粗化床面非均勻沙推移質(zhì)運(yùn)動擴(kuò)散特性研究

劉春晶，曹文洪，耿 旭，許琳娟

（1.中國水利水電科學(xué)研究院 流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，水利部水沙科學(xué)與江河治理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100048；2.黃河水利委員會黃河水利科學(xué)研究院，河南 鄭州 450003）

1 研究背景

近底床面是推移質(zhì)運(yùn)動的主要區(qū)域，也是水流紊動產(chǎn)生和發(fā)展最為活躍的區(qū)域，水沙動量和能量交換頻繁，推移質(zhì)顆粒運(yùn)動是其與近壁區(qū)水流紊動相互作用外在表現(xiàn)。大量試驗(yàn)觀測表明，與水流的紊動類似，推移質(zhì)顆粒運(yùn)動存在一定隨機(jī)特性。1930年代開始，Einstein根據(jù)泥沙隨機(jī)運(yùn)動特性建立了推移質(zhì)輸沙理論體系［1］，打開了以隨機(jī)過程理論研究泥沙運(yùn)動之門，之后大量學(xué)者從顆粒運(yùn)動特性角度開展推移質(zhì)研究，其中顆粒的擴(kuò)散特性一直是這方面研究的熱點(diǎn)［2-7］。

布朗運(yùn)動是花粉顆粒在水分子作用下的無規(guī)則運(yùn)動，典型布朗運(yùn)動遵循菲克擴(kuò)散定律，同時(shí)為典型的馬爾科夫過程［2］，顆粒未來運(yùn)動狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，與歷史狀態(tài)無關(guān)，僅通過當(dāng)前的運(yùn)動狀態(tài)就可以獲知顆粒未來運(yùn)動的全部信息。韓其為等假定泥沙顆粒運(yùn)動遵循馬爾科夫過程，將泥沙顆粒運(yùn)動分為4種狀態(tài)，提出泥沙顆粒未來運(yùn)動可完全由當(dāng)前狀態(tài)與16個(gè)轉(zhuǎn)移概率確定［3-5］；Ancey等在描述挾沙力時(shí)引入馬爾科夫“生-滅”過程，即“生”和“滅”兩個(gè)狀態(tài)［6-7］，“生”表示泥沙被水流所挾帶由靜止?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)為運(yùn)動，“滅”表示泥沙顆粒由運(yùn)動轉(zhuǎn)為靜止；Furbish等建立了推移質(zhì)顆粒運(yùn)動通量主方程，認(rèn)為顆粒通量可分解為對流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)，其中對流項(xiàng)與水流動力相關(guān)，擴(kuò)散項(xiàng)與顆粒本身的隨機(jī)運(yùn)動相關(guān)［2］。Nikora等將泥沙顆粒運(yùn)動分為小、中、大三個(gè)尺度［8］，其中小尺度為顆粒跳躍階段，符合彈道擴(kuò)散規(guī)律，中尺度為顆粒多個(gè)跳躍階段，符合超擴(kuò)散或正常擴(kuò)散規(guī)律，大尺度為包括顆粒等待時(shí)間在內(nèi)的更長的時(shí)間尺度，符合次擴(kuò)散規(guī)律。Ganti等提出可以同時(shí)反映顆粒正常擴(kuò)散和反常擴(kuò)散的模型［9］；Martin等利用水槽試驗(yàn)證實(shí)了泥沙示蹤顆粒運(yùn)動的反常擴(kuò)散現(xiàn)象［10］；Fathel等進(jìn)一步分析了顆粒運(yùn)動的特征［11-12］，并將顆粒運(yùn)動與布朗運(yùn)動進(jìn)一步詳細(xì)對比，認(rèn)為泥沙顆粒運(yùn)動類似于布朗運(yùn)動中顆粒在單次碰撞之間的彈道運(yùn)動，經(jīng)過彈道擴(kuò)散階段后顆粒將回歸正常擴(kuò)散，不同于一般的反常擴(kuò)散。范念念等認(rèn)為在均勻沙條件下，根據(jù)不同的停止時(shí)間，泥沙顆粒運(yùn)動可分別表現(xiàn)為次擴(kuò)散、正常擴(kuò)散和超擴(kuò)散，非均勻沙總體上出現(xiàn)的彈道運(yùn)動是由于沿程分選造成的，而非反常擴(kuò)散造成［13-14］。近期，Liu等對低輸沙率條件下顆粒運(yùn)動參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分析了顆粒停止時(shí)間隨水流強(qiáng)度變化特征［15］；Ballio等研究了由于拍攝范圍和時(shí)間觀測限制對推移質(zhì)運(yùn)動參數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的影響［16］；Ancey全面回顧了推移質(zhì)研究進(jìn)展，指出進(jìn)一步深入理解顆粒運(yùn)動內(nèi)在的隨機(jī)特性是未來準(zhǔn)確估算推移質(zhì)輸沙率的基礎(chǔ)［17-18］。

