導(dǎo)函數(shù)為指（對）數(shù)、三角函數(shù)等形式的分類討論

南京市教學(xué)研究室 龍艷文

導(dǎo)數(shù)這一章節(jié)的重點(diǎn)問題為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極（最）值問題.導(dǎo)函數(shù)為指（對）數(shù)、三角函數(shù)等形式，且無法直接求出零點(diǎn)和單調(diào)性時，需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，從而需要對二次求導(dǎo)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論.我們通過對一組問題的歸類研究，從各種復(fù)雜的分類中找出共同規(guī)律，提煉出有章可循的分類途徑和方法，從而構(gòu)建導(dǎo)函數(shù)為指（對）數(shù)、三角函數(shù)等形式的分類討論的解題思維模式結(jié)構(gòu)圖.

一、解題思維模式形成

例1設(shè)函數(shù)f（x）=ex-1-x-ax2.若x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

解：由f（x）=ex-1-x-ax2，

得f（0）=0，f′（x）=ex-1-2ax.

令G（x）=f′（x）=ex-1-2ax，

則G（0）=0，G′（x）=ex-2a.

優(yōu)先判斷f（0）=0，求導(dǎo)f（x），令G（x）=ex-1-2ax，要判斷G（x）的零點(diǎn)，需判斷G（x）特殊點(diǎn)的正負(fù)和單調(diào)性

令H（x）=G′（x）=ex-2a，

則H（0）=1-2a，H（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

求導(dǎo)G（x），令H（x）=ex-2a，要判斷H（x）的零點(diǎn)，需判斷H（x）特殊點(diǎn)的正負(fù)和單調(diào)性

① 當(dāng)1-2a≥0，即a≤時，

所以x∈（0，+∞）時，H（x）＞0，即G′（x）＞0，

所以函數(shù)G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

因?yàn)閤∈（0，+∞）時，G（x）＞G（0）=0，即f′（x）＞0，

所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）≥f（0）=0，

所以當(dāng)a≤時，滿足條件.

由H（0）≥0和H（x）遞增，結(jié)合H（x）圖象，判斷G（x）遞增.再由G（0）=0，判斷G（x）在（0，+∞）上恒正

② 當(dāng)1-2a＜0，即a＞時，

令H（x）=0，得x=ln2a.

所以當(dāng)x∈（0，ln2a）時，H（x）＜0，即G′（x）＜0，

所以函數(shù)G（x）在（0，ln2a）上單調(diào)遞減.

因?yàn)閤∈（0，ln2a）時，G（x）＜G（0）=0，即f′（x）＜0，

所以函數(shù)f（x）在（0，ln2a）上單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（0，ln2a）時，f（x）＜f（0）=0，

所以當(dāng)a時，不滿足條件.

由H（0）＜0和H（x）遞增，結(jié)合H（x）圖象，判斷G（x）在（0，ln2a）上單調(diào)減.再由G（0）=0，判斷G（x）在（0，ln2a）上恒負(fù)，故f（x）在（0，ln2a）上單調(diào)遞減.

綜上，a的取值范圍（-∞，].

二、解題思維模式構(gòu)建

三、解題思維模式應(yīng)用

例2（2019全國Ⅰ卷文科）已知函數(shù)f（x）=2sinx-xcosx-x.若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍.

解：設(shè)F（x）=f（x）-ax=2sinx-xcosx-x-ax.

由x∈[0，π]時f（x）≥ax恒成立，即F（x）=2sinx

xcosx-x-ax≥0恒成立，

則F′（x）=cosx+xsinx-1-a，

且F（0）=0，F(xiàn)（π）=-aπ.

令G（x）=F′（x）=cosx+xsinx-1-a，

則G（0）=-a，G（π）=-2-a，且G′（x）=xcosx.

優(yōu)先判斷F（0）=0，求導(dǎo)F（x），令G（x）=cosx+xsinx-1-a，要判斷G（x）的零點(diǎn)，需判斷G（x）特殊點(diǎn)的正負(fù)和單調(diào)性

調(diào)遞增；

調(diào)遞減；

① 當(dāng)a≤-2時，G（π）≥0.

當(dāng)x∈（0，π）時，G（x）＞0，則F（x）在（0，π）上單調(diào)

遞增.

所以F（x）min=F（0）=0.

所以當(dāng)a≤-2時，F(xiàn)（x）≥0對x∈[0，π]恒成立.由G（π）≥0和G（x）單調(diào)性，判斷G（x）無零點(diǎn)，從而G（x）恒正

②當(dāng)-2＜a≤0時，

G（0）=-a≥0，G（π）=-2-a＜0，

存在x0∈（，π），使得G（x0）=0.

當(dāng)x∈（0，x0）時，G（x）＞0，所以F（x）在（0，x0）上

單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（x0，π）時，G（x）＜0，所以F（x）在（x0，π）上

單調(diào)遞減.

因?yàn)镕（0）=0，所以F（π）=-aπ≥0，則a≤0.

所以當(dāng)-2＜a≤0時，F(xiàn)（x）≥0對x∈[0，π]恒成立.

由G（0）≥0，G（π）＜0和G（x）單調(diào)性，判斷G（x）存在零點(diǎn)，從而判斷零點(diǎn)兩側(cè)G（x）的正負(fù)

當(dāng)x∈（0，x1）時，G（x）＜0，所以F（x）在（0，x1）上單調(diào)遞減.

因?yàn)镕（0）=0，所以x∈（0，x1）時，F(xiàn)（x）＜0，

由G（0）＜0，和G（x）單調(diào)性，判斷G（x）存在零點(diǎn)，從而判斷零點(diǎn)兩側(cè)G（x）的正負(fù)

當(dāng)x∈（0，π）時，G（x）≤0，則F（x）在（0，π）上單調(diào)遞減.

因?yàn)镕（0）=0，所以x∈（0，π）時，F(xiàn)（x）＜0.

綜上，a≤0.

注：利用F（π）=-aπ≥0，得a≤0，可減少分類討論.

四、解題思維模式練習(xí)

1.已知函數(shù)f（x）=-2xlnx+x2-2ax+2a-1.若x≥1時，f（x）≥0，求a的取值范圍.

2.設(shè)函數(shù)f（x）=xex-asinxcosx（a∈R）.

（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間）上有兩個零點(diǎn)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

3.（2019全國Ⅱ卷理科）已知函數(shù)f（x）=ex-ax2.

（1）若a=1，證明：當(dāng)x≥0時，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個零點(diǎn)，求a.

4.已知函數(shù)f（x）=cosx+ax2-1，a∈R.若對于任意的實(shí)數(shù)x，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

1.a≤0.2.（1）a的取值范圍是（-∞，1]；（2）不存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間]上有兩個零點(diǎn).3.（1）略；（2）