基于永磁體磁場的數(shù)值計(jì)算與仿真分析研究

蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院 楊祿權(quán) 孫子陽 周志奇

引言

隨著新的永磁材料的應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大，人們對永磁體磁場的探討更加關(guān)注。目前,對永磁材料磁場分布的研究方法有理論研究和實(shí)驗(yàn)研究。茍曉凡等人[1]根據(jù)分子環(huán)流模型和畢奧-薩伐爾定理,對僅在一個(gè)方向均勻、完全充磁的矩形永磁體,導(dǎo)出了一塊及多塊磁體按極性相反并列放置時(shí)的磁場解析表達(dá)式。李鑫等人[2]根據(jù)等效電流模型得出了永磁體位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的磁場分布。然而由理論研究方法所求得的結(jié)果往往缺少試驗(yàn)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，因此結(jié)果的正確性難以得到驗(yàn)證。宋浩等人[3]運(yùn)用實(shí)驗(yàn)和COMSOL（“靜磁場，無電流”的應(yīng)用模式）模擬給出了相對放置的永磁條、具有磁回路結(jié)構(gòu)的磁軛磁極、環(huán)形磁體的磁場分布。馬俊等人[4]運(yùn)用實(shí)驗(yàn)方法研究了不同輔助永磁體厚度的磁場分布。在理論研究中，常采用數(shù)值計(jì)算法和有限元法來計(jì)算永磁體的磁場強(qiáng)度，因此對于數(shù)值計(jì)算和有限元方法的研究是非常有必要的。

本文根據(jù)等效電流模型及安培分子環(huán)流定律，運(yùn)用基于剩余磁通密度Br的Comsol multiphysics軟件與基于面電流密度Js的Fortran程序分別研究了圓柱形永磁體與矩形永磁體的磁場分布，對比分析了永磁體剩余磁通密度Br與面電流密度Js的優(yōu)越性。

1 永磁體模型的建立

1.1 Fortran計(jì)算原理

假設(shè)永磁體內(nèi)部分布著密度為J的分子電流，外部分布著密度為Js的表面電流。如果磁介質(zhì)整體勻稱，則由同一性可知，在磁介質(zhì)內(nèi)的任意位置都存在著兩個(gè)相鄰的分子環(huán)流，由于它們擁有等大反向的電流，所以其磁場相互抵消，但截面邊界處的分子電流不被抵消。因此，磁體上所有分子環(huán)流可等效為沿截面邊界的環(huán)形電流，而無體電流。

根據(jù)安培分子環(huán)流定律可知：將永磁體視為無數(shù)個(gè)電流環(huán)組成，則空間任一點(diǎn)的磁場可認(rèn)為是各個(gè)電流環(huán)分別在該點(diǎn)產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度的疊加。建立柱坐標(biāo)系（P，ф，Z），其簡單模型如圖1所示：

其中，dBx、dBy、dBz是電流環(huán)在P（x,y,z）處產(chǎn)生的磁場分別在x、y和z方向的分量。

根據(jù)畢奧-薩伐爾定律：

這里μ0=4π×10-7牛頓/安培2，為真空磁導(dǎo)率。

則永磁體對空間任一點(diǎn)P（x,y,z）產(chǎn)生的磁場為：

其中，h為永磁體的高度。

已知永磁體的磁場計(jì)算公式，可以采用精度較高且較常用的Simpson積分法進(jìn)行求解。在Fortran的積分命令流中，通過重復(fù)調(diào)用Simpson積分命令來實(shí)現(xiàn)磁場的計(jì)算。則采用復(fù)化Simpson求積公式計(jì)算定積分：

將區(qū)間［a,b］逐次分半，令

則復(fù)化Simpson求積公式為：

在計(jì)算二重積分時(shí)，數(shù)值積分的處理辦法為：

根據(jù)永磁體的磁場公式以及Simpson積分法編制Fortran程序求解永磁體的磁場強(qiáng)度。其中，積分精度為10-6，積分子程序允許的最大步數(shù)為20。

1.2 Comsol multiphysics計(jì)算原理

Comsol multiphysics軟件是一款專業(yè)的有限元數(shù)值分析軟件，在仿真永磁體的磁場強(qiáng)度時(shí)，通過Comsol multiphysics軟件的AC/DC模塊下的“磁場，無電流”物理場求解。外部環(huán)境設(shè)定為：溫度T=293.15K，絕對壓強(qiáng)Pa=Iatm，由于靜磁場中沒有電流的存在，因此可以使用標(biāo)量磁勢的方法來解決。由公式H=-△Vm和△*B=0就可以求出磁鐵周圍的磁場分布。