已有關(guān)于推移質(zhì)擴(kuò)散特性研究多基于平整床面和均勻沙開展，與天然河流實(shí)際情況存在一定差異。Zhu等關(guān)于粗化床面顆粒運(yùn)動表明，在較小時(shí)間尺度下顆粒表現(xiàn)為超擴(kuò)散，較大時(shí)間尺度下則表現(xiàn)為次擴(kuò)散［19］。許琳娟等利用水槽試驗(yàn)分析了粗化床面條件下輸沙率及顆粒運(yùn)動分布特性［20-21］，本文以高速攝像機(jī)拍攝顆粒運(yùn)動圖像，建立顆粒圖像與顆粒粒徑之間的定量關(guān)系［22］，然后根據(jù)顆粒在連續(xù)幀的位置獲取泥沙顆粒運(yùn)動的速度、軌跡等信息，進(jìn)而對泥沙顆粒運(yùn)動的擴(kuò)散特性進(jìn)行分析。

2 試驗(yàn)簡介

2.1 試驗(yàn)水槽和拍攝系統(tǒng) 試驗(yàn)在中國水利水電科學(xué)研究院大興試驗(yàn)基地大型徑流波浪水槽中進(jìn)行。水槽長50 m，寬1 m，高1.2 m，邊壁與底板均由玻璃板組成，可從側(cè)面或底部觀測泥沙運(yùn)動。水槽坡度可調(diào)，變坡范圍0～1%。

采用特制拍攝裝置從水槽頂部對泥沙顆粒運(yùn)動進(jìn)行拍攝，如圖1所示。該裝置由平板小車、支撐架、兩端翹起的玻璃板、吊裝絲杠及照明燈管組成，整個(gè)裝置可沿水槽移動。使用時(shí)將小車移動至所拍攝部位，調(diào)整絲杠吊裝高度，使底部玻璃板剛好與流動的水面相接觸。攝像機(jī)位于平板小車頂部，通過平板中央的拍攝孔對床面泥沙進(jìn)行拍攝。底部玻璃板與水流直接接觸，避免了由于水面波動而產(chǎn)生的拍攝成像不清問題。當(dāng)水流速度較快時(shí)，玻璃板與水流接觸面會有空氣被吸入，在玻璃板中央形成較大氣孔，影響床沙拍攝，為此在上游側(cè)設(shè)置絲網(wǎng)，使進(jìn)氣孔破碎。

圖1 顆粒運(yùn)動拍攝裝置示意

2.2 試驗(yàn)條件和數(shù)據(jù)提取 試驗(yàn)采用非均勻石英砂，粒徑范圍0.1～20 mm（顆粒級配如圖2所示），水槽坡度4‰，流量110 l/s，試驗(yàn)粗化床面為170 l/s水流沖刷形成。攝像機(jī)分辨率1280×720 Pixel，拍攝速度50 fps，拍攝時(shí)長60 s。

圖2 試驗(yàn)沙級配

表1為本文與已有顆粒擴(kuò)散規(guī)律研究的試驗(yàn)條件對比。由表1可知，現(xiàn)有研究試驗(yàn)條件多為均勻沙，水流條件與天然河流相差較大，其中Furbish等［2］和Fathel等［11-12］的顆粒運(yùn)動速度較小，僅為5 cm/s左右，而Martin等［10］和Ancey等［7］的水深較淺，僅為2 cm左右。本文非均勻沙粒徑0.1～20 mm，水深約13 cm，水流流速約0.8 m/s，實(shí)測顆粒速度20 cm/s左右，與已有研究相比更接近天然河流實(shí)際情況。

