數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的滲透探究

王玉清

【摘要】數(shù)學是初中教學課程中的主干課程之一，對學生而言，也是銜接數(shù)學基礎知識與高階知識的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié).下文以此為出發(fā)點，圍繞初中數(shù)學教學活動的開展，探討數(shù)形結(jié)合思想的滲透與應用.文中從五個方面為初中數(shù)學教育教學的優(yōu)化提供理論層面的思考與建議.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學;數(shù)形結(jié)合思想;教學

一、數(shù)形結(jié)合思想的重要性分析

相對小學數(shù)學而言，初中數(shù)學更加復雜與抽象，教學形式上，也更加自主，因此，部分學生由于不適應中學教學的形式與節(jié)奏，無法較好地將學習內(nèi)容理解轉(zhuǎn)化，導致問題堆積，嚴重影響學習效果，同時也挫傷了自己的學習積極性，讓問題進一步惡化[1].這時就需要教師進行引導，通過學習方法和教學方法的改善，讓學生轉(zhuǎn)化思路，運用更加簡單的方式將抽象的內(nèi)容理解，更加直觀地對問題進行解讀，從而解決問題.

而數(shù)形結(jié)合這一方法就是轉(zhuǎn)化的核心與關(guān)鍵，通過數(shù)圖結(jié)合，一方面能使學生對問題的理解和抽象概念的解讀更加直觀，能夠把握問題的重點，另一方面，圖形也較好地展示出了抽象文字概念，化繁為簡，更容易激發(fā)學生的學習興趣.學生在長期應用數(shù)形結(jié)合思維的過程中，會形成較好的形象思維，從而為后續(xù)教學活動的開展奠定良好的基礎，大大提高課堂教學效率的同時，對學生的成長與進步也是非常關(guān)鍵的.

二、實踐應用分析

本文從五個方面探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學實踐中的具體應用，分別是教學內(nèi)容、解題能力、其他數(shù)學思維、核心素養(yǎng)與學習興趣.

（一）教學內(nèi)容

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學內(nèi)容中有很多的應用空間，本文以無理數(shù)和函數(shù)兩個板塊的教學內(nèi)容為例進行闡述.對于無理數(shù)而言，無理數(shù)本身就是小學數(shù)學教學中沒有提及的一個重要概念，同時也是一個較為抽象的概念，因此，理解清楚概念本身比計算應用更為關(guān)鍵.但是很多學生在理解抽象概念時，往往是通過例子來理解，即在教師課堂舉例的過程中進行理解，這樣的理解本身是相對片面的，往往在同一例子中可以理解，更換了例子內(nèi)容就不知道如何應用了.

而建立在數(shù)形結(jié)合思想的基礎上，則能夠較好地解決這一問題，首先基于數(shù)形結(jié)合思想，教師可以利用畫數(shù)軸的方式來幫助學生建立相對概念，如在數(shù)軸正方向上，規(guī)定單位長度，隨機取出不同單位，如“取4個單位1，”隨后在負方向上，同樣隨機取出不同單位，如“取3個單位1”，此時，教師在黑板上寫下算式，“4+（-3）”，并與所畫的圖形聯(lián)系起來.如此一來，學生感到新穎，可以通過圖形展示算式，給學生提供了一個新思路，學生對于無理數(shù)概念的理解，就如同這個圖形的構(gòu)建，將其簡化，有了圖形的直觀展示，抽象概念不再抽象，學生的思維也不再僵化，而是更加具有形象化意識[2].

再以函數(shù)為例，函數(shù)的學習一直以來都是初中數(shù)學學習活動中較為困難的一個知識點，其困難的原因在于兩個方面，一方面是函數(shù)具有抽象性，函數(shù)對學生抽象能力的考查較為深入，這就導致學生在概念理解上存在一定的困難，另一方面，函數(shù)問題中往往涉及了一定的變量關(guān)系，對于學生而言，變量關(guān)系在題目中具有一定的迷惑作用，容易誘導學生形成錯誤的思維概念.

