LFM-PC復合調制信號優(yōu)化設計算法

李 晨，張勁東，丁 遜，尚東東

(南京航空航天大學電子信息工程學院，江蘇南京 211100)

0 引言

PC信號因其分辨率、測量精度較高的優(yōu)點被廣泛應用，但是只能被運用于窄多普勒頻移的場合，并且形式簡單，抗干擾能力一般?；贚FM信號和PC信號復合調制的LFM-PC信號，兼顧了兩種信號的優(yōu)點，具有較高的分辨率、測量精度，同時擴展了PC信號的多普勒容限，還可以提高信號的復雜程度，從而提高雷達系統(tǒng)的抗干擾能力。

為了使PC信號獲得接近理想的主副瓣比，國內外學者研究了多種啟發(fā)式優(yōu)化算法進行優(yōu)化設計，主要包括遺傳算法[1]、模擬退火算法[2]、基于飛蛾撲火的改進方法[3]、改進的蟻群算法[4]等。以上幾種智能搜索算法較為容易實現(xiàn)，但是因其隨機性先天存在速度慢，效果一般等問題。除了啟發(fā)式優(yōu)化算法以外，馮日博等[5]提出了一種基于新循環(huán)算法(Cyclic Algorithm-New, CAN)的優(yōu)化方法。該方法將峰值旁瓣的最小化等價為一個頻域最小化問題，進而轉化為一個二次函數(shù)的最小化問題。李旭等[6]在利用CAN算法優(yōu)化PC信號自相關函數(shù)的基礎上，提出了適用于優(yōu)化正交波形互相關特性的MultiCAN算法。Kerahroodi等[7-8]將坐標下降法(Coordinates Down, CD)應用到PC信號優(yōu)化設計中，CD算法在每次迭代過程中使用不同的坐標方向，在當前點處沿一個坐標方向進行一維搜索以求得目標函數(shù)的局部最小值。

傳統(tǒng)的LFM-PC信號在脈間實現(xiàn)相位編碼調制，脈內實現(xiàn)線性頻率調制。而本文研究的LFM-PC信號在脈內實現(xiàn)線性頻率和相位編碼復合調制。對該種信號的優(yōu)化設計還處于起步研究階段，Majumder等[9]利用Walsh正交碼實現(xiàn)脈內相位編碼調制。吳悅[10]利用LFM-PC信號來設計正交波形，并提出了基于模糊函數(shù)的抗欺騙干擾波形設計模型，采用共軛梯度法和交替迭代算法求解優(yōu)化模型。但是其優(yōu)化設計的調制相位為連續(xù)相位，對離散相位調制缺少研究。

本文針對PC信號在高速運動平臺和高速目標探測中運用存在多普勒敏感問題，研究了一種寬多普勒容限的LFM-PC復合調制信號。首先，簡單介紹了LFM-PC信號，并給出了其模糊函數(shù)離散表達式。接著，在多普勒容限內以最小歸一化積分旁瓣為準則建立優(yōu)化模型，采用基于ADMM的低復雜度方法求解優(yōu)化模型。仿真結果表明，此算法相比遺傳算法速度更快、效果更佳。優(yōu)化之后的LFM-PC信號在保持寬多普勒容限的同時具有更低的歸一化旁瓣，因此相比PC信號可以在多普勒失諧時具有更高的分辨率、測量精度。

1 信號模型

1.1 時域波形

PC信號復包絡[11]可表示為

(1)

在PC信號上復合調制一個LFM信號uLFM(t)=ejπμt2,0≤t≤T，其中μ表示調頻斜率，則LFM-PC復合調制信號表示為

uLFM-PC(t)=uLFM(t)·uPC(t)=

(2)

1.2 模糊函數(shù)

模糊函數(shù)定義式[11]為

(3)

(4)

(5)

(6)

取f=μpTS, -(N′-1)≤p≤N′-1

(7)

(8)

式中，

Jk表示轉移矩陣：

2 模糊函數(shù)優(yōu)化

2.1 優(yōu)化算法

ADMM算法[12]是一種求解優(yōu)化問題的計算框架，適用于求解具有分布式結構的凸優(yōu)化問題。ADMM通過分解協(xié)調過程，將大的全局問題分解為多個較小、較容易解決的局部子問題，并通過協(xié)調子問題的解而得到大的全局問題的解。

ADMM求解問題的表達式為

(9)

將其改為增廣拉格朗日函數(shù)，ρ為懲罰項系數(shù)，有

Lρ(x,z,λ)=f(x)+g(z)+λT(Ax+Bz-c)+

(10)

u(t+1)=u(t)+Ax(t+1)+Bz(t+1)-c

(11)

2.2 優(yōu)化模型

LFM-PC信號模糊函數(shù)的離散表達式由式(8)表示。其主峰幅度可表示為

|χLFM-PC(k0,p)|=|c′HH(k0,p)c′|=

(12)

式中，-(NS-1)≤p≤(NS-1)。當p確定時，|χLFM-PC(k0,p)|為一定值。定義主峰幅度下降3 dB的范圍為多普勒容限(Doppler Tolerance, DT)，則多普勒容限內的歸一化模糊函數(shù)可表示為

-(N′-1)≤k≤(N′-1),-NDT≤p≤NDT

(13)

