基于混合變量規(guī)劃的雷達(dá)最優(yōu)搜索方法

陶 慶，張勁東，邱旦峰

(南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京 210016)

0 引言

對遠(yuǎn)距離目標(biāo)進(jìn)行空中防御時，為捕獲目標(biāo)，雷達(dá)需要長時間處于開機(jī)狀態(tài)，這樣無異于會增加雷達(dá)暴露的幾率。為了避免該情況發(fā)生，在實際作戰(zhàn)時，一般都是由預(yù)警機(jī)協(xié)同作戰(zhàn)，對空域進(jìn)行預(yù)搜索。在目標(biāo)達(dá)到地面雷達(dá)搜索范圍時打開雷達(dá)，并根據(jù)預(yù)警機(jī)所提供的引導(dǎo)信息進(jìn)行小范圍的搜索，以實現(xiàn)目標(biāo)的快速捕獲[1]。因此，如何有效地利用引導(dǎo)信息來提高相控陣?yán)走_(dá)的搜索效率成為了研究的關(guān)鍵。

就目前而言，關(guān)于相控陣?yán)走_(dá)搜索這一研究方向已經(jīng)有許多研究成果。文獻(xiàn)[2]基于近空高超音速目標(biāo)防御的背景，根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)確定最短的跨屏距離和最少的雷達(dá)掃描次數(shù)。對于有預(yù)警信息的小范圍引導(dǎo)搜索，文獻(xiàn)[3]分別在單目標(biāo)和多目標(biāo)情況下建立目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時間模型，通過合理地分配波束的照射時間來優(yōu)化搜索性能。以上研究皆沒有考慮搜索過程中波位照射順序?qū)走_(dá)搜索性能的影響。對此，文獻(xiàn)[4]通過將全局信息增益最大的波位作為下一時刻雷達(dá)需要搜索的波位來確定搜索順序，降低虛警概率對雷達(dá)搜索效率的影響的同時提高雷達(dá)搜索檢測性能，但因其計算量較大導(dǎo)致耗時過多且每個波位駐留時間是均勻分配的。

本文結(jié)合以上研究工作，同時對波位的搜索順序以及各波位上雷達(dá)的波束駐留時間進(jìn)行優(yōu)化，使得雷達(dá)搜索效率最大化。將目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時間作為評判雷達(dá)搜索性能的標(biāo)準(zhǔn)，以各個波位的駐留時間為連續(xù)變量，結(jié)合整數(shù)規(guī)劃的思想，將搜索順序表示為離散變量，建立搜索資源最優(yōu)分配模型，并采用拉格朗日乘子法對該混合規(guī)劃模型求解。仿真結(jié)果表明，本文方法不僅能保證高搜索效率，還能同時得到各波位的最優(yōu)搜索數(shù)據(jù)率以及搜索順序。

1 引導(dǎo)信息下的搜索模型

1.1 搜索區(qū)域模型

對于協(xié)同作戰(zhàn)來說，預(yù)警機(jī)先進(jìn)行大空域搜索，發(fā)現(xiàn)目標(biāo)后向雷達(dá)提供目標(biāo)的位置信息，此時相控陣?yán)走_(dá)可根據(jù)預(yù)警機(jī)提供的引導(dǎo)信息在小范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，從而較快地檢測出目標(biāo)。但是預(yù)警機(jī)所提供的信息一般都會伴隨著隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差。在此假定引導(dǎo)信息的誤差統(tǒng)計特性已知，假設(shè)預(yù)警機(jī)所提供的目標(biāo)方位及俯仰向的位置信息為(θEp,θAp)，目標(biāo)的真實位置信息為(θE0,θA0)，則可得到

(θE0,θA0)=(θEp,θAp)+(εE,εA)

(1)