而在解決函數(shù)問題時，同樣可以運用數(shù)形結(jié)合思想來實現(xiàn).以實際題目為例，“小紅和小王一起相約出去游玩，兩人同時從家里出發(fā)，在行走約20分鐘后，在一個距離出發(fā)點900米的橋相遇，小紅家中有事，相遇后立刻返回家中，而小王則留在橋邊玩了10分鐘，隨后花費15分鐘返回家中.”在這一內(nèi)容的概述上，教師可以引導學生先通過平面直角坐標系，將涉及兩個人的時間、距離之間的關(guān)系進行表述，題目相對簡單，因此學生在繪制過程中也不存在難度，通過分別繪制小紅和小王的出行時間和距離，在平面直角坐標系上就能直觀地展示兩個人離家的距離和具體的時間關(guān)系.這樣一來，相對具有迷惑性的文字通過簡單的圖形就清楚地展示出來了，學生有了形象構(gòu)建就能夠更好地解決問題.通過數(shù)形結(jié)合思想，學生能夠較好地實現(xiàn)舉一反三、觸類旁通的效果，達到高質(zhì)量的教學目的[3].

（二）解題能力

數(shù)形結(jié)合思想不僅能輔助解讀文本，對于解題還能夠起到關(guān)鍵作用.通過數(shù)形結(jié)合思想能夠有效地規(guī)避問題中設置的迷惑點，降低直接思維的難度，校正學生的解題思路與步驟，提高正確率.具體到實際中，以代數(shù)的學習為例.

代數(shù)的學習過程與上文中提到的無理數(shù)的學習、函數(shù)的學習相同， 同樣都是先形成與代數(shù)式相關(guān)的圖形，然后幫助學生來實現(xiàn)問題的解答.如題目“若直線y =x+h與曲線x=1-y2恰有一個公共點，求h的取值范圍.”在這個問題中，學生通過作圖，可以清楚地通過圖形反饋得知，直線與曲線相切時，h=-2，即得出結(jié)論，-2≤h≤1.在整個解答過程中，借助數(shù)形結(jié)合思想將抽象的題目直接轉(zhuǎn)化為直觀的圖像.通過觀察，學生實現(xiàn)了聯(lián)想，進而輕松完成了問題的解答.

除了通過圖形來幫助學生完成數(shù)學內(nèi)容的解答外，在解題能力的提升上，通過數(shù)形結(jié)合思想，還能夠有效地完成以數(shù)解形，即題目給定一個指定圖形，并配以一段文字描述提出問題，此時同樣可以運用數(shù)形結(jié)合思想解答，觸類旁通，達到簡單快速的解題效果[4].

（三）其他數(shù)學思想

數(shù)學是一個極為龐大的體系，如果說小學數(shù)學教學是基礎內(nèi)容的教學，是幫助學生認識數(shù)學、了解數(shù)學的過程，那么初中數(shù)學就是學生初次嘗試運用數(shù)學邏輯解決數(shù)學問題的一個過程，是學生學會“以彼之矛”作為武器來實現(xiàn)學習的有效途徑.以著名的雞兔同籠實驗為例，在雞兔同籠的問題解答過程中，往往都是通過假設，創(chuàng)建一個一元二次的方程組，再通過方程組的計算，得出具體的結(jié)論，看似很容易，實則不然[5].學生只會通過一元二次方程來解答問題，或在解答問題時首先選擇了一元二次方程組這樣的形式，說明在學生的思維空間當中，一元二次方程本身較為簡單，且符合題干設計，是學生固化思維的一種體現(xiàn)，教師應當引導學生嘗試做出第二種或第三種解題方式，如改為應用二元一次方程組的設置與計算來解決問題，輔以圖形，學生就能夠得到更加直觀的感受.

這里需要強調(diào)的內(nèi)容是如何滲透數(shù)形結(jié)合思想，即如何調(diào)動學生的積極性，讓其探索第二種乃至第三種的解題方法[6]，對于學生而言，存在一定的思維惰性，一旦問題得到了解決，就不愿積極地去尋找更加多樣的解決思路，這就導致學生的思維存在一定的局限性，在后續(xù)教學中，思維水平與實際思維能力要求不符，無法實現(xiàn)更好的教學效果.以此，教師要引導學生，優(yōu)化滲透方式，強調(diào)多元化個性化的解題行為.

