泥沙顆粒床面暴露度的理論分析及應用

張 磊，韓其為

（中國水利水電科學研究院 流域水循環(huán)模擬與調控國家重點實驗室， 北京 100048）

1 研究背景

泥沙顆粒在床面上的位置是影響泥沙運動的重要因素之一，在理論上如何給出合理的數(shù)學描述是學者們一直關注的核心問題。早在1950年Einstein在研究非均勻沙推移質輸沙率時已引入表征隱蔽度的參數(shù)—隱蔽系數(shù)［1］，事實上已經反映了泥沙顆粒在床面上的位置對非均勻沙推移質運動的影響。后續(xù)隨著研究的深入開展，韓其為等［2］提出了暴露度Δ的概念，其含義為從起動顆粒最低位置至與下游顆粒接觸點之間的高差。暴露度與隱蔽度相比，雖然表示的含義相似，但暴露度更關注的是床面顆粒位置對泥沙起動及輸移的影響。基于韓其為提出的暴露度概念，后續(xù)學者進一步分析了暴露度的分布形式，并將其引入到泥沙起動的分析中。近年來，楊文俊等［3-5］將泥沙顆粒從二維圓餅擴展到三維球體，提出了三維泥沙顆粒相對隱蔽度的概念和理論表達式；李林林等［6-7］分析了三維球體暴露度的分布規(guī)律；陳家萱等［8］和白玉川等［9］則是將垂向暴露度擴展到縱向暴露度，分析了雙向暴露度對泥沙起動的影響。

此外，學者們聚焦于暴露度對非均勻沙起動流速的影響上［10-17］，其中，Egiazaroff［13］、秦榮昱和王崇浩［14］、陳媛兒和謝鑒衡［15］等學者通過床面不同粒徑受水流的作用點高低不一致來反映流速的大小，同時采用隱蔽系數(shù)進行修正，但該種方法多數(shù)需要通過實驗資料反算各種修正系數(shù)，帶有一定的經驗性；王濤等［16］、聶銳華等［17］通過引入等效粒徑的概念對非均勻沙的起動進行了簡化，其物理概念較明確，但其理論性有待商榷；冷魁和王明甫［18］以及孫志林和祝永康［19］等學者強調了不同粒徑暴露度差別對泥沙起動的影響，建立了不同暴露度與起動流速的對應關系?？傮w來看，近年來對暴露度的研究取得了一定的進展，但在理論上的嚴謹性和系統(tǒng)性有待提高。另外，目前研究焦點只集中在床面泥沙起動上，對于暴露度對滾動、跳躍甚至推移質輸沙率的影響涉及較少，需要對此開展系統(tǒng)研究。

本研究針對非均勻沙，提出了一個新的暴露度表達式，建立了暴露度與泥沙粒徑的函數(shù)關系。在此基礎上，分析了暴露度對非均勻沙滾動、跳躍運動參數(shù)以及推移質輸沙率的影響。通過大量的實測資料對比分析，充分驗證了公式的合理性，對暴露度對泥沙運動的影響機理形成了系統(tǒng)和深刻的認識。本文研究成果也是泥沙運動隨機統(tǒng)計理論［20］的重要組成部分。

2 暴露度的理論表達式

韓其為和何明民在1965年于四川五通橋茫溪河野外水槽試驗［21］中提出了暴露度的概念，但在應用中，相對暴露度Δ′更為方便，其定義為暴露度與床面泥沙粒徑的比值，即

對于均勻沙，床面位置Δ′的分布在初步近似下可取為均勻分布，即其分布函數(shù)為［1］

式中：Δ′m為Δ′的最小值，對于均勻顆粒，其下三個顆粒緊密排列時Δ′m=0.134。對于非均勻沙，其分布情況較為復雜，近似地將其分為粗中細沙三個不同區(qū)間，分別給出了暴露度的表達式，即點分布和均勻分布［2］。

通過上述簡單的公式形式建立起了非均勻沙暴露度與粒徑之間的函數(shù)關系。但由于目前沒有暴露度的直接觀測數(shù)據(jù)，后續(xù)將通過推移質運動參數(shù)以及推移質輸沙率等應用間接證明公式的合理性。

3 泥沙顆粒運動參數(shù)的計算

泥沙顆粒的運動具有隨機性，它受水流底速Vb、床面位置Δ′以及粒徑D等因素的影響。因此，在計算滾動與跳躍運動參數(shù)的期望值時，需要對上述參數(shù)進行積分，對于床面位置的影響，依據(jù)式（3）開展計算。

3.1 滾動運動參數(shù) 顆粒在床面的滾動是異常復雜的，為了能夠探索其運動機理，需要將滾動過程進行簡化，滾動形式簡化為半接觸滾動，即滾動速度較高，前半部與床面接觸，后半部則顆?？梢悦撾x床面運動，豎向位移較小，可忽略。針對均衡滾動（即起點速度與落地終點速度相等），通過力學分析和求解，得到滾動顆粒運動速度的理論表達式為

