新時(shí)代背景下《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)的提質(zhì)與創(chuàng)新

申愛紅,孫文娟

(1.中國(guó)刑事警察學(xué)院 基礎(chǔ)部,沈陽 110854;2.沈陽理工大學(xué) 理學(xué)院,沈陽 110159)

0 引 言

《高等數(shù)學(xué)》課程是本科院校理工類與經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課,也是這類專業(yè)研究生考試的必考科目之一,在本科教學(xué)中起著重要作用?！陡叩葦?shù)學(xué)》課程要求學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維能力和計(jì)算能力,其培養(yǎng)目標(biāo)是通過該課程的學(xué)習(xí)使學(xué)生能夠解決其他專業(yè)領(lǐng)域中的問題。為了提高學(xué)生的創(chuàng)新能力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用,教學(xué)工作者們提出了大量基于網(wǎng)絡(luò)資源的教學(xué)改革方案,如基于互聯(lián)網(wǎng)的教學(xué)模式[1-2]、基于翻轉(zhuǎn)課堂[3-5]的教學(xué)模式、基于慕課[6-8]以及基于微課[9-11]的教學(xué)模式等。本文認(rèn)為基于網(wǎng)絡(luò)資源的教學(xué)方法有其優(yōu)越性,但也不能全盤否定傳統(tǒng)的授課模式。

本文針對(duì)目前《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)中存在的問題,對(duì)現(xiàn)行的《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)模式進(jìn)行了改革,提出了優(yōu)化教材內(nèi)容、拓展教學(xué)內(nèi)容、應(yīng)用混合教學(xué)方法等改革措施,并進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。措施的提出充分激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,有效地提高了教學(xué)效率。

1 《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)現(xiàn)狀

1.1 教學(xué)內(nèi)容固化

在新課改下高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容有很多變動(dòng)[12]。一方面,有些教學(xué)內(nèi)容與《高等數(shù)學(xué)》的內(nèi)容重復(fù),學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)由于缺乏好奇心,學(xué)習(xí)積極性不高。另一方面,高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中刪減了一部分《高等數(shù)學(xué)》課程需要的預(yù)備知識(shí),學(xué)生在學(xué)習(xí)此部分內(nèi)容時(shí)會(huì)比較吃力。此外,《高等數(shù)學(xué)》教材中有關(guān)某些概念的不同內(nèi)容分散在不同的章節(jié),知識(shí)點(diǎn)的連貫性不足,不利于學(xué)生知識(shí)體系的形成。

1.2 學(xué)生普遍存在畏難情緒

《高等數(shù)學(xué)》課程本身具有抽象性,學(xué)習(xí)難度相對(duì)較高,因此學(xué)生普遍先入為主地認(rèn)為“高數(shù)難”,學(xué)習(xí)過程中存在畏難情緒。同時(shí),現(xiàn)有的教學(xué)模式使得學(xué)生對(duì)《高等數(shù)學(xué)》課程的背景、應(yīng)用了解不多,興趣得不到激發(fā),學(xué)習(xí)積極性難以被調(diào)動(dòng)[13]。隨著學(xué)習(xí)的不斷深入以及知識(shí)點(diǎn)難度的不斷提升,更多的學(xué)生失去學(xué)習(xí)信心,因此無法達(dá)到滿意的教學(xué)質(zhì)量和預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。

1.3 教學(xué)方法單一

課堂教學(xué)過程包括教師行為以及學(xué)生行為,現(xiàn)行的《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)過程則更多的強(qiáng)調(diào)教師行為,大多數(shù)教師將更多的精力投入到知識(shí)點(diǎn)的講解上,忽略了講授方式的設(shè)計(jì)。講授模式也多為“教師單向講解,學(xué)生被動(dòng)接受”。在這種單一、傳統(tǒng)的教學(xué)模式下,學(xué)生的行為被忽視,學(xué)生學(xué)習(xí)相對(duì)被動(dòng),學(xué)習(xí)的積極性及主動(dòng)性很難得到充分調(diào)動(dòng)。

