乘法分配率來(lái)抽象理解這個(gè)式子,或者從乘法的“因數(shù)的變化引起積的變化規(guī)律”來(lái)形式化理解這個(gè)式子。

    可見(jiàn),乘法概念具有過(guò)程性和對(duì)象性,對(duì)這兩個(gè)層面的理解并不矛盾。過(guò)程性意義先于對(duì)象性意義,過(guò)程性意義是掌握概念的必要條件,而對(duì)象性意義是在操作階段逐步反省后形成的。

    四、教學(xué)啟示

    1.重視乘法概念的教學(xué)

    過(guò)程與對(duì)象同屬于乘法概念的兩個(gè)側(cè)面。概念學(xué)習(xí)中, 過(guò)程與對(duì)象的作用同等重要, 二者不可偏廢。對(duì)乘法概念的教學(xué)若不重視從過(guò)程性過(guò)渡到對(duì)象性,學(xué)生很難利用乘法的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題。根據(jù)鞏子坤的研究,事實(shí)上也確實(shí)如此。盡管課堂上有對(duì)學(xué)生從過(guò)程到對(duì)象的引導(dǎo),但學(xué)生在獨(dú)立解決問(wèn)題時(shí)仍?xún)A向于直接進(jìn)行運(yùn)算,或直觀(guān)給出解釋?zhuān)怯贸朔ㄟ\(yùn)算規(guī)律進(jìn)行理解。這說(shuō)明當(dāng)前我們對(duì)于乘法概念的教學(xué)不夠重視,學(xué)生仍局限于對(duì)運(yùn)算法則的機(jī)械記憶,還未從根本上將乘法概念作為一個(gè)對(duì)象。因此,教師應(yīng)進(jìn)一步重視乘法概念的教學(xué)。

    2.注重從“過(guò)程”到“對(duì)象”的螺旋上升

    乘法概念在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同階段多次出現(xiàn),我們要注意乘法知識(shí)的螺旋上升,逐步深化學(xué)生對(duì)概念的理解。在低年級(jí),乘法從幾個(gè)相同的數(shù)相加開(kāi)始學(xué)習(xí),后來(lái)隨著學(xué)習(xí)的數(shù)越來(lái)越大,直到引入乘法的豎式計(jì)算,這時(shí)教師會(huì)對(duì)學(xué)生解釋豎式計(jì)算的算理,使學(xué)生初步了解乘法運(yùn)算的規(guī)律并總結(jié)出乘法運(yùn)算律,對(duì)乘法的理解也逐漸從過(guò)程上升到對(duì)象。進(jìn)入高年級(jí),在學(xué)習(xí)了小數(shù)、分?jǐn)?shù)后,學(xué)生又進(jìn)一步理解數(shù)系擴(kuò)展后的乘法意義,將整數(shù)乘法運(yùn)算規(guī)律類(lèi)比到小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的學(xué)習(xí)中,同時(shí)補(bǔ)充“乘法也表示一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的過(guò)程性意義。從微觀(guān)看,對(duì)于同一個(gè)概念可能會(huì)得到不止一個(gè)“過(guò)程—對(duì)象”的區(qū)分方式。

    3.使學(xué)生形成良好的概念體系

    對(duì)概念的理解形成體系,不僅有利于形成具有層次性、關(guān)系性的內(nèi)部知識(shí),且易發(fā)現(xiàn)概念與外部知識(shí)的關(guān)系,從而形成更大的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系。事實(shí)上,作為對(duì)象的概念,在某一個(gè)層次和更高一級(jí)層次之間起著一種樞紐作用:它既操作別的對(duì)象,又被高層次的運(yùn)算來(lái)操作,也就是說(shuō),對(duì)于成為對(duì)象的概念更容易形成概念系統(tǒng),從而更利于整體把握知識(shí)。因此,教師應(yīng)注重讓學(xué)生形成良好的概念體系。

    [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

    [1] 李士锜.熟能生巧嗎[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),1996,5(3).

    [2] 鞏子坤.有理數(shù)運(yùn)算的理解水平及其教與學(xué)的策略研究[D].重慶:西南大學(xué),2006.

    [3] 李士锜. 熟能生笨嗎?:再談“熟能生巧”問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),1999,8(3).

    [4] 人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室.小學(xué)數(shù)學(xué)教材教法(第二冊(cè))[M].北京:人民教育出版社,2001.

    [5] 閆云梅,劉琳娜,劉加霞.小學(xué)階段乘法的不同現(xiàn)實(shí)模型分析與教學(xué)建議[J].課程·教材·教法,2014,34(3).

    [6] 佘文娟,王光明.也談A.Sfard數(shù)學(xué)概念的二重性理論[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2013,52(8).

    (責(zé)編 羅 艷)

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