基坑開(kāi)挖引起下臥地鐵隧道變形的簡(jiǎn)化計(jì)算方法

江 杰，邱居濤，歐孝奪，龍團(tuán)元，侯凱文，賴(lài)增任

(1.廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院, 廣西 南寧 530004；2.廣西大學(xué) 工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004；3.廣西大學(xué) 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 南寧 530004)

近年來(lái)，隨著城市地鐵建設(shè)的大規(guī)模發(fā)展，在既有地鐵線(xiàn)路上方建造的商業(yè)建筑也隨之增多?；邮┕ねǔＯ扔谥黧w結(jié)構(gòu)施工，基坑開(kāi)挖難免會(huì)對(duì)周?chē)馏w產(chǎn)生擾動(dòng)，導(dǎo)致下臥隧道縱向不均勻變形、地下水滲漏、軌道脫離等。因此，確保地鐵隧道結(jié)構(gòu)穩(wěn)定和運(yùn)營(yíng)安全尤為重要。

為了研究下臥隧道在基坑開(kāi)挖卸荷下的變形響應(yīng)，在試驗(yàn)研究方面，張玉偉等[1]、姚愛(ài)軍等[2]利用模型試驗(yàn)研究了上方基坑開(kāi)挖卸荷-加載作用下地鐵盾構(gòu)隧道的變形特征及圍土壓力分布規(guī)律。對(duì)于計(jì)算分析方法而言通常有兩種，第一種是數(shù)值模擬，Dolezalova[3]、Xiao等[4]、Huang等[5]和鄭剛等[6]使用FEM模型分析基坑開(kāi)挖引起的隧道變形規(guī)律，并針對(duì)不同的影響因素進(jìn)行了模擬。但該方法建模復(fù)雜且計(jì)算耗時(shí)。第二種為兩階段分析法，第一階段根據(jù)解析解得到基坑開(kāi)挖卸荷引起的土體附加應(yīng)力，第二階段假設(shè)基于彈性均質(zhì)地基模型計(jì)算由于附加應(yīng)力導(dǎo)致的隧道變形，相關(guān)學(xué)者對(duì)此已經(jīng)進(jìn)行了大量的研究[7-12]。但既有研究均假定施工場(chǎng)地為均質(zhì)土體，而在實(shí)際施工過(guò)程中，不同土體之間差異性較大，土體的成層性不可忽略。此外，土體并非由一系列獨(dú)立彈簧所組成，在外荷載作用下，土層相互之間存在剪切變形，以往研究將隧道擱置于Winkler地基模型中，僅考慮地基基床系數(shù)對(duì)隧道變形的影響是存在缺陷的。因此，提出一種不但能體現(xiàn)土體分層特性，而且能反映土體單元之間剪切作用的簡(jiǎn)化計(jì)算方法更具現(xiàn)實(shí)意義。

本文基于彈性層狀體系基本解，提出了考慮分層效應(yīng)的基坑開(kāi)挖擾動(dòng)地層附加應(yīng)力的計(jì)算方法，改變了過(guò)去研究該問(wèn)題時(shí)考慮均質(zhì)地基的單一現(xiàn)狀。首先以彈性層狀體系應(yīng)力解取代傳統(tǒng)的Mindlin應(yīng)力解[13]計(jì)算開(kāi)挖卸荷土體擾動(dòng)作用于隧道的附加應(yīng)力，通過(guò)引入剪切參數(shù)求解出Winkler-Pasternak地基模型中下臥隧道的縱向變形響應(yīng)。最后將有限元數(shù)值模擬與工程監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，證明本文所提出簡(jiǎn)化方法的正確性。

1 兩階段分析法

1.1 彈性層狀體系應(yīng)力與位移基本解

n層土體構(gòu)成的彈性地基模型受軸對(duì)稱(chēng)垂直荷載的作用簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖1。圖1中，p(r)為軸對(duì)稱(chēng)荷載；δ為荷載半徑；Δhi(i=1,2,…,n)為第i層體系厚度；Ei、μi分別為第i層體系的彈性模量和泊松比。

圖1 軸對(duì)稱(chēng)荷載施加于多層地基表面示意圖

參照Burmister彈性層狀理論解[14-16]，推導(dǎo)多層彈性體系中任意深度z處的應(yīng)力和位移解表達(dá)式

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

矩陣L和K定義為

(6)