（四）核心素養(yǎng)

核心素養(yǎng)是教學活動開展中的一個核心要素，尤其是對于當下的素質(zhì)教育而言，素質(zhì)教育改變了應試教育中成績至上的教育思維，更加注重強調(diào)學生的個體能力，但這并不意味著成績就一文不值，相反，成績也是檢驗學生個體能力的重要體現(xiàn).教師要將核心素養(yǎng)落實到具體的學科當中來，如數(shù)學學科，就是在強調(diào)培養(yǎng)學生個性化能力的同時，也要培養(yǎng)學生的解題能力、學習技巧方面的能力，促使學生能夠綜合地，全面地應用數(shù)學[7].

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的滲透，實際上可以看作是對核心素養(yǎng)具體方面的培養(yǎng)過程.因此，在實際教學中，讓學生理解和掌握數(shù)形結(jié)合思想，就成了一個關(guān)鍵的內(nèi)容.如對于勾股定理的理解.勾股定理是初中階段較為重要的一個定理，應用頻次也很高，如果學生對公式只是死記硬背，那么在面對較為靈活，具有迷惑性的題目時，就很難應用勾股定理來解決問題，相反，如果引入圖形的概念來理解定理本身，就能夠?qū)Χɡ淼耐茖н^程有基礎的掌握，也就能夠進一步接觸到定理的內(nèi)涵，從而達到高質(zhì)量學習的目的，這樣追本溯源的學習方式，是強化核心素養(yǎng)的一個關(guān)鍵步驟[8].

（五）學習興趣

總體而言，初中數(shù)學要比小學數(shù)學的難度更大，除了概念較多較為抽象外，計算量也有了明顯提升，而在面對這一問題時，顯然興趣會成為引導學生繼續(xù)學習的核心動力，如果失去學習興趣，在學習過程中舉步維艱，那么學生很容易在這一階段產(chǎn)生厭學心理，從而放棄數(shù)學學科[9].

而調(diào)動學生積極性的關(guān)鍵，就是將復雜的內(nèi)容簡單化，化繁為簡，促使學生感到學習上較為輕松，逐步引導學生在學習過程中樹立成就感，從而促使學生愿意積極主動的自主探索，當學生自主行動起來時，教學活動的開展就會變得簡單又高效.如傳統(tǒng)的記憶模式中，數(shù)學公式多且復雜，學生容易記混，而利用數(shù)形結(jié)合思想，學生則能夠更為簡單直觀地對公式進行記憶，并將其與生活實例聯(lián)系起來，形成高效記憶并避免混亂思維，如華羅庚教授關(guān)于數(shù)形結(jié)合的一首膾炙人口的詩就是數(shù)形結(jié)合記憶的一種趣味化的真實寫照.“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛.數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難人微.數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休.切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系切莫離.[10]”

三、應用策略分析

在數(shù)形結(jié)合思想實際應用過程中，還需要遵循一定的應用原則與步驟.只有在遵循原則、依據(jù)步驟的情況下，才能夠最大限度地發(fā)揮出數(shù)形結(jié)合思想的重要價值.

（一）步驟

第一步是導入，在這一階段就是學生如何通過數(shù)形結(jié)合思想將圖形或數(shù)學導入到需要解答的內(nèi)容當中來.為了更好地實現(xiàn)導入過渡，在教學過程中，教師就要注重對數(shù)形結(jié)合思想的引導，如在為學生解答關(guān)于“絕對值”“正負數(shù)”等概念內(nèi)容時，教師就可以結(jié)合數(shù)軸進行講解，并嘗試讓學生自行在數(shù)軸中探索如象限規(guī)律等內(nèi)容，引導學生自主應用數(shù)形結(jié)合思想，從基礎上幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣.導入階段需要注意的是一定要培養(yǎng)學生具有正確的數(shù)形結(jié)合思想，很多學生對于數(shù)形結(jié)合思想的認知不明確，認為數(shù)形結(jié)合多此一舉，在實際應用中比較少，很難將兩者有效結(jié)合，這就導致在后續(xù)解決復雜內(nèi)容時，無法較好地應用數(shù)形結(jié)合思想完成有效的學習活動[11].