式中，NDT<(NS-1)表示多普勒容限對應的范圍。

為了提高雷達在信號存在多普勒失諧場景中的探測性能，優(yōu)化問題可描述為：在多普勒容限內以最小化歸一化積分旁瓣為準則，優(yōu)化LFM-PC模糊函數(shù)，優(yōu)化范圍為Ψ=[(k,p)|NS≤|k|≤N′-1,0≤|p|≤NDT]。其目標函數(shù)由歸一化積分旁瓣NISL表示為

(14)

2.3 優(yōu)化過程

利用ADMM架構嵌套擬牛頓法優(yōu)化目標函數(shù)式(14)，優(yōu)化問題為

(15)

在式(15)中引入輔助變量z和約束條件c=z，即

(16)

式(15)和式(16)等價。取u=(λr+jλi)/ρ，根據(jù)式(16)寫出增廣拉格朗日方程：

(17)

記c(t)為第t次ADMM迭代后的c值(z和u相應地記為z(t),u(t))，給定初值c(0),z(0),u(0),則該問題的求解可按照如下步驟進行：

1) 更新c，此時z(t),u(t)看作已知量

該問題為無約束最優(yōu)化問題，可使用擬牛頓法求解。

2) 更新z，此時c(t+1),u(t)看作已知量

(19)

式(19)中元素z彼此獨立，則可將其分解為N個子問題，子問題可表述為

(20)

(21)

(22)

則式(19)的解為

(23)

3) 更新u

u(t+1)=u(t)+c(t+1)-z(t+1)

(24)

由此，ADMM算法的基本思路：初始化變量c(0),z(0),u(0)，接著重復步驟1)到步驟3)直至滿足迭代停止條件(迭代次數(shù)達到上限或者|NISL(t+1)-NISL(t)|≤ε，ε為一個較小的正數(shù)，作為收斂門限)。以上，輸出優(yōu)化后的結果。

表 1給出利用交替方向乘子法求解優(yōu)化模型的步驟。

表1 ADMM步驟

3 仿真及結果分析

取碼長N=60，調頻斜率μ=6×1012，調制相位數(shù)K=2/4/8，分別通過100次的蒙特卡洛實驗，計算PC信號、LFM-PC信號的多普勒容限DT。由表2可知，LFM-PC信號DT明顯優(yōu)于PC信號。

表2 PC信號與LFM-PC信號多普勒容限對比

將平均積分旁瓣(Average Integral Side Lobe, AISL)和平均歸一化積分旁瓣(Average Normalized Integral Side Lobe, ANISL)定義為

(25)

(26)

式中，Ψ=[(k,p)|NS≤|k|≤N′-1,0≤|p|≤NDT]表示多普勒容限DT內的旁瓣范圍。

仿真得到LFM-PC信號的多普勒容限DT后，在范圍DT內分別計算PC信號的平均積分旁瓣AISL，LFM-PC信號的平均積分旁瓣AISL、平均歸一化積分旁瓣ANISL。由表 3可知，兩種信號AISL基本相等，但是LFM-PC信號模糊函數(shù)經(jīng)過歸一化處理之后，其ANISL值高于PC信號AISL，這說明多普勒失諧時，脈壓副瓣增高，雷達探測性能惡化。

表3 PC信號與LFM-PC信號模糊函數(shù)旁瓣對比

為了提高多普勒失諧時的雷達探測性能，在多普勒容限內以最小歸一化積分旁瓣為準則對LFM-PC信號模糊函數(shù)進行優(yōu)化。設置迭代次數(shù)上限為100次，分別用上述ADMM算法以及GA算法對相同的初始信號進行優(yōu)化。初始信號ANISL=-20.353 2 dB。經(jīng)過迭代后，優(yōu)化前后仿真結果如圖 1和圖 2所示。

圖1 優(yōu)化前模糊函數(shù)

(a) K=2 ADMM優(yōu)化

從表4可以看出，經(jīng)過ADMM算法、GA算法優(yōu)化的LFM-PC信號相比于未優(yōu)化的信號，ANISL均明顯下降。尤其是ADMM算法，隨著相位數(shù)的增加，其優(yōu)化效果比GA算法優(yōu)化效果愈發(fā)顯著。同時觀察圖 3的優(yōu)化算法迭代收斂曲線，我們可以發(fā)現(xiàn)ADMM算法相比于GA算法收斂更快、效果更好。

表4 ADMM算法與GA算法優(yōu)化ANISL對比

對比表3和表4可知，優(yōu)化之前的LFM-PC信號ANISL不及PC信號AISL，優(yōu)化之后的LFM-PC信號ANISL明顯優(yōu)于PC信號AISL值。因此，優(yōu)化前后的LFM-PC信號在多普勒失諧情況下探測性能顯著提升，具有比PC信號更寬的多普勒容限的同時還具有更高的分辨率和測量精度。

圖3 ADMM算法與GA算法優(yōu)化收斂曲線對比

4 結束語

基于LFM信號和PC信號復合調制的LFM-PC信號，具有比PC信號更寬的多普勒容限。本文利用ADMM算法，以最小歸一化積分旁瓣為準則，優(yōu)化LFM-PC信號模糊函數(shù)。對比GA算法仿真結果表明，ADMM算法是一種收斂速度快、運算量低的優(yōu)化算法。經(jīng)過優(yōu)化之后的LFM-PC信號，在寬多普勒容限的基礎上同時具有更低的歸一化積分旁瓣。因此，經(jīng)過優(yōu)化的LFM-PC信號相比PC信號可以在高速運動平臺和高速目標探測中具有更高的分辨率和測量精度。