表1 本文與其他研究試驗(yàn)條件對比

采用人工判讀方法將60s拍攝觀測范圍內(nèi)所有運(yùn)動的顆粒按幀提取，共得到7000多個(gè)坐標(biāo)，268個(gè)泥沙顆粒的運(yùn)動信息［20-21］，泥沙顆粒粒徑可根據(jù)其在圖像中所占像素大小確定，粒徑范圍0.5～8 mm，如圖3所示，其中大部分顆粒集中在2～3 mm之間。

圖3 提取的運(yùn)動顆粒粒徑分布

3 結(jié)果分析

3.1 顆粒均方位移變化 以x方向代表水流運(yùn)動方向，y方向代表與x方向垂直的橫向方向。以顆粒在x方向的運(yùn)動為例，xp(t)表示顆粒在t時(shí)刻的位置，則經(jīng)過間隔時(shí)間τ后顆粒位移為［2，11］：

根據(jù)擴(kuò)散方程，x方向的均方位移為：

其中kx為顆粒擴(kuò)散系數(shù)，顆粒均方位移與間隔時(shí)間之間的關(guān)系可表示為：

由式（3）可見，顆粒的均方位移與時(shí)間間隔之間為指數(shù)關(guān)系，指數(shù)α=1時(shí)表示顆粒運(yùn)動符合正常擴(kuò)散，0＜α＜1時(shí)擴(kuò)散速度小于正常擴(kuò)散，稱為次擴(kuò)散，1＜α＜2時(shí)擴(kuò)散強(qiáng)度大于正常擴(kuò)散，稱為超擴(kuò)散，α=2時(shí)為彈道擴(kuò)散。

類似地，顆粒在與水流垂直的y方向運(yùn)動也可以用式（1）—式（3）表示。此外，上式既適用于單顆粒運(yùn)動分析，也用于大量顆粒運(yùn)動分析。

根據(jù)式（3）計(jì)算了本文單顆粒均方位移變化情況，部分顆粒計(jì)算結(jié)果如圖4所示，圖中小標(biāo)題No.表示顆粒序號，d為該顆粒的粒徑，Rx(τ)、Ry(τ)分別表示顆粒在x方向和y方向的均方位移，其中圖4（a）中泥沙顆粒x方向運(yùn)動速度大于y方向，圖4（b）、圖4（c）中兩個(gè)方向運(yùn)動速度接近，圖4（d）中泥沙顆粒x方向運(yùn)動速度小于y方向。

由圖4可知，粗化床面條件下單顆粒均方位移與平整均勻沙床面顆粒運(yùn)動存在顯著差異。在Furbish等［2］、Fathel等［11-12］試驗(yàn)中，時(shí)間尺度較小時(shí)均方位移曲線斜率幾乎與 α=2 平行，F(xiàn)athel等［11-12］據(jù)此將泥沙顆粒運(yùn)動與布朗運(yùn)動粒子相類比，認(rèn)為顆粒運(yùn)動在小時(shí)間尺度下表現(xiàn)為“類似彈道擴(kuò)散”，后隨著時(shí)間尺度增加以明顯的反常擴(kuò)散特征過渡到正常擴(kuò)散。與上述結(jié)果不同，本文非均勻沙均方位移隨時(shí)間間隔變化曲線斜率均處于1和2之間，一方面有可能是本文最小時(shí)間尺度較大，另一方面可能是由于粗化床面獨(dú)特的邊界條件所導(dǎo)致。在Furbish等［2］和Fathel等［11-12］的均勻沙試驗(yàn)中，泥沙顆粒在水流流向x方向的流速遠(yuǎn)大于橫向y方向，x方向的均方位移約比y方向大一個(gè)數(shù)量級，與本文圖4（a）接近。在本文粗化床面條件下，在近底床面存在與x方向具有一定夾角的優(yōu)勢“通道”，在“通道”中運(yùn)動的顆粒y方向的流速有可能接近，甚至是超過x方向，如在圖4（b）和圖4（c）中x方向與y方向均方位移規(guī)律接近，在圖4（d）中，y方向的均方位移已超過x方向。