式中：z為計(jì)算點(diǎn)深度；hi為第i層土體底部到地表面的距離，Φ(ξ,z)稱(chēng)為傳遞矩陣，定義為

(7)

傳遞矩陣Φ各元素表達(dá)式為

(8)

式中：E和μ為對(duì)應(yīng)于層狀體系中每一層土的彈性模量和泊松比。

1.1.1 表面受集中荷載作用的解析解

當(dāng)多層地基表面作用一集中荷載p時(shí)，p(r)的表達(dá)式為

(9)

式中：δ(r)為Dirac函數(shù)，定義為

(10)

結(jié)合式(5)、式(9)和式(10)，可以得到p(r)經(jīng)過(guò)Hankel積分變換后的表達(dá)式為

(11)

將式(11)代入式(2)和式(4)中，可得集中荷載作用下，與集中荷載水平距離為r處的地基表面的位移和地基內(nèi)任意深度z的豎向附加應(yīng)力，表達(dá)式為

(12)

(13)

1.1.2 表面受矩形均布荷載作用的解析解

設(shè)基坑的長(zhǎng)度和寬度分別為a和b，作用在坑底的垂直均布荷載為p0，見(jiàn)圖2。

圖2 層狀地基矩形荷載分布

(14)

p0可按下式計(jì)算

(15)

式中：γi、hi對(duì)應(yīng)于第i層土底部以上土層的單位重度和厚度。

利用式(12)、式(13)對(duì)矩形面積積分，可得到矩形均布垂直荷載作用下，荷載作用面任意點(diǎn)B(x0,y0,0)處的位移和荷載作用面以下任意點(diǎn)B'(x0,y0,z)的豎向附加應(yīng)力表達(dá)式

(16)

(17)

式中：Ω為矩形均布垂直荷載的面積。

1.2 隧道在開(kāi)挖卸荷作用下的變形分析

基坑與盾構(gòu)隧道相互作用的簡(jiǎn)化模型見(jiàn)圖3，將盾構(gòu)隧道簡(jiǎn)化成Euler-Bernoulli長(zhǎng)梁，假定隧道與周?chē)馏w完全接觸并且土層為各向同性的彈性體，地基土體的非線(xiàn)性變化不納入計(jì)算考慮范圍。Winkler和Winkler-Pasternak地基模型的隧道變形的平衡微分方程表達(dá)式為

圖3 盾構(gòu)隧道受基坑開(kāi)挖影響示意圖

(18)

式中：EI為盾構(gòu)隧道的抗彎剛度；k為地基基床系數(shù)；Gp為土體的剪切模量；δ(x)為隧道的撓度；D為盾構(gòu)隧道的外徑。

因微分方程中存在四階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)有限差分定理Δmfk=hmf(m)(ξ)可對(duì)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行降階，表達(dá)式為

(19)

將隧道劃分為n+5個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)長(zhǎng)為l，所受附加應(yīng)力為σz(i)，豎向位移為δi，將式(19)代入式(18)并整理成矩陣形式為

(20)

式中：Q為作用于隧道的附加應(yīng)力并可由式(17)獲得；δ為隧道的縱向位移;ψ1、ψ2、ψ3為系數(shù)矩陣。

假設(shè)隧道足夠長(zhǎng)且10倍基坑開(kāi)挖尺寸之外隧道兩端剪力和彎矩為零[18]，由此可知邊界條件表達(dá)式為

(21)

根據(jù)上述邊界條件，進(jìn)一步推導(dǎo)出系數(shù)矩陣ψ1、ψ2、ψ3的表達(dá)式為

(22)

(23)

ψ2為(n+1)×(n+1)階單位矩陣。

將ψ1、ψ2、ψ3的表達(dá)式代入式(20)并用Matlab進(jìn)行編程求解，便可得到Winkler和Winkler-Pasternak地基模型下隧道的隆起值δ，分別對(duì)δ進(jìn)行二階、三階求導(dǎo)便能求出隧道的彎矩M與剪力Fs，公式為

(24)

選取合適的基床系數(shù)k與剪切模量Gp是進(jìn)行合理計(jì)算的前提。根據(jù)Klar等[19]的建議，本文計(jì)算采用2倍Vesic基床系數(shù)值

(25)

式中：Es為隧道所處土層彈性模量。

對(duì)于剪切模量Gp的取值，通常采用簡(jiǎn)化彈性空間法[20]，即

(26)