式中，(εE,εA)表示引導(dǎo)信息的誤差，假設(shè)其滿足f(εE,εA)二維聯(lián)合分布。通常情況下，引導(dǎo)信息下的搜索區(qū)域的確定要遵守一定的原則，即該區(qū)域不可過小，搜索區(qū)域太小會導(dǎo)致該區(qū)域中并無目標(biāo)，亦不可過大，太大會浪費(fèi)雷達(dá)資源在無目標(biāo)的區(qū)域，導(dǎo)致引導(dǎo)信息失去意義。因此引入目標(biāo)出現(xiàn)置信度ι，其定義為目標(biāo)出現(xiàn)在搜索區(qū)域Ω中的概率，即[4]

(2)

需要注意的是，搜索區(qū)域確定時需要使得方位向與俯仰向的范圍相當(dāng)，以避免出現(xiàn)其中一個方向范圍過大而另一個方向過小的情況?？紤]到置信度法求解搜索區(qū)域時計算過于復(fù)雜，在此選用置信度法的一個特例，3倍均方差法來簡化求解搜索空域。根據(jù)概率論內(nèi)容，假設(shè)變量x以及均方差σ服從高斯分布，則有

P(|x|<3σ)=99.7%

(3)

因此，根據(jù)預(yù)警信息所給的位置，對方位以及俯仰向前后各取3倍均方差的距離構(gòu)成一個正方形區(qū)域，取該正方形的外接圓作為搜索區(qū)域即可保證目標(biāo)落入此區(qū)域的概率足夠大。

1.2 目標(biāo)出現(xiàn)概率模型

在通過3倍均方差法確定最佳的搜索區(qū)域之后，需要根據(jù)雷達(dá)的波束寬度，在搜索區(qū)域內(nèi)進(jìn)行合理的編排。由于雷達(dá)波束在球面坐標(biāo)系中存在波束展寬效應(yīng)[5]，而這一現(xiàn)象在正弦坐標(biāo)系下不復(fù)存在，因此需要進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，將搜索區(qū)域以及雷達(dá)波束由雷達(dá)球面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成正弦坐標(biāo)系來進(jìn)行波位編排。對于雷達(dá)球面坐標(biāo)系中一點(diǎn)(E,A)轉(zhuǎn)換到正弦坐標(biāo)系下坐標(biāo)(α,β)，其轉(zhuǎn)換公式為

(4)

式中,T為雷達(dá)陣面傾角。

為了使波位可以盡可能地覆蓋搜索區(qū)域且不會造成因波位重疊而導(dǎo)致的資源浪費(fèi)。本文選擇交錯波束編排方式來對搜索空域進(jìn)行編排[6]。假設(shè)編排后的總波位數(shù)為N，Ωk表示為第k號波位。想要獲得波位的出現(xiàn)概率pk就需要在每個波位范圍內(nèi)對引導(dǎo)誤差概率密度分布函數(shù)f(εE,εA)進(jìn)行積分，同時忽略波束內(nèi)部的差別。這樣一來會對目標(biāo)出現(xiàn)概率的計算帶來一定的誤差，并且計算過程相對復(fù)雜。因此本文采取統(tǒng)計方法來計算各波位中目標(biāo)出現(xiàn)的概率。計算過程如下：

步驟1： 在雷達(dá)球面坐標(biāo)系下，隨機(jī)產(chǎn)生Q個服從二維誤差分布f(εE,εA)的目標(biāo)。

步驟2： 將Q個目標(biāo)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到正弦坐標(biāo)系中，對于編排好的波位，記Qk(k=1,2,…,N)為落在第k號波位內(nèi)的目標(biāo)數(shù)。

當(dāng)Q的取值越大，通過上述過程所得到的目標(biāo)出現(xiàn)概率越接近于真實值。至此即可得到引導(dǎo)信息下的搜索空域確定以及各波位的目標(biāo)出現(xiàn)概率。波位編排具體流程如圖1所示。