圖4 部分單顆粒均方位移隨時(shí)間間隔變化

為進(jìn)一步分析非均勻沙運(yùn)動特性，將顆粒按粒徑大小分為7組，分別為＜1.5 mm、1.5～2 mm、2～2.5 mm、2.5～3 mm、3～3.5 mm、3.5～4 mm和＞4 mm組，計(jì)算了各粒徑組所有顆粒的均方位移變化特征，圖5列出了兩組典型計(jì)算結(jié)果，圖6為本文全部顆粒的均方位移變化特征。由圖5和圖6可知，即使是在小時(shí)間尺度條件下，推移質(zhì)顆粒均方位移曲線斜率均介于1和2之間，不符合均勻沙的小時(shí)間尺度“類彈道”擴(kuò)散規(guī)律［2，11-12］。在本文非均勻沙試驗(yàn)中，不同顆粒的擴(kuò)散特性存在一定差異，其中大顆粒均方位移隨長時(shí)間尺度衰減較快，小顆粒均方位移隨時(shí)間間隔衰減較慢。

圖5 不同粒徑組顆粒均方位移隨時(shí)間間隔變化

圖6 所有顆粒均方位移隨時(shí)間間隔變化

3.2 顆粒運(yùn)動的速度自協(xié)方差 泥沙顆粒在運(yùn)動時(shí)段Tp內(nèi)的平均運(yùn)動速度為uˉp，則顆粒運(yùn)動速度與平均運(yùn)動速度的差值為u′p=up(t)-，則速度的自協(xié)方差為［11-12］：

拉格朗日積分時(shí)間尺度可表示為：

τL表示流速的可持續(xù)性，如式（7）收斂，說明τL的值有限，則顆粒運(yùn)動符合菲克擴(kuò)散定律，且擴(kuò)散規(guī)律滿足下式：

當(dāng)式（7）不收斂則表明顆粒運(yùn)動表現(xiàn)為超擴(kuò)散現(xiàn)象。

圖7為按粒徑分組的顆粒自相關(guān)系數(shù)隨時(shí)間間隔的變化，可以看到，大多數(shù)顆粒運(yùn)動的自相關(guān)系數(shù)均隨時(shí)間呈衰減趨勢，有部分顆粒在衰減過程中出現(xiàn)波動現(xiàn)象。與均勻沙成果相比，非均勻沙自相關(guān)系數(shù)衰減速率減緩，如在Furbish［2］、Fathel［11-12］的均勻沙試驗(yàn)中，顆粒運(yùn)動x方向自相關(guān)系數(shù)在0.1～0.15 s左右衰減至接近0，y方向在0.1 s左右衰減至接近0。在本文非均勻沙試驗(yàn)中，衰減的時(shí)間間隔較長，衰減速率減緩，在時(shí)間間隔0.4 s左右時(shí)自相關(guān)系數(shù)還有0.2～0.3左右，且存在較為明顯的波動現(xiàn)象。此外，粗化床面條件下x方向與y方向自相關(guān)系數(shù)隨時(shí)間變化規(guī)律基本相同，如圖7所示。

圖7 按粒徑分組的顆粒自相關(guān)系數(shù)隨時(shí)間間隔的變化（圖中：x表示水流方向，y表示橫向方向）

3.3 非均勻沙擴(kuò)散現(xiàn)象討論 以上試驗(yàn)結(jié)果分析表明，粗化床面運(yùn)動顆粒與均勻沙平整床面存在一定差異。對于均勻沙而言，顆粒大小均勻，在床面平整條件下，在水流作用下不同部位的泥沙顆粒被水流挾帶的概率相等；假定被挾帶走的顆粒為少量，挾帶走的泥沙顆粒不會改變其他泥沙顆粒的受力條件；也就是說在平整床面均勻沙條件下，各顆粒受力條件類似，顆粒運(yùn)動的狀態(tài)基本不受其他顆粒的影響，床面當(dāng)前的狀態(tài)與歷史無關(guān)，滿足馬爾科夫過程假定。而對于非均勻沙粗化床面，泥沙顆粒在水流作用下往往會形成不同的結(jié)構(gòu)，粗化后的床面各處的結(jié)構(gòu)不盡相同，當(dāng)有泥沙顆粒被水流沖走，則該泥沙顆?？赡軙淖儺?dāng)前的床面粗化結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)而改變底部水流邊界條件，反過來可能會對泥沙顆粒運(yùn)動造成影響。