式中：Gs為土層的剪切模量；Hp為剪切層的厚度并取[21]Hp=2.5D。

2 算例驗(yàn)證

2.1 與均質(zhì)地基中附加應(yīng)力的對(duì)比

某基坑開(kāi)挖平面尺寸為32 m×16 m，開(kāi)挖深度為8 m，場(chǎng)地共有四層土，具體參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 施工場(chǎng)地土體參數(shù)

為分析地基土體的非均質(zhì)性對(duì)基坑開(kāi)挖擾動(dòng)地層附加應(yīng)力的影響，選取基坑底面中心以下15 m處平行于基坑短邊的縱向不同節(jié)點(diǎn)，將均質(zhì)地基與分層地基兩種情況土體豎向附加應(yīng)力進(jìn)行了對(duì)比，其中，均質(zhì)地基的土體模量按Poulos等[22]提出的加權(quán)平均值計(jì)算，經(jīng)折算后均質(zhì)土體彈性模量取101 MPa，泊松比取0.26。

兩種不同地基下的附加應(yīng)力分布見(jiàn)圖4，規(guī)律大體相似。兩者的附加應(yīng)力均在x=0處達(dá)到最大，在距基坑中心12 m外均質(zhì)地基中附加應(yīng)力值要大于分層地基的附加應(yīng)力值，而0～12 m內(nèi)分層地基附加應(yīng)力值大于均質(zhì)地基附加應(yīng)力值。由于土體彈性模量自上而下依次增大，土質(zhì)由軟變硬將導(dǎo)致地基產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，相反，土質(zhì)由硬變軟將產(chǎn)生應(yīng)力擴(kuò)散現(xiàn)象。本節(jié)土體附加應(yīng)力曲線(xiàn)分布規(guī)律體現(xiàn)了這一土力學(xué)結(jié)論。由于開(kāi)挖卸荷具有對(duì)稱(chēng)性，以基坑中心為劃分點(diǎn)，選取一側(cè)的土體附加應(yīng)力值進(jìn)行比較分析，見(jiàn)表2。通過(guò)比較可知，兩者之間最小應(yīng)力偏差為2.4%，最大應(yīng)力偏差可達(dá)67.2%，其中x=0處應(yīng)力偏差為19.8%。目前計(jì)算外荷載作用下土體附加應(yīng)力值主要采用基于均質(zhì)地基的Boussinesq解和Mindlin解，當(dāng)土層參數(shù)相差不大時(shí)，采用Boussinesq解和Mindlin解計(jì)算的土體附加應(yīng)力可近似等同于彈性層狀體系解；當(dāng)土層參數(shù)相差較大時(shí)，Boussinesq解和Mindlin解的計(jì)算結(jié)果則與彈性層狀體系解明顯不同。因此在理論分析中，考慮地基土體彈性模量和泊松比的變化對(duì)于更準(zhǔn)確計(jì)算土體附加應(yīng)力是具有實(shí)際意義的。

圖4 均質(zhì)地基與分層地基附加應(yīng)力對(duì)比

表2 不同地基模型附加應(yīng)力比較

2.2 與有限元模型的對(duì)比

某基坑開(kāi)挖施工恰好位于既有盾構(gòu)隧道上方，基坑開(kāi)挖尺寸為8 m×8 m×6 m(長(zhǎng)×寬×深)。施工場(chǎng)地共有四層土，各層土體的具體參數(shù)見(jiàn)表3。盾構(gòu)隧道位于地表以下20 m且隧道縱軸平行于與基坑長(zhǎng)邊，外徑為6.2 m。隧道等效抗彎剛度(EI)eq=7.8×107kN·m2，基床系數(shù)k=4 260 kN/m3，剪切模量Gp=4.257 3×104kN/m。

表3 模型計(jì)算參數(shù)

算例采用有限差分軟件FLAC3D進(jìn)行驗(yàn)證?？紤]有限元計(jì)算中邊界效應(yīng)的影響，將模型尺寸定義為150 m×150 m×60 m(長(zhǎng)×寬×高)，沿著側(cè)壁設(shè)置四道地連墻用來(lái)抵抗基坑側(cè)壁土體的水平應(yīng)力，每道地連墻厚1 m，埋深10 m。為了與理論計(jì)算中涉及的參數(shù)條件保持一致，在有限元模型中隧道采用梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，周?chē)馏w采用線(xiàn)彈性模型進(jìn)行模擬，并假設(shè)隧道與土層滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件。有限元網(wǎng)格劃分見(jiàn)圖5，在整個(gè)模型區(qū)域中，網(wǎng)格個(gè)數(shù)共計(jì)135 218個(gè)，節(jié)點(diǎn)共有148 800個(gè)，以基坑中心為原點(diǎn)，截取位于區(qū)間x=[-75 m,75 m]的隧道進(jìn)行研究。