圖1 滾動運動時間與平均運動速度隨Vb/ω0的變化

3.2 躍移運動參數(shù) 顆粒躍移運動可分為三個階段，即顆粒由零上升至一個粒徑D的高度、顆粒由一個粒徑高度位置上升至最大高度和顆粒由最大高度下降至床面。在均衡躍移條件下，即顆粒跳躍的落地速度u3.x.3、u3.y.3與顆粒因碰撞而起躍前在床面的速度相等，這樣可以推導出顆粒與床面碰撞后躍移的初始速度為

式中：u3.x為縱向速度；t3為躍移時間；u3.y.D為顆粒運動到一個粒徑高的垂向速度；V1為由靜起跳的臨界速度。將顆粒容重γs、水流容重γ以及上述常數(shù)代入，并在給定的Δ′、條件下，即可進行迭代計算。為了與胡春宏等［22］的實測資料進行對比，分別計算了顆粒容重為1.043和2.65兩種情況下的躍移距離和躍移高度，對比結果如圖2和圖3所示。其中底部作用流速Vf的計算表達式為：

圖2 平均跳躍距離試驗與理論的對比

圖3 平均跳躍高度試驗與理論的對比

3.3 推移質輸沙率 圍繞交換強度這一核心概念，嚴格推導了床面顆粒靜止、滾動、跳躍、懸浮之間的轉移強度，構建了轉移概率矩陣，針對弱平衡和強平衡條件，可以得到不同的推移質輸沙率公式。為了簡化計算，主要對強平衡條件下的泥沙交換進行了計算。所謂強平衡，即由狀態(tài)i轉至狀態(tài)j的強度（顆數(shù)）恰等于由該狀態(tài)轉來的強度（顆數(shù)），因此，根據(jù)床沙轉為滾動的顆數(shù)與由滾動轉為床沙的顆數(shù)相等，可以得到滾動輸沙率的大小，即

式中：m0表示單顆泥沙的重量；P1.l為床面泥沙靜止概率；Dl為非均勻沙時的分組粒徑； μ2.l為顆粒滾動單步距離的倒數(shù)；t2.0.l為滾動時間，根據(jù)3.1節(jié)中的公式予以確定；ε0.l、ε1.l、ε2.0.l、ε4.l和βl為基本概率，分別表示不止動概率、起動概率、起跳概率、懸浮概率和起懸概率。類似地，針對躍移運動，根據(jù)床沙轉為躍移的顆數(shù)與由躍移轉為床沙的顆數(shù)相等，可以求得躍移輸沙率：

式中：μ3.l為顆粒躍移單步距離x～3的倒數(shù)；t3.0.l為起跳時間，根據(jù)3.2節(jié)中的公式予以確定。式（15）和式（16）相加即為推移質輸沙率，即

其中床面泥沙暴露度的影響包涵在公式中各個參數(shù)的確定過程中。為了驗證公式的正確性，收集了大量的均勻沙和非均勻沙水槽試驗數(shù)據(jù)，其中均勻沙的計算結果利用新廠站和襄陽站的實測資料進行了對比分析，如圖4所示。從圖中可以看出，兩個測站的實測值均勻分布在理論曲線兩側，二者符合的較好，平均相對誤差為-59.95%，對于推移質輸沙率計算來說，該計算精度是可以接受的。

圖4 新廠站和襄陽站推移質輸沙率資料與理論結果的對比

圖5 Samaga實驗資料與理論值的對比匯總結果

在分組輸沙率驗證的基礎上，進一步計算了非均勻沙總輸沙率的大小。無量綱化的總輸沙率表達式為

圖6 Samaga不同中值粒徑條件下非均勻沙總輸沙率實測資料與理論值的對比

4 結論

床面泥沙暴露度是影響泥沙運動和輸移的重要因素之一，本文圍繞暴露度這一核心概念開展了系統(tǒng)的研究，得到結論如下：

（1）在已有成果的基礎上，提出了一個新的非均勻沙床面暴露度計算公式，針對粗中細沙，分別建立了暴露度與泥沙粒徑之間的函數(shù)關系，公式形式較為簡單，便于在計算中應用。

（2）在公式提出的基礎上，計算了單顆粒運動包括滾動和躍移運動參數(shù)的變化規(guī)律。結果表明，考慮了相對暴露度影響的滾動時間隨著水流流速的增大，呈現(xiàn)先減小后略微增大的變化趨勢；而平均滾動速度則是先增加后減小。針對躍移運動，利用躍移高度和躍移距離的實測數(shù)據(jù)對計算值進行了驗證，二者基本符合良好。

（3）推導了滾動輸沙率和躍移輸沙率公式，進而得到了推移質輸沙率公式。利用新廠站和襄陽站的實測資料，對均勻沙公式進行了驗證，計算的平均相對誤差為-59.95%，誤差在可接受范圍內；利用Samaga非均勻沙的實測資料，對非均勻沙分組輸沙率和總輸沙率均進行了驗證，結果表明，分組輸沙率計算值與實測值相吻合，總輸沙率的計算值比實測值略微偏小，平均相對誤差為-78.85%，這在推移質輸沙率計算中也是可以接受的。