從床面隨時(shí)間發(fā)展變化過程來看，均勻沙平整床面不同時(shí)刻均表現(xiàn)為平整形態(tài)，隨時(shí)間變化不大。而對于粗化床面，某一時(shí)刻泥沙顆粒的沖離或停止有可能改變床面結(jié)構(gòu)，造成粗化床面形態(tài)隨時(shí)間發(fā)生變化，進(jìn)而對后來的泥沙顆粒運(yùn)動造成影響。因此，粗化床面條件下泥沙顆粒運(yùn)動可能會對后續(xù)泥沙顆粒運(yùn)動造成影響，表明泥沙顆粒的未來運(yùn)動狀態(tài)不僅與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，也可能與顆粒運(yùn)動的歷史有關(guān)，非均勻沙床面泥沙運(yùn)動可能難以滿足馬爾科夫過程所要求的無后效假定條件。

床面附近為水流紊動發(fā)展最為強(qiáng)烈的區(qū)域，也是流速梯度變化最大的區(qū)域。本文試驗(yàn)條件下，最大顆粒約20 mm，顆粒頂部床面與顆粒底部床面高差最大可達(dá)20 mm，位于頂部的水流流速遠(yuǎn)大于底部床面，同時(shí)各粗化結(jié)構(gòu)體下游往往會形成較為強(qiáng)烈的尾流，從而形成遠(yuǎn)比平整床面復(fù)雜的底部水流條件。另一方面，推移質(zhì)顆粒在跳躍運(yùn)動過程中，運(yùn)動速度與當(dāng)?shù)厮髁魉俨⒉煌耆恢?，因而顆粒在運(yùn)動過程中會不斷與水流進(jìn)行著動量交換。均勻沙平整床面與非均勻粗化沙床面兩種底部邊界條件所形成的不同的水流條件，必然會造成顆粒與水流動量交換強(qiáng)度的不同。

布朗運(yùn)動彈道擴(kuò)散是指顆粒在液體分子與其兩次碰撞之前的真空期，顆粒在此期間為不受任何作用力，僅在慣性作用下做自由運(yùn)動，符合彈道擴(kuò)散［23］；Fathel等［11-12］試驗(yàn)中均勻沙顆粒的“類彈道”運(yùn)動，一方面可能是在小時(shí)間尺度下慣性占優(yōu)，水流對顆粒的作用不明顯，另一方面是由于泥沙顆粒運(yùn)動速度較小，水流與泥沙顆粒動量交換不夠充分。

圖8為本文拍攝范圍內(nèi)實(shí)際床面，由圖8可知，在非均勻沙粗化床面上存在著大量大小不一的粗化結(jié)構(gòu)體，這些結(jié)構(gòu)體會對局部水流運(yùn)動造成一定影響，其中突起的結(jié)構(gòu)體對水流和泥沙運(yùn)動造成阻礙，形成減速作用；相互交錯的結(jié)構(gòu)在床面上可形成獨(dú)立“通道”，泥沙顆粒在通過這些“通道”可能被加速，加速與減速同時(shí)存在，使粗化床面條件下的泥沙顆粒運(yùn)動更易出現(xiàn)反常擴(kuò)散現(xiàn)象［24］。圖8中繪制了本文獲取的所有顆粒的運(yùn)動軌跡，可以清楚的看到幾乎所有的顆粒均沿著幾個(gè)相對固定的“通道”運(yùn)動，僅有少部分顆?？梢詳[脫“通道”的束縛，從粗化結(jié)構(gòu)頂部跳躍而過。粗化床面上這種“通道”使泥沙顆粒運(yùn)動不再是單一的x方向，而是隨著通道內(nèi)的水流運(yùn)動方向運(yùn)動，當(dāng)顆粒剛好從與x方向具有一定夾角的通道內(nèi)運(yùn)動時(shí)，則會出現(xiàn)y方向具有類似于x方向的運(yùn)動特征?；谠囼?yàn)結(jié)果和上述分析可知，粗化床面顆粒運(yùn)動與天然河道觀測到的反常擴(kuò)散更為接近［8］，不符合均勻沙床面的“類彈道”擴(kuò)散特性［2，11-12］。