1.4 學(xué)生的應(yīng)用、創(chuàng)新能力不足

目前,《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)過程大多只涉及概念、定義的講解,定理、性質(zhì)的推演,以及算法的介紹。數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科,其理論思想的產(chǎn)生源于人類生活、科技發(fā)展需求,最終還將應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)踐。在目前的教學(xué)模式下,學(xué)生盡管掌握了一些數(shù)學(xué)知識(shí),卻不具備數(shù)學(xué)思維、應(yīng)用能力以及創(chuàng)新能力。

2 《高等數(shù)學(xué)》課程教學(xué)改革的探索與實(shí)踐

2.1 優(yōu)化教材內(nèi)容

首先,由于新課改下高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容有很多變動(dòng),應(yīng)根據(jù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容對(duì)《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整。一方面,高中數(shù)學(xué)中有些內(nèi)容與《高等數(shù)學(xué)》課程重復(fù),如導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用洛必達(dá)法則計(jì)算極限等。對(duì)于這部分內(nèi)容,要對(duì)《高等數(shù)學(xué)》和高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分。高中側(cè)重計(jì)算,因此《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)過程中應(yīng)側(cè)重于理論拓展,著重對(duì)概念進(jìn)行分析、定理進(jìn)行推演,使學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)有更全面的理解。另一方面,高中教材中也刪減了一些《高等數(shù)學(xué)》課程中需要的知識(shí)點(diǎn),如反三角函數(shù)、常用三角恒等式、極坐標(biāo)等。教師應(yīng)了解哪些預(yù)備知識(shí)高中數(shù)學(xué)沒有講授,并對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行及時(shí)補(bǔ)充,為后續(xù)課程做好準(zhǔn)備。

其次,對(duì)教材中某些教學(xué)內(nèi)容的講授順序進(jìn)行調(diào)整。如無窮小量這一節(jié),無窮小量的性質(zhì)可以總結(jié)為“有限個(gè)無窮小量的和、差、積是無窮小量”?？梢岳脝l(fā)式教學(xué)方法向?qū)W生提出問題:“兩個(gè)無窮小量的商是否為無窮小量?”從而過渡到無窮小量的比較,如圖1所示。通過適當(dāng)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容的順序,將出現(xiàn)在不同章節(jié)的同一概念的不同內(nèi)容匯總,增加了知識(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)性,有利于學(xué)生更加全面的理解無窮小量的概念。

圖1 無窮小量介紹Fig.1 Introduction of infinitesimal

圖2 微分中值定理及其應(yīng)用Fig.2 Differential mean value theorem and applications

又如微分中值定理這一節(jié),每個(gè)定理證明結(jié)束后分別介紹該定理在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用,以實(shí)現(xiàn)緊緊圍繞并突出微分中值定理作用的目的,使學(xué)生切實(shí)理解如何以微分中值定理為工具,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)。如圖2所示,由羅爾定理的證明過渡到函數(shù)極值點(diǎn)必要條件的證明,由于羅爾定理的證明過程包含了函數(shù)極值點(diǎn)必要條件的證明,因此在此處介紹必要條件的證明更易于學(xué)生理解。同樣地,由拉格朗日中值定理的證明過渡到函數(shù)單調(diào)性的判別條件,因?yàn)閷W(xué)生在高中數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)過該結(jié)論,但大多數(shù)學(xué)生知其然不知其所以然,因此在此處引入單調(diào)性判別條件的證明,學(xué)生會(huì)有一種豁然開朗的感覺。由柯西中值定理過渡到洛必達(dá)法則的證明時(shí),由于高中數(shù)學(xué)階段只要求學(xué)生利用洛必達(dá)法則計(jì)算函數(shù)極限,沒有對(duì)定理本身的證明進(jìn)行推導(dǎo),因此在此處可以側(cè)重講解利用柯西中值定理推導(dǎo)洛必達(dá)法則,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過多年的課堂教學(xué)實(shí)踐證明,由于可以將微分中值定理與已有的知識(shí)儲(chǔ)備相關(guān)聯(lián),這種調(diào)整模式能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。