圖1 波位編排流程圖

2 引導(dǎo)信息下雷達(dá)最優(yōu)所搜算法

2.1 目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時間模型

對于傳統(tǒng)的搜索方式，雷達(dá)一般將資源平均分配給每個波位進(jìn)行照射，這樣就會導(dǎo)致部分資源會浪費(fèi)在目標(biāo)出現(xiàn)可能性低的波位中，以至于發(fā)現(xiàn)目標(biāo)所用的時間較長。對此，就需要將資源合理地分配給每一個波位，從而縮短目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)的時間。

假設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)在第k號波位上，此時可得雷達(dá)對目標(biāo)的平均發(fā)現(xiàn)時間[7]為

(5)

式中，tk為雷達(dá)在第k號波位上的駐留時間，Tpri為脈沖重復(fù)周期，Tr表示搜索幀周期。此時總的平均搜索時間可以表示為

(6)

Pdk表示第k號波位上的檢測概率。假設(shè)目標(biāo)為Swerling Ι型且虛警概率為Pfa，此時Pdk可由下式計算得到：

(7)

式中,SNRk為第k號波位上的回波信噪比。假設(shè)雷達(dá)發(fā)射功率為Pt，根據(jù)雷達(dá)方程，雷達(dá)接收的回波功率可表示為

(8)

(9)

式中，k0為玻耳茲曼常數(shù)，B為發(fā)射信號的帶寬，F(xiàn)N為雷達(dá)接收機(jī)噪聲系數(shù)，T0為標(biāo)準(zhǔn)室溫。實際情況下，目標(biāo)一般都會自身攜帶干擾機(jī)或者借助支援式干擾機(jī)，向雷達(dá)施加干擾信號(本文以壓制干擾為例)，嚴(yán)重降低雷達(dá)接收端SNR，從而干擾雷達(dá)對目標(biāo)的檢測，達(dá)到自衛(wèi)的目的。本文以雷達(dá)接收SNR降低程度表示壓制干擾的強(qiáng)度，則可得到對應(yīng)壓制干擾條件下脈沖積累后的信噪比為

(10)

式中,Jk表示第k號波位受到的干擾強(qiáng)度。

2.2 基于混合變量規(guī)劃的雷達(dá)最優(yōu)搜索算法

通過上節(jié)所提模型可以求得各個波位的最優(yōu)駐留時間。但無法確定搜索空域下最優(yōu)的波位搜索順序。針對該問題，本文借用整數(shù)規(guī)劃的思想，引入搜索順序變量δk,j=1/0，分別表示第k號波位的搜索次序是否為j，其中k=1,2,…,N,j=1,2,…,N。為了更好地理解，我們隨機(jī)定義了一組搜索順序，以N=6為例，如表1所示。

表1 搜索順序變量分配

由表1可知，δ2,1=1可表示雷達(dá)對第2號波位第一個進(jìn)行照射，以此類推可得到其他波位照射順序的表示。并且可以發(fā)現(xiàn)表中的每一行有且僅有一個順序變量為1，每一列也有且僅有一個順序變量為1，這就可以分析得到順序變量δk,j的約束條件，即

(11)

(12)

將式(12)代入式(6)來替換其中的Tk，可得到總的包含搜索順序變量的目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時間：

(13)

綜上所述，雷達(dá)搜索順序可由效率矩陣和式(13)共同決定，可得到相控陣?yán)走_(dá)最優(yōu)搜索模型如下：

(14)

式中，δk,j為離散的整數(shù)變量,tk為連續(xù)變量，η為搜索過程占用總的雷達(dá)時間的比例，T_resourse為雷達(dá)總的時間資源。對于這種混合變量模型，本文引入NCP函數(shù)方法，將0-1離散變量經(jīng)過轉(zhuǎn)換變?yōu)榈葍r的非光滑方程，進(jìn)一步使用凝聚函數(shù)法對其進(jìn)行光滑化[9]。再使用連續(xù)變量的優(yōu)化方法對模型進(jìn)行求解。離散變量δk,j的轉(zhuǎn)化過程如下：

(15)

(16)