第二步是在導入的基礎上展開的，即正確應用.如方程組如何運用數(shù)軸來表示，這對于很多學生而言，最初都是一個難以過渡的過程，如何從生疏到熟練就是這一階段的關(guān)鍵.具體到實際中可以從兩個方面來落實，一方面是從教師的視角來看，教師在教學講解與問題解答中，就要常常運用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題，另一方面就是從學生的視角出發(fā)，教師可以要求學生運用數(shù)形結(jié)合思想，并保留作圖過程，以此來鍛煉學生的思維習慣，幫助學生在清晰的思路下逐步熟練應用數(shù)形結(jié)合思想，最終將其轉(zhuǎn)化為一把“利器”，解決各種“疑難雜癥”.

第三步就是升華，數(shù)形結(jié)合思想的滲透并不是以幫助學生掌握數(shù)形結(jié)合思想，使其更加高效學習為最終目的，其最終目的是以數(shù)形結(jié)合思想為基準點，幫助學生了解不同數(shù)學內(nèi)容板塊中的聯(lián)系性，能夠自主將其聯(lián)系起來，逐步熟練地運用已學的知識去嘗試推導未知，形成積極探索的學習態(tài)勢，保持旺盛積極的學習信心，讓學生得到整體能力上的提升[12].具體到實際中，如在講解三角函數(shù)這一板塊的內(nèi)容時，教師也可以嘗試引入其他圖形來引導學生探索分析，通過多內(nèi)容的組合學習，幫助學生調(diào)動已學知識求解未知，學生的思維逐步發(fā)散開拓，擁有更加活躍的學習思路，這才是核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)鍵所在，也是良好應用數(shù)形結(jié)合思想的根本目的.

（二）原則

數(shù)形結(jié)合思想的三個具體原則在實際應用中很容易被教師及學生忽視，三個原則分別是主動性原則、整體性原則和個性化原則.

主動性原則是指在整個教學過程中，無論是學生還是教師，都應當意識到數(shù)形結(jié)合思想不是在解決難題時最后選擇的“救命稻草”，而應當是在問題分析初期就積極應用的一個常規(guī)方法，在遇到問題時，通過分析，先一步主動利用數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)建圖形，分析問題的關(guān)鍵和難點所在，然后運用所學知識，化難為易，解決問題，避免由于思維誤區(qū)導致的局限.

整體性原則是指在應用數(shù)形結(jié)合思想時，結(jié)合的內(nèi)容不僅僅是數(shù)學和圖形，還有相關(guān)的知識點、定義、公式等內(nèi)容，結(jié)合過程中要具有整體性，很多學生在應用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題時，僅僅是通過對問題的解決還原出圖形，但是沒有后續(xù)的公式與定義分析套入，導致問題從文字形式變成圖形形式，但是本質(zhì)上沒有發(fā)生變化，反而浪費了寶貴的做題時間，這一點要尤為注意[13].

最后是個性化原則，數(shù)形結(jié)合思想固然重要，但并非萬能鑰匙，并不是所有的數(shù)學內(nèi)容都要應用到數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)形結(jié)合思想也并非適用于所有的教學環(huán)節(jié)當中，有的問題本身很直觀，無須通過數(shù)形結(jié)合思想來解決，有的問題則更加復雜，需要運用更加多元化的思維來解答.因此，從整體上看，數(shù)形結(jié)合思想是具有個性化的，要依據(jù)不同情況具體利用，而不是盲目濫用.這一點，也是學生在初期掌握數(shù)形結(jié)合思想時最容易出現(xiàn)的一點錯誤，教師要及時地給予糾正，引導學生正確掌握并使用[14].

四、結(jié)束語

綜上所述，本文主要圍繞數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中滲透的五個方面，探討數(shù)形結(jié)合思想的重要性與應用價值，但在實際教學活動中，需要注意的一點是，數(shù)形結(jié)合思想并非萬能公式，其能夠幫助學生較好地理解一部分教學內(nèi)容，但并非所有的教學內(nèi)容都能套用數(shù)形結(jié)合思想，教師只有幫助學生糾正這一錯誤思維，才能夠促使學生更好地實現(xiàn)學習本身，提升能力的同時，也強化自身核心素養(yǎng).

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