圖8 顆粒運(yùn)動軌跡示意

4 結(jié)論與展望

推移質(zhì)顆粒隨機(jī)運(yùn)動和擴(kuò)散特性研究對于深入把握推移質(zhì)規(guī)律，準(zhǔn)確模擬推移質(zhì)運(yùn)動具有重要理論意義和實(shí)用價(jià)值，現(xiàn)階段關(guān)于推移質(zhì)顆粒擴(kuò)散特性還存在一定分歧。已有研究多基于泥沙顆粒運(yùn)動強(qiáng)度較小、床面處于大致平整階段的均勻沙試驗(yàn)，雖有助于加深對不同條件下水沙相互作用機(jī)理的認(rèn)識，但與天然河流存在較大差異。本文在大型水槽中開展了非均勻沙推移質(zhì)試驗(yàn)，測量了粗化床面條件下的泥沙顆粒運(yùn)動特性，以顆粒運(yùn)動均方位移和自相關(guān)系數(shù)為參數(shù)，分析了粗化床面與平整均勻沙床面之間存在的差異，得到以下幾點(diǎn)認(rèn)識：

（1）粗化床面上的結(jié)構(gòu)體改變了底部水流邊界條件，對推移質(zhì)泥沙運(yùn)動造成較大影響，顆粒運(yùn)動與擴(kuò)散特性與均勻沙床面均存在一定差異。

（2）粗化床面上的非均勻沙在小時(shí)間尺度上未表現(xiàn)出均勻沙試驗(yàn)的“類彈道”擴(kuò)散特性，受粗化結(jié)構(gòu)影響，部分顆粒y方向運(yùn)動強(qiáng)度與x方向運(yùn)動強(qiáng)度在一個(gè)量級，甚至超過x方向運(yùn)動。

（3）與均勻沙研究成果相比，非均勻沙兩個(gè)方向的運(yùn)動速度自相關(guān)系數(shù)衰減趨勢變緩，衰減至零的時(shí)間由均勻沙的0.15 s變?yōu)榉蔷鶆蛏车拇笥?.4 s，部分顆粒自相關(guān)系數(shù)存在一定波動，表明非均勻沙粗化床面條件下顆粒運(yùn)動的記憶效應(yīng)大于均勻沙平整床面。

（4）受粗化結(jié)構(gòu)體影響，非均勻沙底部水流條件遠(yuǎn)比均勻沙平整床面復(fù)雜，泥沙顆粒在運(yùn)動過程中與水流之間的動量交換強(qiáng)度與均勻沙存在差異，表現(xiàn)為顆粒運(yùn)動擴(kuò)散特征存在著較明顯的反常擴(kuò)散現(xiàn)象。

本文以高速攝像機(jī)拍攝的泥沙顆粒運(yùn)動信息，分析了粗化床面條件下的泥沙顆粒擴(kuò)散特性，并與均有沙床面試驗(yàn)進(jìn)行對比。受試驗(yàn)和數(shù)據(jù)處理技術(shù)所限，本文分析所基于的拍攝時(shí)段較短，所獲顆粒信息較少，未來隨著圖像處理技術(shù)發(fā)展，可對更長時(shí)間、更多顆粒運(yùn)動進(jìn)行分析。此外，本文僅從平面上識別了粗化床面所形成的二維“通道”，未來可基于數(shù)字圖像處理技術(shù)獲取粗化床面三維形態(tài)［25］，并將顆粒運(yùn)動特性與床面三維形態(tài)相結(jié)合進(jìn)行分析，進(jìn)一步解析粗化床面對顆粒運(yùn)動的定量影響。