圖5 有限元網(wǎng)格劃分示意圖

采用Winkler模型、Winkler-Pasternak模型與有限元數(shù)值模擬得到的隧道隆起量對(duì)比見(jiàn)圖6。由圖6可見(jiàn)，三種方法中采用Winkler方法得到的數(shù)值解遠(yuǎn)大于其余兩者，原因在于Winkler模型忽略了地基彈簧之間的相互作用。此外，在距離基坑中心約50 m處，隧道開(kāi)始產(chǎn)生縱向位移。Winkler模型、解析理論得到的隧道隆起值與有限元解的對(duì)比見(jiàn)表4。采用解析理論計(jì)算得到的隧道縱向最大位移為2.02 mm，數(shù)值模擬為2.25 mm。在開(kāi)挖影響范圍內(nèi)，解析理論與有限元結(jié)果的位移偏差都在40%以?xún)?nèi)，遠(yuǎn)低于Winkler模型。兩種方法的計(jì)算結(jié)果分布規(guī)律基本一致，數(shù)值上存在微小差別可能原因在于基坑開(kāi)挖土體擾動(dòng)導(dǎo)致既有隧道相對(duì)剛度的減小，本文理論算法中并沒(méi)有考慮這方面的影響。

圖6 隧道隆起值對(duì)比曲線(xiàn)

表4 Winkler模型、解析理論與有限元結(jié)果比較(隧道隆起)

隧道在附加應(yīng)力作用下采用三種計(jì)算方法得到的彎矩分布圖見(jiàn)圖7。由圖7可知，正彎矩最大值位于基坑中心正下方處，此時(shí)襯砌管片處于最不利受彎拉狀態(tài)，最大負(fù)彎矩產(chǎn)生于距基坑中心兩側(cè)約25 m的位置。盾構(gòu)隧道是由一系列襯砌管片拼裝而成的結(jié)構(gòu)體，當(dāng)作用于其上的彎矩超出隧道極限抗彎能力時(shí)，襯砌管片環(huán)縫會(huì)大幅度張開(kāi)從而影響隧道結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定。Winkler模型、解析理論得到的隧道彎矩值與有限元解的對(duì)比見(jiàn)表5。采用解析理論得到的彎矩偏差均值為57.4%，小于Winkler模型得到的彎矩偏差均值148.8%，與有限元計(jì)算結(jié)果相比，Winkler模型計(jì)算得到的最大正、負(fù)彎矩值高出79.7%、105.3%，總體來(lái)說(shuō)，采用本文方法與有限元算法得到的彎矩值吻合較好，曲線(xiàn)分布規(guī)律也基本一致。

圖7 隧道彎矩對(duì)比曲線(xiàn)

表5 Winkler模型、解析理論與有限元結(jié)果比較(隧道彎矩)

采用本文理論解、Winkler模型解以及有限元模擬得到的隧道縱向剪力對(duì)比曲線(xiàn)見(jiàn)圖8。其中本文計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果數(shù)值吻合較好，剪力最大(小)值皆發(fā)生于x=±9 m處。為了維護(hù)隧道的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，可在剪力最大處采取加固接頭螺栓的辦法。Winkler模型、解析理論得到的隧道剪力值與有限元解的對(duì)比見(jiàn)表6。在x=±9 m處Winkler模型計(jì)算出的最大(小)剪力值要超出數(shù)值模擬的82.7%。與有限元結(jié)果相比，采用解析理論得到的剪力偏差均值為62.3%，小于Winkler模型得到的剪力偏差均值108.1%。

表6 Winkler模型、解析理論與有限元結(jié)果比較(隧道剪力)

圖8 隧道縱向剪力對(duì)比曲線(xiàn)