該優(yōu)化模型共有N2+2N+1個等式約束，在此令C1=Φ1,1，C2=Φ1,2,…,CN2=ΦN,N，CN2+1=u1, …，CN2+N=uN，CN2+N+1=v1，…，CN2+2N=vN，CN2+2N+1=?。即可把約束問題轉(zhuǎn)化為無約束的增廣拉格朗日乘子法來求解問題，得到增廣拉格朗日函數(shù):

(17)

表2 拉格朗日乘子法求解流程

3 計算機(jī)仿真試驗

為了體現(xiàn)本文算法的有效性，本節(jié)設(shè)計了兩種場景：其一為目標(biāo)的干擾落在搜索區(qū)域內(nèi)，這種情況下可將區(qū)域內(nèi)各波位受到的干擾強(qiáng)度等效為相等；其二為目標(biāo)的干擾落在搜索區(qū)域外，此時區(qū)域內(nèi)各波位受到的干擾強(qiáng)度由波位與干擾的相對位置決定。在不同的雷達(dá)時間資源下針對兩種場景比較本文所提算法與均勻順序搜索方法所得到的平均發(fā)現(xiàn)時間。

3.1 仿真參數(shù)

本次仿真以某一相控陣?yán)走_(dá)為例，雷達(dá)的系統(tǒng)參數(shù)如表3所示，雷達(dá)的陣面傾角T=15°，陣面法線指向的方位角為80°，雷達(dá)搜索波束的寬度為3°×3°，雷達(dá)的總的時間資源T_resourse=4 s，Tpri=0.001 s，搜索資源比例η=0.5，即總時間資源的一半用來搜索。目標(biāo)向雷達(dá)施加的干擾強(qiáng)度J=16 dB，在此假設(shè)兩個場景，場景一為目標(biāo)施加的干擾處于搜索區(qū)域內(nèi)部，場景二為目標(biāo)施加的干擾處于搜索區(qū)域外部，靠近搜索區(qū)域最左側(cè)。其分布如圖2所示。兩種場景下預(yù)警機(jī)向雷達(dá)提供的引導(dǎo)信息均為：目標(biāo)在雷達(dá)球坐標(biāo)系下的位置為(16°,24°)，目標(biāo)與雷達(dá)距離為50 km。引導(dǎo)信息的位置誤差為(εE,εA)，分別為方位向與俯仰向上相互獨(dú)立的零均值高斯白噪聲，誤差標(biāo)準(zhǔn)差均為2°。

表3 雷達(dá)系統(tǒng)仿真參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果分析

基于以上參數(shù)，首先要對搜索區(qū)域進(jìn)行確定，根據(jù)3倍均方差法可以確定出目標(biāo)落入置信度為99.7%的搜索區(qū)域，再將該區(qū)域轉(zhuǎn)換到正弦坐標(biāo)系中，采用常用的交錯編排方式在該區(qū)域中進(jìn)行波位編排并對波位進(jìn)行編號，結(jié)果如圖2所示。隨機(jī)產(chǎn)生1 000個服從二維誤差分布f(εE,εA)的目標(biāo)并將其轉(zhuǎn)化到正弦坐標(biāo)系如圖3所示，通過前文提到的統(tǒng)計法可以求得目標(biāo)在各個波位上的出現(xiàn)概率,如表4所示。

圖2 搜索區(qū)域與波位編排

圖3 隨機(jī)目標(biāo)在各波位的分布

表4 各波位的目標(biāo)出現(xiàn)概率

根據(jù)前面假設(shè)的兩種干擾場景，可以通過計算分別得到兩種場景下各個波位所受到的干擾強(qiáng)度，結(jié)果如圖4所示。在得到各波位的目標(biāo)出現(xiàn)概率之后，采用本文所提算法進(jìn)行優(yōu)化，分別在兩個場景下計算得到每個波位上的回波信噪比和最佳波束駐留時間以及最優(yōu)的波束照射順序如圖5、圖6和圖7所示。