2.2 拓展教學(xué)內(nèi)容

“興趣是最好的老師”,可以通過拓展教學(xué)內(nèi)容開拓學(xué)生視野,提高學(xué)生學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》的興趣。本文提出從知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生的背景、數(shù)學(xué)文化以及開展學(xué)術(shù)報(bào)告3方面拓展教學(xué)內(nèi)容。

首先,教學(xué)過程應(yīng)增加知識(shí)點(diǎn)產(chǎn)生背景的介紹,將抽象的知識(shí)與實(shí)際背景相聯(lián)系可以減少學(xué)生的畏難情緒,激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力。如在介紹《高等數(shù)學(xué)》課程框架時(shí),可以講述微積分的產(chǎn)生背景:微積分的創(chuàng)立并非偶然,是社會(huì)和科技發(fā)展的必然結(jié)果[14]。17世紀(jì)下半葉,英國(guó)科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何學(xué)入手獨(dú)自研究完成了微積分的創(chuàng)立工作[15]。解決了如曲線切線、運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度等現(xiàn)實(shí)問題。又如知識(shí)點(diǎn)“變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”,即曲邊梯形面積的變化率是與現(xiàn)實(shí)生活中的掃雪效率,雨刷器清潔玻璃的效率等問題相關(guān)聯(lián)的。

其次,在《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)過程中始終貫穿數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)故事的介紹。力求在每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都發(fā)現(xiàn)相關(guān)的數(shù)學(xué)故事,以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。如有關(guān)無窮小量概念發(fā)展的歷史為:無窮小量最初出現(xiàn)在哲學(xué)范疇內(nèi),魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在割圓術(shù)中應(yīng)用了無窮小的思想,微積分體系的建立開始了關(guān)于無窮小的演算,德國(guó)數(shù)學(xué)家魯濱遜在《非標(biāo)準(zhǔn)分析》中對(duì)無窮小進(jìn)行了嚴(yán)密的解釋分析。又如,極限的定義這一節(jié)介紹:柯西在微積分中引進(jìn)了極限的概念,并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯嚴(yán)密的分析體系等。

最后,《高等數(shù)學(xué)》課程組應(yīng)定期開展學(xué)術(shù)講座。一方面學(xué)生通過這種方式可以開闊視野拓展思路,激發(fā)學(xué)習(xí)愿望。另一方面,教師在準(zhǔn)備學(xué)術(shù)報(bào)告的同時(shí)對(duì)自己的科研成果進(jìn)行整理、補(bǔ)充,提高自身的科研能力,實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。

2.3 應(yīng)用混合教學(xué)方法

隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用,基于網(wǎng)絡(luò)或數(shù)字媒體的教學(xué)方法在新時(shí)代的教學(xué)過程中發(fā)揮了重要作用。很多高等院校都采用了翻轉(zhuǎn)課堂、微課、雨課堂等教學(xué)方法。本文結(jié)合《高等數(shù)學(xué)》的課程特點(diǎn),在保留傳統(tǒng)教學(xué)方法(教師單方向講授的模式)優(yōu)勢(shì)的同時(shí),結(jié)合網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的優(yōu)勢(shì),提出了混合教學(xué)方法。該方法將傳統(tǒng)教學(xué)、翻轉(zhuǎn)課堂[16]以及討論班3種方法相結(jié)合,如圖3所示。具體以《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)為例進(jìn)行說明。首先,有關(guān)核心概念、定義以及理論性強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法。如極限的定義、導(dǎo)數(shù)的定義、微分中值定理的推導(dǎo)、定積分的定義等,由教師完成基本概念以及思想的闡述,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)課程以及知識(shí)點(diǎn)建立宏觀認(rèn)識(shí)。其次,對(duì)理論性不強(qiáng),有關(guān)過程性描述以及側(cè)重應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)采用翻轉(zhuǎn)課堂的方式來完成,如教材中無窮小量的比較、不定積分的分部積分法等。課前教師通過微課視頻或雨課堂布置預(yù)習(xí)任務(wù)以及相應(yīng)的作業(yè)。通過課前預(yù)習(xí),一方面學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容有所了解,帶著問題走進(jìn)課堂,學(xué)習(xí)更有目的性;另一方面,通過作業(yè)的完成情況,老師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)程度有所了解,課堂上的講解能夠更有針對(duì)性。最后,對(duì)于學(xué)生相對(duì)比較熟悉的內(nèi)容可以采用討論班形式完成,如函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性,函數(shù)的極值、最值以及利用洛必達(dá)法則求函數(shù)極限等章節(jié)。即課前安排某位同學(xué)或者某個(gè)學(xué)習(xí)小組自主學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容,然后在課堂上由學(xué)生進(jìn)行講授。通過這種形式,講授的學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的了解更加深刻,同時(shí)也能激發(fā)其他同學(xué)的學(xué)習(xí)積極性,此外這種自學(xué)-講解的模式可以為研究生階段的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)。通過近2年教學(xué)實(shí)踐證明,有針對(duì)性的多種教學(xué)方法的融合充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,提高了課堂效率。