根據(jù)上述分析可知，在預(yù)測(cè)由于開(kāi)挖卸荷引起下臥隧道變形中，本文提供了一種快速而簡(jiǎn)便的方法。

2.3 與監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比

上海東方路地下過(guò)街通道采用明挖法施工，上海軌道交通2號(hào)線(xiàn)的一段隧道正好位于基坑正下方并與基坑成45°夾角，見(jiàn)圖9。為了簡(jiǎn)化分析過(guò)程，將基坑視為26 m×18 m(長(zhǎng)×寬)的矩形，各層土體參數(shù)見(jiàn)表7。基坑開(kāi)挖深度為6.5 m且隧道頂部距離坑底僅為2.76 m，地鐵隧道使用盾構(gòu)法施工，采用鋼螺栓連接的預(yù)制節(jié)段環(huán)作為永久襯砌，厚度為0.35 m。隧道軸線(xiàn)位于地表以下12.36 m，地鐵2號(hào)線(xiàn)隧道外徑為6.2 m。隧道等效抗彎剛度取1.087×108kN·m2?；拥撞繚仓?.88 m厚的混凝土底板。考慮地層改良后地基剛度的增加，理論計(jì)算中隧道所處土層彈性模量取16.01 MPa。

圖9 基坑與隧道位置關(guān)系示意(單位：m)

表7 場(chǎng)地土層參數(shù)

為了驗(yàn)證本文兩階段方法的適用性，將理論計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，本文理論解計(jì)算得到的隧道隆起值見(jiàn)圖10，并與文獻(xiàn)[23]中現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)以及Winkler模型解進(jìn)行了對(duì)比分析。

從圖10可知，采用本文方法計(jì)算的隧道隆起值與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分布規(guī)律基本一致，并且比大多數(shù)實(shí)測(cè)隆起值要大一些，原因在于實(shí)際施工過(guò)程會(huì)對(duì)基坑采取各種加固措施如分層分區(qū)開(kāi)挖、底板澆筑、圍護(hù)樁的打設(shè)等，然而本文理論計(jì)算沒(méi)有考慮這些因素。隧道彎矩對(duì)比曲線(xiàn)見(jiàn)圖11，由圖10、圖11可知，采用本文解析理論得到的隧道隆起和彎矩曲線(xiàn)低于Winkler理論模型得到的曲線(xiàn)，意味著如用Winkler模型進(jìn)行隧道縱向變形預(yù)測(cè)，需采取過(guò)多的保護(hù)措施來(lái)減小隧道隆起量。此外，本文理論解與隧道實(shí)測(cè)隆起量都滿(mǎn)足地鐵隧道的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)，即隧道最大隆起值不超過(guò)20 mm。

圖10 隧道隆起值對(duì)比曲線(xiàn)

圖11 隧道彎矩對(duì)比曲線(xiàn)

3 結(jié)論

(1)與以往基于均質(zhì)地基的兩階段法不同，在計(jì)算基坑開(kāi)挖卸荷作用于下臥隧道的附加荷載時(shí)，本文建立的集中荷載與矩形荷載下彈性層狀體系應(yīng)力解不僅考慮了彈性模量與泊松比隨土體分層變化而不同的情況，還避免了均質(zhì)地基中應(yīng)力擴(kuò)散能力過(guò)大的弊端，與工程實(shí)際情況符合，具有更好的計(jì)算精度。

(2)將地鐵隧道簡(jiǎn)化為Euler-Bernoulli長(zhǎng)梁架臥于Winkler-Pasternak地基模型中，從而建立梁的撓度平衡微分方程，通過(guò)有限差分法對(duì)方程進(jìn)行降階處理，最終得到隧道在附加應(yīng)力作用下的縱向變形解答。

(3)在預(yù)測(cè)隧道縱向變形響應(yīng)的方法中，采用Winkler地基模型通常導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏大，Winkler-Pasternak模型充分考慮了土體彈簧之間的相互作用，與工程實(shí)際更貼近，計(jì)算結(jié)果更具參考性與精確性。此外，基坑中心下方區(qū)域?qū)е滤淼喇a(chǎn)生最大縱向位移且使襯砌管片處于最不利受彎拉狀態(tài)，施工中應(yīng)加強(qiáng)這部分區(qū)域的變形監(jiān)測(cè)與保護(hù)力度。

(4)本文未考慮基坑側(cè)壁土體卸荷作用以及隧道與周?chē)馏w之間的非線(xiàn)性作用，在將來(lái)研究中可進(jìn)一步完善。