解析幾何中含定比分點(diǎn)問題的解法分析

南京市第九中學(xué) 張榮彬

已知P，A，B是直線上的三個點(diǎn)，若則稱P為有向線段AB的定比分點(diǎn).

在解析幾何中，同學(xué)們經(jīng)常會遇到含定比分點(diǎn)的問題.此類問題的表面特征常常是帶有向量的等式，因此解決的方法就是“去向量化”，將問題轉(zhuǎn)化為幾何或代數(shù)（坐標(biāo)）的形式來解決.

一、解法展示

例1已知曲線E：ax2+by2=1（a＞0，b＞0），經(jīng)過點(diǎn)M（m，0）的直線l與曲線E交于點(diǎn)A，B，且

分析先看第（1）問：

思路1：因A，B兩點(diǎn)均在圓上，故A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足圓的方程，于是有消去y1解得x1=回代得所以

思路2：由題意可知，直線l與x軸不垂直，所以可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），聯(lián)立方程組消去y得 （1+k2）x2-2k2x+k2-4=0，由韋達(dá)定理得將x2=3-2x1代入得x1+x2=3-x1=消去x1可解得

思路3：因AB是圓E的一條弦，如圖1，可使用垂徑定理，取AB的中點(diǎn)D，則OD⊥AB.設(shè)OD=d，MA=t，則MB=2t，DM=因OM=1，OB=2.所以

圖1

設(shè)l：y=k（x-1），即kx-y-k=0，則解得

再看第（2）問：

仿（1）的思路2將直線y=k（x-1）與橢圓的方程聯(lián)立消去y得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，同樣可解；

能否用幾何的方法將本題用（1）中的思路3完成？橢圓中可沒有垂徑定理啊，失望之余突然又看到希望：原來點(diǎn)M（1，0）恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，如圖2.設(shè)橢圓的右準(zhǔn)線為s，過A，B分別向s作垂線，垂足分別是A1，B1，設(shè)AM=t，則BM=2t，因橢圓的離心率由橢圓的第二定義得AA1=2t，BB1=4t，再過點(diǎn)A作AD⊥BB1于D，則BD=2t，在Rt△ABD中，tan∠ABD=于是

圖2

二、方法歸納

求解含定比分點(diǎn)的問題，主要就是使用上述例1中的三種方法：

1.通過定比分點(diǎn)發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系，利用平面幾何或圓錐曲線的有關(guān)知識完成；關(guān)系2，.

利將用定曲比線分上點(diǎn)點(diǎn)轉(zhuǎn)的化坐為標(biāo)相滿關(guān)足點(diǎn)曲間線的方坐程標(biāo)，列出3方.程將組相求關(guān)解點(diǎn)；所在直線與曲線的方程聯(lián)立，借其助轉(zhuǎn)韋化達(dá)思定路理消可元用完圖成3.所示的流程圖表示.

圖3

由于題目條件呈現(xiàn)的方式不同，在遵循以上解題思想的基礎(chǔ)上，對于方法的選擇及某些細(xì)節(jié)的處理上會有所變化.

三、變式應(yīng)用

例2如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，C為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn).設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，B為橢圓上一點(diǎn)，且求直線AB的斜率.

圖4

分析因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即

因此橢圓的方程可化為5x2+9y2=5a2，則A（-a，0）.設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2）.則由得（x1+a，y1）=，所以.因?yàn)辄c(diǎn)B和點(diǎn)C都在橢圓5x2+9y2=5a2上，所以算可得直線AB的斜率

本題的求解也可從向量關(guān)系中獲取AB∥OC，OC=2AB的信息，通過設(shè)斜率，求弦長來完成，顯然其計算量較大.

四、反饋拓展

以向量為載體的定比分點(diǎn)問題面廣量大，題型也靈活多變，有時定點(diǎn)未知，有時比值未知，有時會出現(xiàn)多個定比的現(xiàn)象，其解決方法大同小異，為了讓同學(xué)們能更好地把握，需要再次強(qiáng)化：

方法1是幾何法.從向量關(guān)系中可讀出特殊的點(diǎn)，特殊的比值，此法簡捷，為第一選擇；

方法2是設(shè)點(diǎn)法.根據(jù)向量等式寫出兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系（橫和縱）?分別代入曲線方程?解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如例1和例2.在使用這個方法時同學(xué)們往往會畏懼求解二元二次方程組，事實(shí)上這個方程組往往較容易轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，要掌握其中的玄機(jī)；

方法3是設(shè)k法.設(shè)出直線方程?將直線與曲線方程聯(lián)立?使用韋達(dá)定理?利用由向量翻譯出來的坐標(biāo)關(guān)系（橫或縱）?消元解出k.

有時，題目中出現(xiàn)的定比關(guān)系是“假”的，僅僅是表面的外衣，可以直接無視；有時題中并沒有出現(xiàn)上面所說的定比分點(diǎn)問題，但根據(jù)解題需要也可以把它轉(zhuǎn)換到這個解題套路中來，從而不斷擴(kuò)大自己成熟的解題領(lǐng)域.計