圖3 混合教學(xué)模式示意圖Fig.3 Schematic diagram of mixed teaching mode

2.4 建立立體化課程體系

針對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng),可以在教學(xué)過程中增加數(shù)學(xué)軟件以及數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的介紹。一方面借助數(shù)學(xué)軟件可以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解[17],另一方面也提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的能力。以“函數(shù)極值點(diǎn)的充分條件一”為例,該條件是利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步判斷某點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。很多學(xué)生直觀地認(rèn)為極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性一定不同,誤將該點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性不同作為極值點(diǎn)的必要條件。此處可以通過舉反例的方式解釋:極值點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性不一定相反。如函數(shù)

(1)

圖4 函數(shù)圖像Fig.4 Figure of function

x=0為該函數(shù)的極小值點(diǎn),但該點(diǎn)的任一側(cè)都不具有單調(diào)性。由于該函數(shù)的代數(shù)形式抽象,不利于學(xué)生直觀理解,可以借助數(shù)學(xué)軟件得到該函數(shù)的圖像。學(xué)生通過輸入MATLAB命令:x=-pi:0.01:pi;y=x2+x2*abs(sin(1./x));plot(x,y),得到函數(shù)圖像,如圖4所示。學(xué)生通過圖像對(duì)極值點(diǎn)的必要條件有了更加深刻的理解。

另一方面,多年的教學(xué)實(shí)踐表明學(xué)生通過參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等創(chuàng)新活動(dòng)能提高學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性,并提高應(yīng)用、創(chuàng)新能力[18]。數(shù)學(xué)建模首先將實(shí)際問題進(jìn)行抽象,然后用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá),最后借助數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求解分析。在這一過程中學(xué)生查找文獻(xiàn)自學(xué)所需知識(shí),通過團(tuán)隊(duì)合作的形式解題,最終以論文的形式提交任務(wù),是一個(gè)全面考察學(xué)生應(yīng)用以及創(chuàng)新能力的過程。中國(guó)刑事警察學(xué)院從2006年起組織學(xué)生參加全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,取得了較好的效果。從開始時(shí)學(xué)生被動(dòng)參加,到現(xiàn)在的主動(dòng)報(bào)名,有些學(xué)生甚至剛?cè)雽W(xué)就向老師請(qǐng)教有關(guān)參加競(jìng)賽的信息,并自學(xué)MATLAB等數(shù)學(xué)軟件。此外,學(xué)生參與教師的科研項(xiàng)目也是提高學(xué)生應(yīng)用能力的一種有效手段。

3 結(jié) 語

在新時(shí)代背景下開展《高等數(shù)學(xué)》課程改革,對(duì)于提高人才培養(yǎng)質(zhì)量、培養(yǎng)創(chuàng)新型人才具有至關(guān)重要的作用。本文提出的改革措施可有效豐富、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主觀能動(dòng)性;通過加強(qiáng)師生互動(dòng),提高了教師的教學(xué)效率和學(xué)生的創(chuàng)新熱情,實(shí)現(xiàn)了教學(xué)相長(zhǎng);通過實(shí)踐將所學(xué)融會(huì)貫通,提高了學(xué)生的應(yīng)用、動(dòng)手能力,促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。措施的提出可為《高等數(shù)學(xué)》課程改革提供思路和依據(jù)。