圖4 兩種場景下各波位的干擾強(qiáng)度

圖5 兩種場景下兩種方法優(yōu)化后的SNR

圖6 場景1下的搜索資源分配與搜索順序

圖7 場景2下的搜索資源分配與搜索順序

對上述過程進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真實驗，計算得到場景1下目標(biāo)的平均發(fā)現(xiàn)時間為Topt_1=0.788 2 s，相對而言，通過順序搜索算法計算得到的平均發(fā)現(xiàn)時間Tave_1=1.088 5 s，場景2下兩種算法計算得到的平均發(fā)現(xiàn)時間結(jié)果分別為Tave_2=1.011 5 s，Topt_2=0.701 s，兩種場景下均勻搜索方法均大于最優(yōu)搜索算法優(yōu)化所得結(jié)果，體現(xiàn)了本文算法的有效性。

由圖5可知，由于場景1中各波位所受干擾強(qiáng)度相同，影響時間資源分配的因素主要為目標(biāo)出現(xiàn)概率，因此該場景下優(yōu)化后只有4號波位的SNR大于均勻順序搜索方法得到的SNR。而場景2中由于各波位受到干擾強(qiáng)度不同，各波位分配的時間資源由檢測概率和出現(xiàn)概率共同決定，因此場景2下本文算法優(yōu)化后大部分波位的SNR都大于均勻搜索方法。

通過對比圖6和圖7可知，場景2下3號波位所分配的時間資源占比相對于場景1有明顯提高，這是由于場景2中干擾位于3號波位左側(cè)導(dǎo)致搜索區(qū)域內(nèi)各波位受到干擾強(qiáng)度不均勻，結(jié)合圖4可知 3號波位受到的干擾強(qiáng)度相比于其他波位要大，為了對抗干擾，雷達(dá)對其所分配的時間資源也相對較多，體現(xiàn)了本文算法可針對不同場景對時間進(jìn)行動態(tài)分配。

為了更好地驗證本文算法所提供的高搜索效率，將針對兩種場景在不同的搜索資源比例下與傳統(tǒng)的順序搜索算法進(jìn)行對比試驗，結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8 場景1下兩種算法平均發(fā)現(xiàn)時間比較

圖9 場景2下兩種算法平均發(fā)現(xiàn)時間比較

由圖8和圖9可知，相比于傳統(tǒng)順序搜索方法，本文方法在兩個場景中的各個搜索資源比例下所得到的目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時間更小。此外，隨著搜索資源比例的提高，兩種方法計算得到的目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時間不斷減小，并且本文算法相對于傳統(tǒng)方法的優(yōu)化程度也隨之縮小。這也從側(cè)面說明在資源受限的情況下，本文所提算法的有效性更高。對比圖8和圖9可知，場景2下兩種方法所得到的平均發(fā)現(xiàn)時間要小于場景1，這是因為干擾位于搜索區(qū)域外，導(dǎo)致各波位的干擾強(qiáng)度要小于場景1中的情況。且在搜索資源比例較低的情況下，場景2中本文算法相較于均勻順序搜索算法，優(yōu)化效果比場景1要好。證明了本文算法對場景的變化具有較好的適應(yīng)性。

4 結(jié)束語

本文針對預(yù)警機(jī)引導(dǎo)信息下相控陣?yán)走_(dá)快速搜索問題，首先根據(jù)引導(dǎo)信息確定搜索區(qū)域以及波位編排，其次計算各個波位的目標(biāo)出現(xiàn)概率，最后以目標(biāo)平均發(fā)現(xiàn)時間為標(biāo)準(zhǔn)，提出了基于混合變量規(guī)劃的雷達(dá)最優(yōu)搜索方法，該方法同時對各波位的波束駐留時間以及照射順序進(jìn)行優(yōu)化。仿真結(jié)果表明，本文方法可以快速地搜索到目標(biāo)并且可得到各波位最佳駐留時間以及最優(yōu)搜索順序。證明了該方案具有有效性的同時，還體現(xiàn)出其對場景變化具有一定的適應(yīng)性。