老師，我為什么算得這么慢
——導(dǎo)數(shù)篇

江蘇省蘇州中學(xué) 王思儉

考完試后有幾位同學(xué)議論：

解答題第19題運(yùn)算量超大，有的結(jié)果超繁瑣，單調(diào)區(qū)間含有根式；

填空題最后兩題運(yùn)算量太大了，如同解答題，題目條件不知道怎么用；

暑假期間我刷了很多高考導(dǎo)數(shù)壓軸題，各地38套模擬題，但有的題還是不會(huì)做；

看來(lái)只刷題并不能真正提高運(yùn)算速度，必須要加強(qiáng)解題回顧；

我在運(yùn)算方面的經(jīng)驗(yàn)是：概念定理要清晰、方法策略要合理、運(yùn)算步驟要簡(jiǎn)潔、解題過(guò)程要嚴(yán)謹(jǐn)、答案結(jié)論要規(guī)范、解題回顧要?？?，簡(jiǎn)稱清晰、合理、簡(jiǎn)潔、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范、常看；

……

為此邀請(qǐng)五位同學(xué)就“導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用問(wèn)題的運(yùn)算”進(jìn)行交流，旨在提高他們的運(yùn)算質(zhì)量和速度，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

生甲：關(guān)于函數(shù)f（x）=（x2-2x）ex的判斷正確的是（ ）

（A）f（x）既有最大值，也有最小值 （B）f（x）只有最大值，沒(méi)有最小值

（C）f（x）只有最小值，沒(méi)有最大值 （D）f（x）既無(wú)最大值，也無(wú)最小值

因?yàn)閒′（x）=（x2-2）ex，令f′（x）=0，得列表討論知，當(dāng)時(shí)，f（x）有極大值當(dāng)時(shí)，f（x）有極小值.故選A.

生乙：根據(jù)其圖象類似于三次函數(shù)圖象，應(yīng)該選D.

教師：你們有沒(méi)有研究函數(shù)f（x）的圖象，函數(shù)f（x）有幾個(gè)零點(diǎn)？

生丙：f（x）只有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0，且x→-∞時(shí)，f（x）→0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f（x）＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞0.而且，當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，f（x）有極小值，也是最小值.所以選C.

教師：很好！分析正確.其圖象大致為圖1.

生乙：函數(shù)（其中a為常數(shù)）在開區(qū)間（2，3）內(nèi)存在極小值，則a的取值范圍為_______.

圖1

生丙：雖然答案正確，但過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)該分類討論，當(dāng)a≤2時(shí)，解出當(dāng)2＜a＜4或a≥4時(shí)，經(jīng)過(guò)討論不等式無(wú)解.

生?。悍蛛x變量法求解，因?yàn)閍（x-1）=x2-2x，x∈（2，3），因此，令x-1=t∈（1，2），轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域，利用單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?故a的取值范圍為

教師：很好！生丁的運(yùn)算簡(jiǎn)潔明了，不同的運(yùn)算策略，解題鏈長(zhǎng)短大不相同，因此，要想使運(yùn)算速度快，結(jié)果又正確，同學(xué)們必須要學(xué)會(huì)從不同角度思考問(wèn)題，積累經(jīng)驗(yàn).

若題目改為：

選擇哪種方法求解呢？

生戊：利用二次函數(shù)圖象分析法求解，接上述過(guò)程，函數(shù)g（x）=x2-（a+2）x+a在（-1，2）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)的充要條件為Δ＞0且g（-1）＞0且g（2）＞0且解之得所以a的取值范圍為

生?。豪梅蛛x變量法與幾何直觀法，令x-1=t∈（-2，0）∪（0，1），作出函數(shù)圖象，當(dāng)時(shí)，直線y=a與函數(shù)圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn).

教師：兩種解法都是基本方法，但后一種解法的運(yùn)算量較小，速度較快.

生甲：若函數(shù)f（x）=x3+ax2+cx+2在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且f（x）-2是奇函數(shù)，則f（x）在[-2，3]上的最大值與最小值的和為_________.

根據(jù)奇函數(shù)求出a=0后，求出f（x）=x3+cx+2的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x2+c.但怎樣使用條件“在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)”？因此就沒(méi)有解下去.

教師：該函數(shù)是奇函數(shù)向上平移兩個(gè)單位而得到的，你分析三次函數(shù)圖象與零點(diǎn)個(gè)數(shù)關(guān)系了嗎？

生甲：我討論當(dāng)c≥0時(shí)，在（0，+∞）上無(wú)零點(diǎn)，不合適；當(dāng)c＜0時(shí)，求出f′（x）=0的解，經(jīng)過(guò)列表討論知，極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)x2=在（0，+∞）內(nèi)，還是沒(méi)有辦法確定c的值.所以最終的答案是含有c的式子.

教師：函數(shù)零點(diǎn)和極值點(diǎn)的概念一樣嗎？

生丙：因?yàn)閒（x）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，因此f（x）有極小值為0，即解之得c=-3.再計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的值和極值，可得最大值為20，最小值為0，故答案為20.

教師：正確.利用函數(shù)的極值再結(jié)合函數(shù)圖象控制零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這種數(shù)形結(jié)合思想是高考中常考的思想方法，你們應(yīng)該學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題，這樣才會(huì)提高解題能力.

若改為：

求f（x）在[t，t+1]上的最大值與最小值之差g（t）的解析式.