由上述Fortran的計(jì)算原理可知，若已知永磁體的等效電流密度J8，則永磁體的剩余磁通密度為：

其中，Br為剩余磁通密度，真空磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7，為面電流密度。

則剩余磁通密度與磁場之間的本構(gòu)關(guān)系為：

2 結(jié)果討論與分析

根據(jù)上述永磁體的磁場計(jì)算原理，運(yùn)用Fortran程序和Comsol multiphysics軟件分別計(jì)算圓柱形永磁體和矩形永磁體的磁場強(qiáng)度，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果作對比，分析討論基于兩種不同軟件計(jì)算永磁體的磁場強(qiáng)度時(shí)，永磁體的剩余磁通密度和面電流密度的優(yōu)越性。

2.1 基于圓柱形永磁體的結(jié)果分析

首先，我們采用In-Gann Chen et al.(1992)實(shí)驗(yàn)[5]中圓柱形永磁體的參數(shù)：RPM=9.525mm，HPM=6.35mm，JS=7820A/cm進(jìn)行數(shù)值模擬與仿真計(jì)算，得到永磁體表面（霍爾探頭距永磁體表面的最小距離為1mm）橫向磁場Bz的空間分布。

圖2 永磁體橫向磁場分布圖

圖3 圓柱形永磁體磁場強(qiáng)度空間體箭頭

圖2 為圓柱形永磁體橫向磁場分布，可以看出：圓柱形永磁體磁場的模擬結(jié)果、仿真結(jié)果及實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合很好，表明計(jì)算程序以及Comsol multiphysics軟件仿真計(jì)算的可靠性。圖3為圓柱形永磁體的磁場強(qiáng)度空間體箭頭分布，可以看出：磁感應(yīng)線從圓柱形永磁體的N極出發(fā)閉合回到S極，不僅證明了磁通連續(xù)性原理也充分驗(yàn)證了等效電流模型計(jì)算的正確性。

將計(jì)算結(jié)果與In-Gann Chen et al.(1992)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)作對比，其對比數(shù)據(jù)如下表1所示：

表1 圓柱形永磁體表面橫向磁場

表1 為圓柱形永磁體的橫向磁場的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別與模擬結(jié)果和仿真結(jié)果對比分析表，從中可知：模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差很小，平均相對誤差為2.30%；仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差也很小，平均相對誤差為2.77%。但是仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差平均值較大于模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差平均值。

2.2 基于矩形永磁體的結(jié)果分析

這里，我們采用劉宏娟[6]論文里的實(shí)驗(yàn)中矩形永磁體的參數(shù)：長度a=50mm，寬度b=10mm，高度h=5mm，面電流密度Js=4πk（其中k=49677.11A/m）進(jìn)行數(shù)值模擬與仿真計(jì)算，得到永磁體表面（距永磁體表面60mm）中心部位的橫向磁場Hz隨寬度的空間分布，將模擬結(jié)果與仿真結(jié)果與劉宏娟論文里的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作對比，其對比數(shù)據(jù)如下表2所示：

表2 矩形永磁體表面橫向磁場

表2 為矩形永磁體的橫向磁場的實(shí)驗(yàn)結(jié)果分別與模擬結(jié)果和仿真結(jié)果的對比分析表，從中可知：模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差很小，平均相對誤差為-3.57%；仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差也很小，平均相對誤差為5.17%。但是仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差平均值較大于模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差平均值。

3 結(jié)論

本文基于Fortarn程序和Comsol multiphysics軟件分別探討了圓柱形永磁體與矩形永磁體的橫向磁場分布，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果作對比，通過分析兩種模型的模擬結(jié)果和仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的相對誤差，討論了永磁體剩余磁通密度Br與面電流密度Js的優(yōu)越性。結(jié)論如下：

（1）本文首先給出了Fortran程序與Comsol multiphysics軟件計(jì)算的兩種永磁體磁場強(qiáng)度的計(jì)算方法，并給出了兩種方法之間的聯(lián)系。

（2）基于永磁體面電流密度Js的磁場強(qiáng)度的模擬結(jié)果的相對誤差小于基于永磁體剩余磁通密度Br的磁場強(qiáng)度的相對誤差，表明永磁體基于面電流密度Js的磁場強(qiáng)度比基于剩余磁通密度的磁場強(qiáng)度更可靠。