如何解決呢？

生戊：求出極大值與極小值，然后就極值點(diǎn)在區(qū)間[t，t+1]外和內(nèi)進(jìn)行分類討論，當(dāng)極值點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，作差f（t+1）-f（t）與0比較大小.答案為：當(dāng)t≤-2或t≥1時(shí)，g（t）=3t2+3t-2；當(dāng)時(shí)，g（t）=-t3+3t+2；當(dāng)時(shí)，g（t）=-t3-3t+4；當(dāng)-1＜t＜0時(shí)，g（t）=-3t2-3t+2；當(dāng)時(shí)，g（t）=t3-3t+2；當(dāng)時(shí)，g（t）=t3+3t2.

教師：非常好！

生甲：已知函數(shù)f（x）=（ax2-2x）ex（其中a為常數(shù)）.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a≠0，記函數(shù)f（x）的極大值為M，極小值為m，求證：為定值.

我只做出（1），第（2）題不會(huì)，但結(jié)果太繁瑣了，因?yàn)閒′（x）=（ax2+2（a-1）x-2）ex，令f′（x）=0，得ax2+2（a-1）x-2=0（*）.因?yàn)棣?4（a2+1）＞0，f′（x）＞0，即ax2+2（a-1）x-2＞0，解之得，或f′（x）＜0，即ax2+2（a-1）x-2＜0，解之得

教師：你確定方程（*）是一元二次方程嗎？

生甲：需要分類討論，a≠0與a=0的情況，若a≠0，就是上述情況，若a=0，此時(shí)f′（x）=-（x+1）ex，若f′（x）＞0，則x＜-1，若f′（x）＜0，則x＞-1.

生乙：上述結(jié)果是a＞0時(shí)的情況，當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）時(shí)開口向下的二次函數(shù)，相應(yīng)解集與a＞0的情況相反，即f′（x）＞0解為f′（x）＜0的解為或

教師：在a＜0的情況下，你比較的大小了嗎？

生丙：根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)與二次不等式的解，f′（x）＞0，解之得，解之得，或

綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），單調(diào)減區(qū)間為（-1，+∞）；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）單調(diào)增區(qū)間為）和），單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為）和

教師：正確！利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)就是解含有參數(shù)a的不等式，需要分類討論，同時(shí)要結(jié)合二次函數(shù)圖象與二次不等式解的關(guān)系求解，充分運(yùn)用幾何直觀想象.

生?。河桑?）知，當(dāng)a≠0時(shí)，方程（*）有兩個(gè)不同的解.由（1）的討論知，x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，因此Mm=f（x1）f（x2）=將x1+x2和x1x2代入得，，所以為定值.

眾生：我們是先將x1，x2代入求出f（x1），f（x2），再計(jì)算其乘積，運(yùn)算量特別大，而且繁瑣.

教師：正確！本題先判斷極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，要先化簡(jiǎn)再求值，再利用根與系數(shù)關(guān)系求解.

生乙：已知函數(shù)的極值點(diǎn)構(gòu)成數(shù)列為｛xn｝（n∈N*）.

（1）求數(shù)列 ｛xn｝（n∈N*）的通項(xiàng)公式，并證明｛xn｝（n∈N*）為等差數(shù)列；

（2）求證：數(shù)列｛f（xn）｝（n∈N*）是等比數(shù)列；

教師：正確！關(guān)于極值點(diǎn)問(wèn)題和證明等比數(shù)列，一定要嚴(yán)格按照定義求解，即回到定義去，這是解決問(wèn)題最基本的方法.

生丙：不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為.構(gòu)造函數(shù)g（x）=于是令g′（x）=0，得x=1，經(jīng)過(guò)列表討論知，x=1時(shí)，g（x）有極大值，也就是最大，所以

生戊：不對(duì)，x=1時(shí)n無(wú)解，因此要比較與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大小因?yàn)橐虼?，）即，g（x）max=所以，故a的取值范圍為

教師：正確！因?yàn)閤=1實(shí)質(zhì)就是數(shù)列｛xn｝中的某一項(xiàng)為1，即無(wú)正整數(shù)解.

關(guān)于導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用的運(yùn)算問(wèn)題：

首先，要弄清楚題目中所涉及的概念及運(yùn)算法則，如導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和常用函數(shù)的求導(dǎo)公式，再如“在某一點(diǎn)處的切線”與“過(guò)某點(diǎn)的切線”，再如“零點(diǎn)與極值點(diǎn)”等等；

其次，理清要求的結(jié)論與題設(shè)條件的關(guān)系，抓住關(guān)鍵詞，如“函數(shù)在某區(qū)間是單調(diào)函數(shù)”，再如“求含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”“不等式在某區(qū)間上恒為正數(shù)或圖象在x軸上方”等；

再次，選擇正確合理的運(yùn)算方法及解題策略，如函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、構(gòu)造法等；

最后，解題過(guò)程要簡(jiǎn)潔明了，嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，答案正確.如“極值點(diǎn)”是“數(shù)”而不是有序數(shù)對(duì)，再如取值范圍的區(qū)間端點(diǎn)能否取到等，都要仔細(xì)檢查核對(duì).

同時(shí)還要加強(qiáng)解題回顧，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，要學(xué)會(huì)從不同角度去思考、分析，想一想還有沒(méi)有其他解法，能否推廣，改編原題，如“ex”與“l(fā)nx”可以互換嗎，“乘積”可以改為“相除”嗎，等等.只有這樣，才能提升你們的解題能力，才能提高你們的解題速度，才能提升你們的核心素養(yǎng)！

1.已知函數(shù)f（x）=cosx+ax在[0，π]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______.

（1）求過(guò)原點(diǎn)作曲線f（x）切線的方程；

（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[k，k+1]（k為常數(shù)）的最大值（用k表示）.

答案：

1.[1，+∞）.2.a的取值范圍為

4.（b-a）min=

5.（1）切線方程為y=2x或y=ex.